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No.1131 面積の和:証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/09/01(Wed) 21:02  

又、Go Geometry です。
三角関数は不要で、前の問題の応用で解けます。

添付図の正方形の面積(A1+A2+A3)=3×(A4+A5+A6)を証明して下さい。

No.1130 角度問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/08/31(Tue) 08:39  

又々、Go Geometry より:
図でAC=BDで、角度は図を参照下さい。

この時xは何度でしょう。

これも補助線次第ですね♪

No.1128 又αと2α  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/08/30(Mon) 18:16  

Go Geometry からのパクリです・・・今度は大分易しい筈。

問題詳細は図を参照して下さい。

No.1127 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/08/28(Sat) 09:39  

解答用BBS、No.1559を参照下さい。
今度は外角の二等分線を引くと...

証明のアプローチは一寸違います。
(同じ様な手法も可能ですが)

No.1125 立て続けに証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/08/25(Wed) 08:27  

Q1123の図も参考にして下さい。
任意の三角形を基に正方形を描き、それらの頂点を図のように結びます。
ここ迄はQ1123と同じです。
次に頂点同士を結んだ線分の中点と三角形の頂点を結ぶと、これらの線は
一点を通る事を証明して下さい。

Q1123他から思いついた問題ですが、一寸難しいかも...

追記:Go Geometry の新しい問題として掲載されていました。

No.1123 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/08/21(Sat) 14:55  

Go Geometry からの完全パクリですが、馬鹿にするなと叱られそうな問題:

任意の凾`BCで、各辺を使って正方形を作ります(最近、この手の問題連続)。
その時に図の各三角形の面積(A1、A2、A3、A4)が等しい。

小学生向けの問題か!

No.1121 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/08/16(Mon) 16:55  

Go Geometry からの転用です(まぁ、パクリと同じようなもの)。
図の条件の三角形ABCを作図して下さい。

結局「x」を求めなければならないか!

それにしても「ぼんやり」していたら、盆休みも終わりだ!!!

No.1118 角度は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/08/09(Mon) 19:00  

∠A=120°の三角形があります。
AD、CFはそれぞれ∠A、∠Cの二等分線です。

この時「x」は何度になりますか?

図を見て判る通り、Go Geometry からのパクリです。
しかし、これも易しいか。

No.1116 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/08/09(Mon) 08:34  

1/4円と半円が図のように組み合わさっています。
数学的(図形的)な説明は省きますが、判ると思います。

この時、図の○印のように線上、交点上に頂点を持つような
平行四辺形を作図して下さい。

まぁ、易しいのかな?

No.1113 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/07/31(Sat) 18:45  

三角形(黒の実線)があり、空色の円は内接円、緑は傍接円で、青円は外接円です。

内心と傍心の中点は外接円上にあり、且つこれらの円弧の中点である事を証明せよ。

今度の難易度はどうでしょう!

No.1109 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/07/24(Sat) 11:08  

絵を見て判る通り、Go Geometry からのパクリです。
三角形と外接円、一見ややこしそうですが、図形的に証明出来ます。

尚、前の問題(Q1108)も Go Geometry を変形したものです。

No.1108 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/07/23(Fri) 21:03  

凾`BCと外接円(赤)があります。
辺ACに接し、外接円と点Bで接する円(青)を描いて下さい。

ついでに(?)、円(青)と辺ACとの交点が、∠Bの二等分線上にある事も証明して下さい。

なかなか、難しい問題が出来ないなぁ(ニュース速報版参照)。

No.1106 平行の証明  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/07/20(Tue) 17:33  

Go Geometry からのパクリです。

2円C1、C2 が点Aで接しています。
点Aを通る(半)直線が2円と交わる点をそれぞれB、Cとします。
この時、点Bに於けるC1の接線L1と、Cに於ける接線L2が平行である事を証明せよ。

易しい問題ですので、出来るだけ格好良く証明して下さい。

No.1101 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/07/11(Sun) 11:13  
Q1100の図を参照下さい。
PQ=QRの時、BP=CRであることを証明して下さい。

難しくはありません。

No.1100 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/07/09(Fri) 07:08  

凾`BCはAB=ACの二等辺三角形で、辺ABの延長上に点Pが与えられている。
この時、PQ=QRとなるような線分PRを描け。
尚、点Qは辺BCの延長上、点Rは辺ACの延長上にあります。

勿論、定規とコンパス作図。

No.1097 中線定理について  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/07/04(Sun) 14:28  

Q1096を解く為の前段階。

任意の三角形ABCで、辺BCの中点をMとします。
AB=a、AC=b、AM=c、BM=CM=dと置くと、
a^2 + b^2 = 2・(c^2 + d^2) を証明して下さい。

凾`BMに於いて、一般に a^2≠c^2 + d^2
凾`CMに於いて、一般に b^2≠c^2 + d^2
しかし、上の式の左辺と右辺をそれぞれ足すと等しくなるって面白い?

No.1096 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/07/03(Sat) 17:13  

又、GoGeometryからの完全パクリです。
一見ややこしいのですが、ピタゴラスの定理などから「コツコツ」とやれば...

ヒントは中点定理かな?(中点定理:これはググってみて下さい)

No.1095 Q1092:ヒント問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/06/30(Wed) 08:01  

色々な解き方はあるでしょうが、図形的に解く為の「最初の一歩」問題。
図の赤線(三本)の長さが等しい事を証明して下さい。

尚、これらの線は一点で交わり、これをナポレオン点と言うそうです(未確認)。

No.1092 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/06/25(Fri) 21:49  

Download:1092.gc4 1092.gc4
任意の三角形の各辺を一変とする正三角形を作ります。
この正三角形の重心(内心・外心・垂心)を結ぶと・・・正三角形!

図はナポレオンの外部三角形と言うそうです。

No.1085 半径は#2?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/06/12(Sat) 16:45  

正方形の一つの頂点から二本の半直線をひき、図のような接円(青線)を三つ描きます。
これらの接円が同半径の時、正方形の一辺の長さを1として半径を求めなさい。
もしくは、このような図形を作図して下さい(ここ迄は算額より)。

更に、赤でマーキングした三角形に内接する青点線円の半径は?
これは小生の追加問題です。

尚、小生にはまだ「格好良い」解答が見つかっていません。

No.1083 角度は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/06/10(Thu) 08:09  

又、Go Geometry からのパクリです(少し変えましたが)。
図は菱形とそれに内接する円。
菱形の対角線と円との交点、及び菱形と円との接点を結んだ形です。
文章よりも図を見た方が判り易いでしょうが...

この時の角度xは幾つになるでしょう(本題はx=○○を証明せよです)。

No.1080 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/06/04(Fri) 12:28  

凾`BCに於いて、図のように点Pを結んだ角度 a1、b1、c1 が等しい時、
この点を First Brocard Point と呼ぶそうです(Go Geometry より)。
Go Geometry では、凾oAB、凾oBC、凾oCAの外接円の半径を夫々
x、y、z とし、凾`BCの外接円の半径をRとした時:
R^3=x・y・z を証明せよとしています。

しかし、ここでは本音のCADCAMらしく、点Pを作図で求めて下さい。
尚、角度 a2=b2=c2 となる点は Second Brocord Point との事。
こちらを作図しても良いですよ♪(作図では易し過ぎたか?)

No.1078 ピタゴラス風  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/06/03(Thu) 18:28  

又も、Go Geometry からの完全パクリです。
直角三角形と、その辺上にある正方形がベース。

証明すべき内容は図中に記されています。

No.1077 角度は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/06/02(Wed) 17:46  

これも易しい問題なので、エレガントに解いて下さい。
正方形と1/4円は前の問題と同じ(1/4円が一つ増えました)。
線分がどの点を結んでいるかは図の通りで、真ん中の点は正方形の中心。

色々な解き方があると思いますが...

尚、これも「Go Geometry」からの「完全パクリ」です。

バカ鳩問題から少しでも解放されるかな?

No.1076 半径は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/06/01(Tue) 17:31  

一辺の長さ1の正方形と、半径1の1/4円があり、図のように
青円が接しています。
青円の半径は幾つでしょう。

上手く補助線を引ければ簡単な問題♪

図形(CAD)的に解こうとすると一寸難しいかも。
但し小生が難しいと思うだけで、挑戦は歓迎です。
(Go Geometry からのパクリです。)

No.1072 息抜き#2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/05/21(Fri) 21:17  

もう一つ面白そうな三手詰め♪
持ち駒はありません。

普天間で 呆れた頭に 三手詰め♪

No.1071 息抜き=三手詰め  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/05/21(Fri) 17:51  

持ち駒:桂馬1枚!

算額に 疲れた頭に 三手詰め(五・七・五)

No.1068 描いて下さい  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/05/15(Sat) 10:24  

正三角形と円の算額より。
甲の円が頂点と接しているのが珍しいかなと思った次第。

円の大きさ(比率)を求めて貰っても結構です。

どのように接しているかは説明不要でしょう。
図を見て判断して下さい。

No.1065 角度は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/05/11(Tue) 18:22  

半円(直径AB)に円が内接しています。
円弧との接点をC、直径との接点をDとした時、∠BCDは?

と言うよりは、∠BCD=π/4を証明せよですが、易しい問題♪

No.1063 又算額から  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/05/07(Fri) 12:19  

半円(黒)に内接する最大の円(青)があります。
青破線AC、BDはこの円の接線です。
線分AD、BC(赤破線)及び半円と接する二つの円(赤)を描きます。

これらの円の大きさの比率はどうなりますか?

CADで描いて導いても良いですが...

尚、これは群馬と長野の県境にある熊野神社の算額です。

No.1060 角度問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/30(Fri) 19:52  

GWなので解く時間は少ないでしょう・・・そこで易しい問題。
凾`BCと内心Iがあり、P、Q、Rは内接円と三角形との接点です。

CIの延長とQRとの交点をSとした時、図の角αとβの比率は?

GoGeometry からのパクリ(少し変形)です。

No.1059 Q1055:追記#2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/24(Sat) 18:45  

添付図の矢印のように線を引くと、二つの赤枠三角形は合同になる。

これを証明しても、Q1055の証明は面倒くさいのですが...

No.1056 Q1055:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/19(Mon) 18:17  
>格好良く証明して下さい。
数式を使わないで、図形的に証明して下さいと言う意味です。
Q1049のN/Tさんの解答のように...

と書きましたが、なかなか綺麗な証明が出来ていない。
幾つか図形を描いても、結局説明文が長くなってしまう(2010/04/21現在)。

No.1055 折り紙と円  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/17(Sat) 13:02  

No.1049の応用問題2で、Q1053よりちょっと難しい問題です。
図は、折り紙の頂点が辺に重なるように折ったイメージ。
この右上の三角形の内接円の径が、左上の三角形の一辺(図示)の長さが等しい。

格好良く証明して下さい。

No.1054 又算額から  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/17(Sat) 12:53  

読んでも良く判らないですが、要するに各円の比率を求めよと言う事らしい。

まぁ、易しい問題ですかね(読み違えてなければ)

No.1053 正方形と円の作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/16(Fri) 18:51  

No.1049の答えが出たところで、まず易しい問題。
正方形の中に同じ径の円が5つあります。

定規とコンパスで作図して下さい。

尚、空色の線はそれぞれ直交しています。

No.1052 1/4円と円の作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/16(Fri) 18:21  

図のように1/4円の円周上と辺上に、それぞれ点A、Bがあります。
それぞれの点で円又は辺に接する、図のような内接円を描け。

点Aの方は簡単ですが、点Bは少し考えました。

No.1049 次の問題の為に  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/13(Tue) 22:24  

直角三角形と内接円があります。
この円の直径Rと、各辺の長さa、b、cとの間に:
a+b-c=Rの関係があるのは有名(?)

式で解くと簡単なんですが、なんとか図形で説明出来ませんか?

No.1048 正三角形と円の作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/12(Mon) 18:32  

定規とコンパスで描いて下さい。
今回は「図形的」と言う条件は外します(まだ見つかってない!)。

青円の径は同じで、図のように接しています。

No.1046 Re:Q1045  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/09(Fri) 18:39  

Download:1046.gc4 1046.gc4
GCを使った図です、参考迄。
2点A、Bは固定、C、Dは動かせます。又、点Qは点Pに連動します(単独では動かせません)。
このGCデータをどうやって作ったか解析すると、図解証明のヒントになるかも...

No.1045 面積問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/09(Fri) 18:33  

易しい問題:Go Geometry からのパクリです。
任意の四角形ABCDがあり、2点P、Qが夫々辺DA、BC上にあります。
PとQの関係は、AP:PD=CQ:QBです。
この時の面積が凾aPC=凾aAQ+凾bDQとなる事を証明して下さい。

勿論、図形的に!

No.1044 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/06(Tue) 19:26  

定規とコンパスで描けますか?

黒線の三角形は正三角形、4つの青○は同径で、黒線、空色線に接しています。

答:描けない・・・これは無し!

No.1043 面積は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/05(Mon) 12:13  

赤点で示した角度は15度です。
三角関数などを使うと易し過ぎますので、図形的に解いて下さい。

「図形的」でも易し過ぎるか...

No.1037 算数オリンピックより  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/24(Wed) 18:57  

図のように凾`BCの内部に正方形MPQRが3点P、Q、Rで
接しており、点Mは辺BCの中点です。
算数オリンピックではこの正方形の面積を求めよとしています。

しかし、本音のCAD・CAMですので、当然作図問題に変更!

即ち、このような三角形と正方形を作図せよ。

作図してみると判りますが、条件である長さ:7、6、9、2と
M(中点)は条件が一つ多いようです。

言い換えると、例えば4つの長さが決まると、必ず中点を通る!
又、7、9、2、中点と指定すると長さ2が決まってしまう!

数学オリンピックだと、中点という条件は外されるかも...

今回は「早とちり」ミスの無いことを祈りつつ・・・

あっそうそう、時間があれば正方形MPQRの面積も求めてみて下さい。
CADで求めても良いですけど...

No.1036 IMOより#7  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/23(Tue) 18:27  

凾`BCがあり、その内心をIとします。
凾aCIの外心をJとした時、3点A、I、Jは同一直線上にある事を証明せよ。

※これはIMOの問題を一部抜粋&変形したものです。易しくなり過ぎ?
元の出題文は↓・・・こちらを解いても良いですよ。

Let ABC be a triangle with incentre I. A point P in the interior of the
triangle satisfies
∠PBA + ∠PCA = ∠PBC + ∠PCB.
Show that AP ≧ AI, and that equality holds if and only if P = I.

No.1035 ネットで見つけました!  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/23(Tue) 17:44  

添付図はある立体の展開図で、@、Aは正三角形、Aの面積は@の4倍、
Bは等脚台形、Cは正方形です。
正方形の面積が72cuのとき、立体の体積は?

しかし、展開図がおかしくありませんか?(広い意味では展開図ですが)

そこで小生からの問題。
立体の三面図+アイソメを作成して下さい&展開図修正!

三面図では、Aを底面とし、向きは展開図と同じとする!
勿論、体積も求めて下さい。

No.1033 IMOより#6  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/19(Fri) 18:15  
点Aと線分BCが与えられている。1辺がAを通り、他辺が線分BCと交わる
直角の頂点の空間での軌跡を求めよ。

※何とも判り難い出題ですが、原文を参考にして題意を読み取って下さい。
 IMOの問題を見ていると、題意を汲み取る能力も求められているらしい!
 理解し易いように「意訳」しようすると、解答手順をばらしそうです。

※三面図&アイソメで上手く表示出来れば「Gold Medal」でしょう!
(数式で示しても「本音のCAD・CAM」的に面白くない問題です。)
(と言うか、どうやって表すのかなぁ・・・これが本音!)

※#5と合わせ、これで三連休が潰れるかな?

(原文)
Point A and segment BC are given. Determine the locus of points in space
which are vertices of right angles with one side passing through A; and the
other side intersecting the segment BC.

No.1031 Re:No.1029/1030  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/16(Tue) 18:45  
No.1030のように変形したのは間違いだったようです。
或る意味「復元」出来るのですが...

矢張りNo.1029の条件で、三角形を描く事、但し描けない場合の条件を明記せよとした方が正しいでしょうね。IMO的には...

No.1030 IMOより#5:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/16(Tue) 12:20  

以下のように変形してみました(題意が似ているか否か不安)。
即ち、凾`BCでA、Bから対辺に垂線を下ろし、それぞれha、hbとする。
またAからの中線をmaとし、元の三角形を消去。
ha、hb、maの長さだけを残して、元の三角形を復元せよ!

これは普通の図形問題です。挑戦して下さい。

IMOの問題では、三角形が存在しない場合も説明する?
垂線が三角形の「内部に存在」と言う条件を付けると、結構説明が面倒かな???

No.1029 IMOより#5  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/16(Tue) 08:55  
※これはちょっと題意が読み取れないのですが...
凾`BCのAからの垂線ha、Bからの垂線hb、及びAからの中線maがある時、凾`BCを作図せよ。

これで良い??? ---> uinさん、上手く(正しい)日本語にして下さい。

(原文)
Construct triangle ABC; given ha; hb (the altitudes from A and B) and ma,
the median from vertex A.


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