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No.1646 Q1643  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/03/01(Sat) 16:44  
簡単そうに見えて結構難しい問題でした。
空色は兎も角(難しいですが)、ピンクは図形的解法には挑戦しない方が良さそうです。
小生は数式で求めてしまいましたが、来週また解けと言われたら逃げ出す事間違いない煩雑さでした。

No.1645 Q1644:若干修正  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/03/01(Sat) 11:48  

30゜<α<60゜とします(動画参照)。
まぁ、拡張して考えれば範囲をもっと拡げても良いですが。

No.1644 角度は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/03/01(Sat) 11:24  

∠C=αの直角三角形ABCがあります。
@頂点Cから∠BCD=30゜となる点DをAB上に取ります。
AAC上に点Eを、∠BDE=3αとなるように描画します。

この時χ(∠CBE)は何度になりますか?

証明問題ではありませんが、いつもの通り「何故?」は必要です。

No.1643 面積計算  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/03/01(Sat) 09:55  

証明問題が続いたので、昔から有名と思える面積問題で気分転換!

黒の正方形とその頂点を使った青円があります。
左上の空色の部分の面積は?

これだけでは易し過ぎると思いますので追加です。
赤円は正方形の内接円、この時右下のピンク部分の面積は?

細かい描き方は図を見れば判ると思います。
尚、正方形の1辺の長さを10とし、円周率はπを使ってください。

No.1642 又昔の問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/28(Fri) 18:03  

任意の僊BCの内心IからABに垂線をIDを下ろします。
辺AC上に任意の点Pを取ります(頂点は除きます)。
僊BCの内接円(緑)と、DB、BC、DPに内接する円(橙)を描きます。

この時、図のような共通接線が常にCを通る事を証明して下さい。

尚、PC、BC、DPに内接する円を描くと、共通接線はBを通ります。

昔は苦労してGCで出題図を作りましたが、Geogebraは簡単で良いですね♪

注)これはNo.987で出題・・・約四年前ですね・・・感慨深いなぁ...(答えは消えているかも)

No.1641 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/27(Thu) 07:26  

平行四辺形ABCDがあります。
@AB=APとなる点Pを適当に描画します。
A直線PB上にCB=CQとなる点Qを取ります。

この時、DP=DQとなる事を証明して下さい。

No.1640 Q1638:修正  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/22(Sat) 11:14  

>PAの延長と
「PAもしくはPAの延長と」のように修正です。
これで、PとAが重なる時を除いて、全周で成り立ちますね。

青の一点鎖線が垂直二等分線です。
最初は一定になる点を描画したのですが、それを見ると答えが簡単!
尤も「何故?」となると少し別ですが...

No.1639 又過去問  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/21(Fri) 14:30  

僊BCの各二辺に接する円が三つあります。
これらの円は同径で、且つ一点Pを共有しています。

このような図形を、与えられた三角形で作図して下さい。

No.1638 過去問?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/20(Thu) 19:14  

これは過去問ではなく、過去問を解くにあたってN/Tさんが見付けた法則です。
2円(O1、O2)が2点(A、B)で交わっています。
O1の円周上に点Pを取り、PAの延長と円O2のA以外の交点をQとします。
この時、PQの垂直二等分線(赤線)は、或る一定の点を通ると言う法則です。

それではこの定点は何処になるでしょうか?(そして何故?)

尚、点Pは円O1のABの左側の弦上にあるとします(数学的表現ではありませんが判ると思います)。

No.1637 Re:No.1635  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/20(Thu) 07:54  
この過去問は出来たのかなぁ・・・出来ない証明も出来ないが...
合同に8分割なら超簡単なんですがね。

No.1636 作図+α  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/20(Thu) 07:16  

僊BCの中線CMを引いた所、∠CMB=45゜でした。
さらに、右上と左下aの角度が等しくなりました。

ABが与えられている時、このような三角形を作図して下さい。
また、aは何度になりますか?

角度はCAD的でなく、定規とコンパス的に求めて下さい。

No.1635 過去問より  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/19(Wed) 19:13  

赤で塗り潰した部分は正方形から直角二等辺三角形を引いたものです。
赤線で示したように三等分は簡単です。

それでは、合同な形状に四等分して下さい。

それにしても過去問を見ていてノスタルジーに浸ってしまいました。
海外出張で時差ボケ・・・遠い昔のイメージでしたが、ほんの少し前でした。

No.1634 角度問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/18(Tue) 11:19  

僊BCがあり、Mは辺ABの中点です。
∠aと∠bを測定したら、∠b=π/2-∠aとなりました。

この時∠cは幾つになりますか?

No.1633 円弧に内接する同径の円  投稿者:HIROSHI 投稿日:2014/02/18(Tue) 09:23  

最近、時間がありませんので、空いた時間を使って
問題の投稿をいたします。

円Oがあります、円周上に点A、Bを取り

線分ABと弧ABに内接する、図のような赤円を4つ描いてください。
(5つでも、6つでもOKです。)

「図形クイズ掲示板」をご覧の方なら簡単かも!?

3月末までパタパタしていますm(_ _)m

No.1632 長さ問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/18(Tue) 07:34  

直角二等辺三角形ABCとその内接円Iがあります。
その時、AB+BI=ACである事を証明して下さい。

この板に毎回挑戦してくれている人には易しいと思います。

No.1631 息抜き問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/16(Sun) 18:29  

図の式に線分を一つ加えて正しい式に直して下さい。
見易いように文字の間隔を変えても構いませんが、数字と記号の順番は固定です。

尚、この図はJW-Winの文字 ⇒ 疑似線変換(外部変換)機能を使いました。
必要ならDXFファイルを添付します。

それにしても栗林公園の梅が楽しみですね♪(ここの板とは無関係ですが)

No.1630 下記の一般化  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/13(Thu) 10:12  

任意の長方形ABCDに於いて、EF⊥CDとなる図を描いて下さい。
但し、AB>BCとします。
FGの値は特に問いませんが、AB/BCの値から幾つになるか?
時間のある人だけ考えてみて下さい。

No.1629 作図+α  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/11(Tue) 19:31  

A4用紙のように、AD:AB=1:√2の長方形があります。
頂点Aを対角線AC上に来るように折り返し、その点をA'とします。
D'はDを折り返したもので一点鎖線は折り曲げ線、Eはその端点です。

A'D'とCDとの交点をFとした時、EF⊥CDとなる図を作図して下さい。

更に、EA'の延長とCDとの交点をGとすると、垂直になった時のFGの長さは?
作図自体は簡単と思いますので、必ずFGの長さも答えて下さい。

No.1628 作図遊び  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/09(Sun) 17:01  

クイズ問題ではありません。GeoGebraをDLした人への練習問題?

図は正五角形の辺上に点Pを取り、図のようにPQ=ABとなる点Qを取ります。
緑の丸い星形は正三角形PQRの頂点Rの軌跡です。
青曲線はPQの中点Mの軌跡で、QRの中点M2の軌跡を見たら複雑な曲線になりました。

これらの軌跡は定規とコンパスは勿論、高級なCADでも描くのは難しいですね。

GeoGebraをDLした人は、この作図に挑戦してみては?
点Pから半径ABの円を描いて点Qを求め、PQから正三角形、中点M、M2の作図ですから基本的なコマンドです。

それにしても、GeoGebraで遊んでいると、一日はあっという間です。

No.1627 半角の公式?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/08(Sat) 15:58  

僊BCは直角二等辺三角形で、ADは∠Aの二等分線です。
この図を使ってtan(45゜/2)=tan(22.5゜)を求めて下さい。

半角の公式で答えを見付け、それをヒントとしても構いません。

しかし、最終的には「図形的」に求めて下さい。

矢刺し杉?



これはQ1613を考えていて(未だに引き摺っています)浮かんだ問題です。
東京は大雪警報で大変ですが、朝から雪見酒が楽しめる最高の環境になっています・・・明日の都知事選は最低投票率かなぁ・・・そうすると変な男が当選か!

No.1626 純粋作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/06(Thu) 10:05  

正五角形の辺上に点Pが与えられています。
この点Pを頂点とし、正五角形に内接する正三角形を描いて下さい。

軌跡の応用で、正方形の時と同じ手法が使えますが、結構試行錯誤的になりました。

軌跡以外で面白い手法がアップされると期待しています。

No.1625 No.1624:修正問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/05(Wed) 19:24  
作図問題で、多分良い解答が無いのではと危惧しつつ・・・

正方形の辺上に点Pが与えられている時、正方形に内接する正三角形PQRを作図して下さい。

この問題自体は至極簡単なのですが、点Pの位置によらず、同じ作図手順で描けるか、皆さんの知恵をお借りしたいです。
但し、作図により2点以上が求められ、点Pの位置によってどれを選ぶか決めるのは、同じ作図手順とはしませんので悪しからず。

geogebra作成で苦しんだので、皆さんの案を募集します(解答用BBS参照)。

No.1624 作図+αB  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/02(Sun) 09:30  

Q1613が堂々巡りで中々答えが出ないので「箸休め」です。

任意の正方形(青線)に正三角形(赤線)が内接しています。
色々な正三角形が描けますが、最小と最大の面積は良くある問題。

それでは、その丁度真中の面積の正三角形を描いて下さい。

No.1623 作図+α2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/01/29(Wed) 15:45  

正三角形ABCとその外接円があります。
BCの延長上に点Dを取り、ADと外接円の交点をEとします。

AE:ED=2:1となる点Dを定規とコンパスで求めて下さい。

又、その時DE:ABは幾つになりますか?

No.1622 作図問題+α  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/01/29(Wed) 07:41  

任意の長方形ABCDが与えられています。
この時、点Aを頂点とする持つ正三角形ADFを作図して下さい。

但し、点D、Fは図のように辺若しくはその延長線上に有る事。

これが描けたら、AFの中点をMとした時、僊MBはどんな三角形?

難しい問題が続きましたのでサービス問題です。

尚、ABCDは任意の長方形です。AB:BC=1:2などと決めないで下さい。

No.1621 re:1620  投稿者:N/T 投稿日:2014/01/26(Sun) 06:54  
すいません、時間が取れた時に調べてみますが、修正処理自体が難しいのでたぶん無理です。
No.1620 Re:No.1619:図を忘れました!  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/01/24(Fri) 20:55  

N/Tさん、修正で図を加える(又は入れ替える)事が出来るようになりませんか?

No.1619 似たような問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/01/24(Fri) 20:53  
直角三角形に於ける∠Pは幾つでしょう。
面倒なので細かい説明は省きますが、堂々巡りに注意して下さい。

尚、CADで描く場合先ず僊BCを描き、次いでBD。
DからDEを描いてCEを求めます。

No.1618 昔の問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/01/24(Fri) 07:47  

これってQ1613の解法に役立つのだろうか?と思いつつ・・・

問題は、頂角が20゜の二等辺三角形ABCがあります。
底辺BCの両端から図のように、60゜、50゜の線を引き、AB、ACとの交点を夫々D、Eとします。
その時、χの角度は?

ザット過去問を探したけど、問題も答えも見付けられませんでした。

Q1613の参考になるか否かは別として、χを求めて下さい。

No.1617 多分易しい問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/01/21(Tue) 18:49  

直角三角形ABCがあり、∠C=60゜です。
赤線、青線は夫々∠A、∠Bの二等分線で、対辺との交点をD、Eとします。

この時ADとBEの長さの比率を求めて下さい。
三角関数を使わなくても出来るでしょう。

No.1616 正n角形への同径接円作図です。  投稿者:HIROSHI 投稿日:2014/01/20(Mon) 21:10  

読者の皆様にも考えて欲しくて投稿いたします。

今回は、作図線が見易い正六角形の接円と接線の作図です。

正n角形の接円等の作図は大きく分けて4種類と思います。
また、少しの法則がある様です。
以上の事項を知れば、迷うことなく作図できます。ので・・・

チャレンジして下さいね1

正六角形が与えられました。
同径の接円と接線を定木とコンパスで作図してください。

頑張ってくださいね!

No.1615 易しい問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/01/16(Thu) 11:31  

正三角形とその外接円(赤)と内接円(青)があります。
内接円の面積(空色部分)とピンクに塗り潰した部分の面積比は?

面積を計算で求めても、図形的に解いても構いません。
しかし、易しい問題なので、格好良く解いて下さい。

No.1614 酒転童子さんの部屋から  投稿者:HIROSHI 投稿日:2014/01/15(Wed) 22:05  

お借りしました。

3問ほど続くと思いますが・・・新手の作図方法の準備問題です。

問題:
正三角形に内接する、同径の円と接線の作図です。

いつもの様に定木とコンパスでの作図です。

・正三角形が与えられました、内接する同径の接円4つと接線を
作図して下さい。

・・・すでに既出問題でしたら、真ん中の円を与えられた時、
図のような正三角形を定木とコンパスで作図して下さい。
と、代えますね。

*この先の問題からは、初めて酒転童子さんへの挑戦となるかも?
3.4.5.6.8.10.15・・・の作図!?

No.1613 角度は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/01/15(Wed) 07:37  

四角形があり対角線(赤線)が引かれています。
図のように4ヵ所の角度を測定しました(添付図参照)。

ではχの角度は幾つになりますか?

CAD等で描いて測定すれば簡単ですが...

No.1612 賀春  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/01/01(Wed) 07:00  

本年も宜しくお願い申し上げます。さて、本年度第一弾:

2円O1とO2が2点A、Bで交わっています。
その交点Aから夫々の円の接線を引き、その平行線を引きます。
この平行線が円の中心を通る時、黒丸の4点は同一円周上に来ます。

新年らしい(?)素敵な証明方法をお願いします。

昨年から呑んでいますので、文章がおかしいかも...
変な所が見付かったら、明日にでも修正しますが「取り敢えず」

No.1611 平行の証明  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/12/27(Fri) 11:17  

僊BCとその外接円Oがあります。
青の一点鎖線は∠Cの二等分線で、外接円との交点をDとします。

角の二等分線CD上に任意の点Pを取り、APと外接円との交点をEとします。

EDとBCとの交点をFとすると、PF//ABである事を証明して下さい。

この図はGeoGebra遊びのページにアップしてあります。
適当に点Pやその他の点を動かして確認して下さい。

No.1610 A、Bの中点Mの作図  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/12/20(Fri) 09:16  

@A、Bを通る任意の円Oを描く。
AABの延長上に任意の点Cを取り、接線CD、CEを描く(D、Eは接点)。
BDを通りABに平行な線を引き、円Oとの交点をFとする。
CFEとABとの交点を求めると、それがA、Bの中点M

何故でしょう!
見た目はQ1609に似ていますが...

三連休のお楽しみ♪

No.1609 どんな点?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/12/12(Thu) 21:02  

円Oの円周上に任意の2点A、Bを取ります。
Aから接線(赤線1)を引き、その接線と平行で点Bを通る線(赤線2)を引きます。
その平行線と円Oとの交点をCとし、点Cで接線(青線)を引きます。

赤線1と青線との交点をDとし、BDと円Oとの交点をEとします。

CE(の延長)と赤線1との交点をPとした時、点Pはどんな点になるでしょうか?
(作図の説明がちょっとややこしかったですね)

図を見れば、答えは直観的に判る問題ですが、うまく説明して下さい。

No.1608 図形的証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/12/05(Thu) 18:02  

僊BCがあり、青円は青辺に点Aで「接し」点Bを通ります。
赤円は赤辺に点Aで「接し」点Cを通ります。
この2円の交点をDとし、直線ADを引きます、僊BCの外接円との交点をEとします。

この時、AD=DEである事を証明して下さい。

標題にある通り、図形的に証明して下さい。
言い換えると、比例による計算式や角度「計算」は使わずに証明してみて下さい。

週末を有意義に使いましょう。

No.1607 昔の作図問題#2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/11/30(Sat) 11:39  

GeoGebra遊びの部屋に追加している関係で、これもアップしてみました。

任意の三角形ABCと辺AB上に緑点が与えられています。
図の赤線の合計長さと、青線の合計長さが等しくなる黒点を求めて下さい。
尚、黒点は三角形の周上にあります。

No.1605 昔の作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/11/30(Sat) 10:06  

解答が消えていると思いますので再掲します。

三本の直線(図の黒破線)がA, B, Cで交わっています。
直線BC上に点Pが与えられている時、正三角形PQRを作図して下さい。
但し、Q, Rは夫々直線CA, AB上に有る事。

酒転童子さんの部屋を見れば、描き方は判るかも...


注:この問題は小生のGeoGebra遊びのページにもアップしてあります。
しかし、何故かまたIEでは開けないようです(いがみ合い再発?)。
Google Chrome等で見て下さい。
もっとも、小生が使っているIEはVer.11ですので、Ver.10なら見れる???

No.1593 又々算額より  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/11/23(Sat) 07:12  

ABを直径とする半円に、点PとQで内接する青円があります。
CP=90、QP=35の時、青円の半径は幾つになりますか?

算額(原典)では、CPが二寸とかになっており、概略数値を求めていました。
それでは計算が面倒臭いので、結果が整数になるように変更したものです。

No.1590 甲乙比:算額より  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/11/22(Fri) 08:32  

原典では直角三角形の縦横寸法が「1寸五分」のように書き込まれていました。
しかし、それでは大変なので、辺の長さが3:4:5の三角形で考えて下さい。

図の説明は不要と思いますが念の為。

直角三角形に内接しているのは正方形と円です。
出題図は3:4:5にはなっていませんので、悪しからず(自分で作図して下さい)。

比率は整数比になりますので、互いに素の数で答えて下さい。

尚、作図問題ではなく計算問題と言った所です(計算と言っても大した事はないですが・・・)。

No.1587 Re:No.1584 珈琲タイム問題???  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/11/19(Tue) 04:42  
題意は、このような図が描ける【直角三角形ABCを作図せよ】と言う事で良いですね(それが終われば後は簡単ですよ)。

HIROSHIさん ---> ヒントは少し時間を置いてから「解答用掲示板」に記載した方が良いですよ。
この板では、せいぜい「ヒントを解答用掲示板に記載しました。糸口が判らない人は覗いてみて下さい」程度で...

No.1584 珈琲タイム問題???  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/11/18(Mon) 20:46  

図のように直角三角形があります。

また、内接する黄色正方形DECFと緑色正方形GHFJがつくる

直角三角形が3つ、△AGJ、△GDH、△DBEがあります。

この時、円Pと円P'の半径が同じとなるような図を

定木とコンパスで作図してください。

もともとは、高校生の方が考えた算額です。
題意は、赤円:青円=a;b のa:bを求めよでした。

作図の問題としての楽しそうなので、投稿してみました。

中(小)学生の方へのヒント:

BE:EC=DH:HFに気が付けば・・・
私はこの証明を考えながら、作図していたら出来たので、
この先の証明はまだ考えていません。




No.1583 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/11/16(Sat) 12:08  

式の変換などが必要な問題が続きましたので、図形的に証明出来そうな問題を!

直角二等辺三角形ABCとその外接円が与えられています。
弧BC上に点Pを取り、半径PCの円を描き、APとこの円との交点をQとします。
又、BPを一辺とする正方形BDEPを描きます。

この時青線で示したAQとPDが等しい事を証明して下さい。

一応ピタゴラスの定理や式の変換など不要で解けると思ってます。

点Pを動かして確認出来る図を、GeoGebra遊びのページにアップしました。
しかし、小生のPCからもJAVA appletを見る事が出来ません。
HTML5 appletは問題無し・・・Win8.1が原因??? GeoGebraサイトの問題???

No.1579 Q1577:拡張  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/11/15(Fri) 10:31  

CADコマンドで描いて見た図で、定規とコンパスで描けるか未検証です。

頭の体操になるか、ドッと疲労が溜まるか???

No.1578 算額風(No.1569の拡張)  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/11/13(Wed) 17:16  

解答用掲示板で予告した作図問題です。
図の赤円と青円の比率がAP:PCとなるようにして下さい。
AP=PCの時、No.1569と全く同じ問題になります。

小生のGeoGebra遊びのページのページで確認して下さい。
点Pを動かすと色々な結果が得られます。
点A、B、Cも動かせますが、余り意味は有りません...
左端の緑破線円がどんな比率になるか、頭の体操で考えてみては?

No.1577 算額でよく用いる、作図方法  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/11/12(Tue) 21:02  

久しぶりに、作図を始められた方への問題です。
(ヒント作図は明日以降に行う予定なので、
 ヒントなしでも大丈夫な方はこのまま楽しんでくださいね。)

@ 長方形ABCDがあり、半円Oは長方形の一辺と
  直径を共有し、頂部も辺に接しています。

A 円P Q R は長方形の2辺と接し、円P Q は互いに外接しています。

この図を定木とコンパスのみで作図してください。

* 鳥掛かりが難しいですが、初手と2手目が決まれば、あとは

  アポロニウスの作図と算額での基本作図で描けます。

  色々な、ヒントや作図手順等を極力解り易く更新していきますので、
   
  小、中学生の方にも覚えてもらえれば幸いです。

No.1576 作図証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/11/12(Tue) 09:14  

正三角形ABCとその外接円があります。
点Pは円周上の図のような点(弧CA上)。
PA=a、PC=c、PD=dと置くと、1/d=1/a+1/c となる事を証明して下さい。
言い換えると、dはa、cの調和平均の2倍です(調和平均・・・ググって下さい)。

証明問題ですが、前の問題(Q1575)の結果を使って下さい。
即ち、Q1575に結び付く作図が得られれば完了!
Q1575はこの為に作った問題・・・物凄く優しいヒントですね♪
尚、Q1575を証明出来ていなくても、これが正しいとして使用して結構です・・・益々優しい♪

勿論、別途の方法で証明しても構いませんが...

PB=b と置くとb=a+c、更にAB=xと置くと、x^2=(a^2+b^2+c^2)/2
「正三角形と外接円」との条件だけで色々面白い問題が出来ますね(作図だけで証明出来るか不明ですが)。

興味のある方は、上記を証明すると共に「新しい問題」作りに挑戦してみませんか?


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