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No.1095 Q1092:ヒント問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/06/30(Wed) 08:01  

色々な解き方はあるでしょうが、図形的に解く為の「最初の一歩」問題。
図の赤線(三本)の長さが等しい事を証明して下さい。

尚、これらの線は一点で交わり、これをナポレオン点と言うそうです(未確認)。

No.1092 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/06/25(Fri) 21:49  

Download:1092.gc4 1092.gc4
任意の三角形の各辺を一変とする正三角形を作ります。
この正三角形の重心(内心・外心・垂心)を結ぶと・・・正三角形!

図はナポレオンの外部三角形と言うそうです。

No.1085 半径は#2?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/06/12(Sat) 16:45  

正方形の一つの頂点から二本の半直線をひき、図のような接円(青線)を三つ描きます。
これらの接円が同半径の時、正方形の一辺の長さを1として半径を求めなさい。
もしくは、このような図形を作図して下さい(ここ迄は算額より)。

更に、赤でマーキングした三角形に内接する青点線円の半径は?
これは小生の追加問題です。

尚、小生にはまだ「格好良い」解答が見つかっていません。

No.1083 角度は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/06/10(Thu) 08:09  

又、Go Geometry からのパクリです(少し変えましたが)。
図は菱形とそれに内接する円。
菱形の対角線と円との交点、及び菱形と円との接点を結んだ形です。
文章よりも図を見た方が判り易いでしょうが...

この時の角度xは幾つになるでしょう(本題はx=○○を証明せよです)。

No.1080 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/06/04(Fri) 12:28  

凾`BCに於いて、図のように点Pを結んだ角度 a1、b1、c1 が等しい時、
この点を First Brocard Point と呼ぶそうです(Go Geometry より)。
Go Geometry では、凾oAB、凾oBC、凾oCAの外接円の半径を夫々
x、y、z とし、凾`BCの外接円の半径をRとした時:
R^3=x・y・z を証明せよとしています。

しかし、ここでは本音のCADCAMらしく、点Pを作図で求めて下さい。
尚、角度 a2=b2=c2 となる点は Second Brocord Point との事。
こちらを作図しても良いですよ♪(作図では易し過ぎたか?)

No.1078 ピタゴラス風  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/06/03(Thu) 18:28  

又も、Go Geometry からの完全パクリです。
直角三角形と、その辺上にある正方形がベース。

証明すべき内容は図中に記されています。

No.1077 角度は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/06/02(Wed) 17:46  

これも易しい問題なので、エレガントに解いて下さい。
正方形と1/4円は前の問題と同じ(1/4円が一つ増えました)。
線分がどの点を結んでいるかは図の通りで、真ん中の点は正方形の中心。

色々な解き方があると思いますが...

尚、これも「Go Geometry」からの「完全パクリ」です。

バカ鳩問題から少しでも解放されるかな?

No.1076 半径は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/06/01(Tue) 17:31  

一辺の長さ1の正方形と、半径1の1/4円があり、図のように
青円が接しています。
青円の半径は幾つでしょう。

上手く補助線を引ければ簡単な問題♪

図形(CAD)的に解こうとすると一寸難しいかも。
但し小生が難しいと思うだけで、挑戦は歓迎です。
(Go Geometry からのパクリです。)

No.1072 息抜き#2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/05/21(Fri) 21:17  

もう一つ面白そうな三手詰め♪
持ち駒はありません。

普天間で 呆れた頭に 三手詰め♪

No.1071 息抜き=三手詰め  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/05/21(Fri) 17:51  

持ち駒:桂馬1枚!

算額に 疲れた頭に 三手詰め(五・七・五)

No.1068 描いて下さい  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/05/15(Sat) 10:24  

正三角形と円の算額より。
甲の円が頂点と接しているのが珍しいかなと思った次第。

円の大きさ(比率)を求めて貰っても結構です。

どのように接しているかは説明不要でしょう。
図を見て判断して下さい。

No.1065 角度は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/05/11(Tue) 18:22  

半円(直径AB)に円が内接しています。
円弧との接点をC、直径との接点をDとした時、∠BCDは?

と言うよりは、∠BCD=π/4を証明せよですが、易しい問題♪

No.1063 又算額から  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/05/07(Fri) 12:19  

半円(黒)に内接する最大の円(青)があります。
青破線AC、BDはこの円の接線です。
線分AD、BC(赤破線)及び半円と接する二つの円(赤)を描きます。

これらの円の大きさの比率はどうなりますか?

CADで描いて導いても良いですが...

尚、これは群馬と長野の県境にある熊野神社の算額です。

No.1060 角度問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/30(Fri) 19:52  

GWなので解く時間は少ないでしょう・・・そこで易しい問題。
凾`BCと内心Iがあり、P、Q、Rは内接円と三角形との接点です。

CIの延長とQRとの交点をSとした時、図の角αとβの比率は?

GoGeometry からのパクリ(少し変形)です。

No.1059 Q1055:追記#2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/24(Sat) 18:45  

添付図の矢印のように線を引くと、二つの赤枠三角形は合同になる。

これを証明しても、Q1055の証明は面倒くさいのですが...

No.1056 Q1055:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/19(Mon) 18:17  
>格好良く証明して下さい。
数式を使わないで、図形的に証明して下さいと言う意味です。
Q1049のN/Tさんの解答のように...

と書きましたが、なかなか綺麗な証明が出来ていない。
幾つか図形を描いても、結局説明文が長くなってしまう(2010/04/21現在)。

No.1055 折り紙と円  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/17(Sat) 13:02  

No.1049の応用問題2で、Q1053よりちょっと難しい問題です。
図は、折り紙の頂点が辺に重なるように折ったイメージ。
この右上の三角形の内接円の径が、左上の三角形の一辺(図示)の長さが等しい。

格好良く証明して下さい。

No.1054 又算額から  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/17(Sat) 12:53  

読んでも良く判らないですが、要するに各円の比率を求めよと言う事らしい。

まぁ、易しい問題ですかね(読み違えてなければ)

No.1053 正方形と円の作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/16(Fri) 18:51  

No.1049の答えが出たところで、まず易しい問題。
正方形の中に同じ径の円が5つあります。

定規とコンパスで作図して下さい。

尚、空色の線はそれぞれ直交しています。

No.1052 1/4円と円の作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/16(Fri) 18:21  

図のように1/4円の円周上と辺上に、それぞれ点A、Bがあります。
それぞれの点で円又は辺に接する、図のような内接円を描け。

点Aの方は簡単ですが、点Bは少し考えました。

No.1049 次の問題の為に  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/13(Tue) 22:24  

直角三角形と内接円があります。
この円の直径Rと、各辺の長さa、b、cとの間に:
a+b-c=Rの関係があるのは有名(?)

式で解くと簡単なんですが、なんとか図形で説明出来ませんか?

No.1048 正三角形と円の作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/12(Mon) 18:32  

定規とコンパスで描いて下さい。
今回は「図形的」と言う条件は外します(まだ見つかってない!)。

青円の径は同じで、図のように接しています。

No.1046 Re:Q1045  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/09(Fri) 18:39  

Download:1046.gc4 1046.gc4
GCを使った図です、参考迄。
2点A、Bは固定、C、Dは動かせます。又、点Qは点Pに連動します(単独では動かせません)。
このGCデータをどうやって作ったか解析すると、図解証明のヒントになるかも...

No.1045 面積問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/09(Fri) 18:33  

易しい問題:Go Geometry からのパクリです。
任意の四角形ABCDがあり、2点P、Qが夫々辺DA、BC上にあります。
PとQの関係は、AP:PD=CQ:QBです。
この時の面積が凾aPC=凾aAQ+凾bDQとなる事を証明して下さい。

勿論、図形的に!

No.1044 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/06(Tue) 19:26  

定規とコンパスで描けますか?

黒線の三角形は正三角形、4つの青○は同径で、黒線、空色線に接しています。

答:描けない・・・これは無し!

No.1043 面積は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/04/05(Mon) 12:13  

赤点で示した角度は15度です。
三角関数などを使うと易し過ぎますので、図形的に解いて下さい。

「図形的」でも易し過ぎるか...

No.1037 算数オリンピックより  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/24(Wed) 18:57  

図のように凾`BCの内部に正方形MPQRが3点P、Q、Rで
接しており、点Mは辺BCの中点です。
算数オリンピックではこの正方形の面積を求めよとしています。

しかし、本音のCAD・CAMですので、当然作図問題に変更!

即ち、このような三角形と正方形を作図せよ。

作図してみると判りますが、条件である長さ:7、6、9、2と
M(中点)は条件が一つ多いようです。

言い換えると、例えば4つの長さが決まると、必ず中点を通る!
又、7、9、2、中点と指定すると長さ2が決まってしまう!

数学オリンピックだと、中点という条件は外されるかも...

今回は「早とちり」ミスの無いことを祈りつつ・・・

あっそうそう、時間があれば正方形MPQRの面積も求めてみて下さい。
CADで求めても良いですけど...

No.1036 IMOより#7  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/23(Tue) 18:27  

凾`BCがあり、その内心をIとします。
凾aCIの外心をJとした時、3点A、I、Jは同一直線上にある事を証明せよ。

※これはIMOの問題を一部抜粋&変形したものです。易しくなり過ぎ?
元の出題文は↓・・・こちらを解いても良いですよ。

Let ABC be a triangle with incentre I. A point P in the interior of the
triangle satisfies
∠PBA + ∠PCA = ∠PBC + ∠PCB.
Show that AP ≧ AI, and that equality holds if and only if P = I.

No.1035 ネットで見つけました!  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/23(Tue) 17:44  

添付図はある立体の展開図で、@、Aは正三角形、Aの面積は@の4倍、
Bは等脚台形、Cは正方形です。
正方形の面積が72cuのとき、立体の体積は?

しかし、展開図がおかしくありませんか?(広い意味では展開図ですが)

そこで小生からの問題。
立体の三面図+アイソメを作成して下さい&展開図修正!

三面図では、Aを底面とし、向きは展開図と同じとする!
勿論、体積も求めて下さい。

No.1033 IMOより#6  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/19(Fri) 18:15  
点Aと線分BCが与えられている。1辺がAを通り、他辺が線分BCと交わる
直角の頂点の空間での軌跡を求めよ。

※何とも判り難い出題ですが、原文を参考にして題意を読み取って下さい。
 IMOの問題を見ていると、題意を汲み取る能力も求められているらしい!
 理解し易いように「意訳」しようすると、解答手順をばらしそうです。

※三面図&アイソメで上手く表示出来れば「Gold Medal」でしょう!
(数式で示しても「本音のCAD・CAM」的に面白くない問題です。)
(と言うか、どうやって表すのかなぁ・・・これが本音!)

※#5と合わせ、これで三連休が潰れるかな?

(原文)
Point A and segment BC are given. Determine the locus of points in space
which are vertices of right angles with one side passing through A; and the
other side intersecting the segment BC.

No.1031 Re:No.1029/1030  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/16(Tue) 18:45  
No.1030のように変形したのは間違いだったようです。
或る意味「復元」出来るのですが...

矢張りNo.1029の条件で、三角形を描く事、但し描けない場合の条件を明記せよとした方が正しいでしょうね。IMO的には...

No.1030 IMOより#5:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/16(Tue) 12:20  

以下のように変形してみました(題意が似ているか否か不安)。
即ち、凾`BCでA、Bから対辺に垂線を下ろし、それぞれha、hbとする。
またAからの中線をmaとし、元の三角形を消去。
ha、hb、maの長さだけを残して、元の三角形を復元せよ!

これは普通の図形問題です。挑戦して下さい。

IMOの問題では、三角形が存在しない場合も説明する?
垂線が三角形の「内部に存在」と言う条件を付けると、結構説明が面倒かな???

No.1029 IMOより#5  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/16(Tue) 08:55  
※これはちょっと題意が読み取れないのですが...
凾`BCのAからの垂線ha、Bからの垂線hb、及びAからの中線maがある時、凾`BCを作図せよ。

これで良い??? ---> uinさん、上手く(正しい)日本語にして下さい。

(原文)
Construct triangle ABC; given ha; hb (the altitudes from A and B) and ma,
the median from vertex A.

No.1028 IMOより#4  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/15(Mon) 12:17  
正三角形ABCに於いて、辺BC上に点A1、A2、辺CA上に点B1、B2、辺AB上にC1、C2をとります。
この6点は凸六辺形A1A2B1B2C1C2の頂点であり、これらの辺の長さは等しい(注:正六角形ではない)。

直線A1B2、B1C2、C1A2は一点で交わる事を証明せよ。

※図形的に解いて下さい。

これはIMO2005からの引用ですが、図形絡みの問題は当時は易しかった???
それとも原文の翻訳ミス???

No.1027 関連作図問題(IMOより#3)  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/14(Sun) 18:09  

添付図青線のように、平行な二線とその線上に端点を持つ線分があります。
この線分を対角線とする等脚台形は無限に描けますが、内接円を持つものは?

定規とコンパスで作図して下さい。

No.1026 Q1021:追記の追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/14(Sun) 08:30  
2Dで描けることは描けるのは判明(奥歯に何か挟まっている?)。

但し、内接円がある等脚台形が「必ずしも」描けるとは言えないようですが...
翻訳ミスがあるのか? ご指摘下さい。

No.1024 Q1021:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/13(Sat) 19:28  

「立体作図問題?」としましたが、まだ手掛かりが掴めていません。
小生が描こうとしている基本図を掲載します(全く参考にならないと思いますが)。

No.1023 Re:No.1022 無題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/13(Sat) 14:42  
>うーん今いち問題の意味が掴めない…
原文を見て判る通り、情報はこれだけです。ここから意味を読み取る能力も問われる???
直角三角形と言うところから、斜辺への中線とは直角となる頂点からでしょう。

幾何(相乗)平均は、ヤホーなどで調べられますよ。
算術(相加)平均や調和平均等と合わせ、小生の時代は中学校で習いました。

尚、Q1020は三角関数を使うと馬鹿みたいに簡単です。
是非、図形的に解いて下さい。

注)小生の英文解釈に間違いがない場合に限る!!!

No.1022 無題  投稿者:uin 投稿日:2010/03/13(Sat) 13:57  
うーん今いち問題の意味が掴めない…
斜辺cへの中線の長さとありますがどっからの長さなんでしょうか?
そもそも幾何(相乗)平均とか初耳なんで僕には解けなさそう。

No.1021 IMOより#3・・・立体作図問題?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/13(Sat) 11:51  
直線pで交わっている二つの平面P、Qがある。
平面P上に点A、Q上に点Cがあり、これらは直線p上にはない。
この時、AB//CDで内接円を有する等脚台形を描け。
但し、頂点B、Dは夫々平面P、Q上にあるものとする。

原文:
Two planes, P and Q; intersect along the line p: The point A is given in the
plane P; and the point C in the plane Q; neither of these points lies on the
straight line p: Construct an isosceles trapezoid ABCD (with AB parallel to
CD) in which a circle can be inscribed, and with vertices B and D lying in
the planes P and Q respectively.

No.1020 IMOより#2・・・作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/13(Sat) 11:48  
斜辺cへの中線の長さが、他の2辺a、bの幾何(相乗)平均となる直角三角形を描け。

※これは原文を正しく訳しているか不安あり・・・文句を加えたりしています。
Construct a right triangle with given hypotenuse c such that the median
drawn to the hypotenuse is the geometric mean of the two legs of the triangle.

No.1019 IMOとは無関係な軌跡問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/12(Fri) 18:45  
Aを頂点とする二等辺三角形と、その平面上に1点Pがあります。

∠APB=∠APCとなるような点Pの軌跡は?

昔出した問題だったかも知れませんが...

No.1018 軌跡の問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/12(Fri) 18:30  
間接的に Q1015(a)、(b) に繋がる問題です(Q1015 の条件を参照下さい)。

点Mが線分AB間を動く時、点Nの軌跡はどうなりますか?

この解 and/or 証明過程を応用すれば、Q1015(a)、(b) は証明出来る筈です。

No.1016 簡単な問題#1  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/11(Thu) 18:56  

uinさんから「偉い簡単な気がする…」とお叱りを受けそうですが...

錯角の等しい二本の直線a、b は(互いに?)平行である事を証明せよ。

たまにはこんな問題も良いでしょう♪

No.1015 IMOより#1  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/11(Thu) 18:18  
線分AB上に任意の点Mを取り、線分AM、BMを一辺とする正方形AMCDと
MBEFを、線分ABに対して同じ側に作る。
これらの正方形の外接円(中心P、Q)のM以外の交点をNとする。
直線AFとBCの交点をN'とした時:
(a) NとN'は同一であることを証明せよ
(b) 直線MNは、Mの位置に関わらず定点Sを通る事を証明せよ
(c) MがAB間で位置を変える時、線分PQの中点の軌跡を求めよ

☆出来るだけ「図形クイズ」として解いて下さいね!

尚、原文を下記しますので、誤訳や曖昧な所があれば指摘して下さい。

An arbitrary point M is selected in the interior of the segment AB: The
squares AMCD and MBEF are constructed on the same side of AB; with
the segments AM and MB as their respective bases. The circles circumscribed
about these squares, with centers P and Q; intersect at M and also
at another point N: Let N' denote the point of intersection of the straight
lines AF and BC:
(a) Prove that the points N and N' coincide.
(b) Prove that the straight lines MN pass through a fixed point S independent
of the choice of M:
(c) Find the locus of the midpoints of the segments PQ as M varies between
A and B:
(出典:http://www.imo-official.org/problems.aspx

No.1013 JJMOより#2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/10(Wed) 19:08  

大分変形してありますが...

長方形ABCDとADを直径とする円(弧)があります。
点Eは辺AB上の点で、CEはこの円と接しています。

凾aCEの面積が長方形の1/6、AB=1の時、BCの長さは?

No.1012 JJMOより#1  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/09(Tue) 12:45  

正四面体ABCDがあり、4頂点を通る球の中心をPとする。
(添付図の二点鎖線が球のイメージ)

この正四面体を次の三つの平面で順に切る。
@2辺BC、ADに平行で点Pを通る平面
A2辺CA、BDに平行で点Pを通る平面
B2辺AB、CDに平行で点Pを通る平面
この時、正四面体は複数の立体に分かれますが、点Aを含む
立体の三面図とアイソメ(等角投影)図を描きなさい。

JJMOでは、1辺の長さを1として、この立体の体積を求める問題。

本音のCAD・CAMらしく作図問題に変更しました♪
図面から体積を求めて見ましょう。

しかし、昼休みに見付けた問題、殆どその儘なので易し過ぎたか!

No.1011 五角形(完全パクリ)  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/07(Sun) 21:28  

円に外接、内接する五角形があり、内接する五角形の頂点から、辺に垂直な線を
引いて小さな五角形を作ります(図から判ると思います)。

この時、a^2=b^2+c^2 となりますが、これを証明せよ!

六角形、七角形・・・でも成り立ちますので、五角形の特性を使わないで。
と言う事は、n角形の一般解で証明できれば最高ですね。

当然ながら、図形での証明がウルトラ・スーパー・ベストです。

No.1009 息抜き=謎々  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/05(Fri) 21:21  
実は今日の昼休みの馬鹿話から...

・ナポレオンはイタリア遠征の時、赤いサスペンダー(ズボン吊り)をしていましたが、
・それは何故でしょうか?

若い子の正解率の低さにビックリした次第!
勿論、お判りの通り「図形問題」ではありません(言うだけ野暮か!)
答えを知っている人は、遅めに(?)解答を出して下さい。

No.1008 Q1006の為に...  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/05(Fri) 07:47  

添付図の二つの三角形で、a=a、b=b、α=α(記号から見て当然ですが)。
ここでb≧aであればこれらの三角形は合同です。

これを証明すれば、Q1006が解ける筈です。

と言う事で、補助問題としてみました。


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