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No.101 重心の移動(軌跡)  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/22(Wed) 18:27  

凝った序でだ! 晩飯前にもう一問。
角度は60°の半直線OA、OB上に2点を有する正三角形の重心の軌跡は、この半直線の2等分線となる事を示しなさい(重心はいつもこの2等分線上に有る事を示せ)。

重心の動きはこちらで確認出来そうです。
http://iijima.auemath.aichi-edu.ac.jp/asp/gc/html.asp?00001282
点CやDをマウスで動かすことが出来ます。

No.100 正三角形を描く  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/22(Wed) 17:52  

何かこのテーマに填ってしまいましたが、添付図の通り、任意の三角形ABCとその辺BC上に1点Dが与えられている時、他の2点が辺ABもしくはその延長、及び辺ACもしくはその延長線上に来るような正三角形を描きなさい。
意外と易しい?

No.98 No.91の問題・・・ヒント(かな?)  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/21(Tue) 21:42  
私が引いた補助線は2本(実質的には1本)でした。
言い換えれば、補助線は絶対(とは言いませんが)役立ちます。この補助線をどう引くか・・・前のヒント(No.96)を参考にして下さい。

No.97 RE:No.92 面積を求める  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/21(Tue) 21:36  
これは二つの問題を一つに纏めてみたものです。

図は「わざと」変な形にしてありますが、□ABCDは「○○四辺形」・・・これを証明するのが一つの問題。
次は「○○四辺形」の面積が、a×d−b×cを証明するという問題です。

No.96 RE:No.94 No.91の問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/21(Tue) 21:33  
矢野健太郎先生の著書に有ったことを記憶していましたが、20年以上前!!!

確か、二等辺三角形・正三角形を、根気強くつないでいくと言う事を覚えていましたので、それで解ける角度を設定しました(いわゆる「逆算」で作成)。

もしも全く同じだとすると「パクリ」ですね。ブックオフへ行って本を探してみよう!(それにしても酒転童子さんの記憶力は凄いですね!!!)

No.95 No.90 ヒント  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/21(Tue) 21:29  
ヒントと言っても私の解法ですが・・・
二つの正三角形が同じ時をベースに解いて見ました。

この時、破線と正三角形が作るのは「○○三角形」です。

No.94 No.91の問題  投稿者:酒転童子 投稿日:2006/03/21(Tue) 20:39  
 みなさんこんばんは。
 私がこの問題を見たのは、1984年頃です。
 頭が痛くなりました。

 おかしなおかしな数学者たち:新潮文庫:矢野健太郎 著
の中にありました。
 「研究者にも解けなかった問題」とありますので、難問だと思います。

 久しぶりに見て、頭をかかえているところです。

No.93 う゛〜  投稿者:N/T 投稿日:2006/03/21(Tue) 19:51  
90はフェルマー点を使わなきゃ無理かなぁ???

91は解けそうで解けない・・・

92は難しいかも・・・

No.92 面積を求める  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/21(Tue) 09:52  

△ABCにおいて、辺ACの三等分点と辺AB、BCの中点を図のように結びます。
この線の交点をDとしたとき、□ABCDの面積が「a×d−b×c」となることを示しなさい。

No.91 角度を求める#2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/20(Mon) 18:05  

添付図の三角形は、頂角が20°の二等辺三角形です。
底辺の両端からそれぞれ60°、50°の線を引き、辺との交点同士を結んだ時、図の「((」の角度を「中学生の知識の範囲」で求めなさい。

CADを使いこなしている中学生は対象外!(図を描いて測定すれば簡単、簡単)。

これって、理論(理屈)の割に結構『難問』かも・・・

No.90 角度を求める  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/20(Mon) 17:46  

図のように、同一直線上にある正三角形が二つ、1点を共有している時、(( で示した角度を求めなさい。

問題の趣旨から判る通り、二つの正三角形の大小関係にかかわらず、一定の角度が得られます(それも説明する?)。

これは、解答用BBSに掲載した No.46 の作図がベースです。すなわち、基の三角形を潰して(頂角を180°として)フェルマー点を求めるのと同義です。

No.89 RE:No.88  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/19(Sun) 14:08  
一応の証明を解答用BBSに掲載しました。
しかし、三角関数の式がズラズラッと・・・エレガントではありません。

No.88 (-""-;) ムム  投稿者:N/T 投稿日:2006/03/19(Sun) 10:27  
86が全然ワカラン・・・
No.87 No.80 の修正  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/18(Sat) 17:10  
>与えられた三角形に内接する、最大の面積及び最小の面積を有する正三角形を描け

これを与えられた二等辺三角形と訂正します。
最小の面積に関しては、No.86 が「大」ヒントとなります。

また、正三角形の1辺が二等辺三角形の1辺と重なる場合も含めます(そうしないと最大値が存在しなくなりますので...)
但し、最大の面積の場合は、二等辺三角形の頂角によって変わりますね!

No.86 内接する正三角形の位置  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/16(Thu) 13:03  

△ABCはAB=ACの二等辺三角形です。
これに内接する正三角形DEFの重心(または内接円の中心、もしくは外接円の中心)OからBCに垂線を下ろし、交点をHとします。
内接する正三角形は無限に描けますが、OHの長さは常に一定である事を説明しなさい。

No.85 RE:No.84  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/15(Wed) 07:19  
酔った勢いで作りましたが、実に簡単な理屈でした。
しかし、掲載してしまったので残しておこう。

No.84 解答 No.39 より  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/14(Tue) 23:32  

酒転童子さん、良いヒントを頂きました。

任意の三角形ABCに於いて、三角形の外側に点Pを置き、APとBCとの交点をXとします。
PCとXR、PBとXQは平行です。
XRとACとの交点をE、XQとABとの交点をDとしたとき、DEとBCが平行になることを示しなさい。

∠BCP=60°、∠RXC=60°とすると、酒転童子さんの解法になります(この場合、XQは描かずEからBCに平行な線を引き、ABとの交点Dを求めますが・・・)。

No.83 RE:No.82  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/14(Tue) 00:06  
皆さん、ごめんなさい。

このような正三角形の描き方は、解答用BBSの No.35 で答えちゃいました。
最初の(青)線の角度を考えれば(対辺と平行)、作図は簡単!

鈍角三角形で、その角度が120°以上のものについては、辺の延長と接するのもOKと言うふうに条件を変えれば・・・(このようにして条件を拡張するのも「数学の進歩」であり、その成果は歴史に明らかです(かな?)・・・足し算から引き算が産まれ、マイナスの観念を取り入れたのも、同じ発想ですね)

No.82 三角形に内接する正三角形  投稿者:酒転童子 投稿日:2006/03/13(Mon) 19:12  

 図を添付します。
 重なったのは考えていません。

No.81 No.79 修正  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/13(Mon) 18:43  
>但し、全く重なったときも平行の一部と考えると、3個描けます。
4個か!

No.80 三角形に内接する正三角形の拡張  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/13(Mon) 18:41  
与えられた三角形に内接する、最大の面積及び最小の面積を有する正三角形を描け・・・って簡単に出来るのかな?
思い付いただけなので、私も一生懸命考えよう!(与えられた三角形が正三角形ならメチャ簡単ですが)

No.79 RE:No.78 三角形に内接する正三角形  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/13(Mon) 18:39  
>正三角形の一辺が、外側の三角形の一辺と平行です。

解答用BBSにちょっと書いてしまいましたが(最初の線の上に作った正三角形の頂点が、2辺の間にある事が描ける条件)、このことからも明らかですね。
但し、全く重なったときも平行の一部と考えると、3個描けます。

No.78 三角形に内接する正三角形  投稿者:酒転童子 投稿日:2006/03/13(Mon) 18:08  
 こんばんは。
 条件を書き忘れていました。

 正三角形の一辺が、外側の三角形の一辺と平行です。

No.77 RE:三角形に内接する正三角形  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/13(Mon) 17:54  
酒転童子さん、今晩は

>頂点の角度が120°を超えると、一つしか作図できません。

正三角形が内接する条件を考えると、無限に描けると思いますが、標題以外に条件があるのでしょうか?

No.76 三角形に内接する正三角形  投稿者:酒転童子 投稿日:2006/03/13(Mon) 17:05  

 こんにちは。
 昨日CADで遊んでいたら、添付の図ができました。
 頂点の角度が120°を超えると、一つしか作図できません。
 
 遊んでみて下さい。

No.75 差し金  投稿者:酒転童子 投稿日:2006/03/12(Sun) 11:18  
 また差し金の話で、ごめんなさい。

 差し金の裏側(裏目)には、角目と丸目の目盛りが切ってあります。
 角目:通常の目盛りの √2倍の目盛りが切ってあります。
    この角目で丸材の直径を計ると、これから取れる角材の一辺の寸法が
    わかります。
 丸目:通常の目盛りの 1/π の目盛りが切ってあります。
    この目盛りで丸材の直径を計ると、この丸材の円周長がわかります。

 よくできている道具だとツクヅク思います。 
 

No.74 黄金比  投稿者:酒転童子 投稿日:2006/03/11(Sat) 15:04  

 問題になるかどうか・・・。

 差し金と規(ぶんまわし)を使って、黄金比を作図せよ。

 規とは、コンパスの事です。
 大工さんの作図術の事を「規矩術きくじゅつ」といいます。
 規はコンパス、矩は差し金を指します。 

No.73 RE:平方根  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/11(Sat) 13:13  
これも理屈としては直角三角形の相似がベースですが、これで読み取るのは「技術」ですね!

でも>酒転童子さん、
これらを使った問題を出してくれませんか?
小生は勝手に No.71 を作ってしまいましたが...

No.72 平方根  投稿者:酒転童子 投稿日:2006/03/11(Sat) 11:41  

 みなさんこんにちは。
 No.68の図の C を作図して OC の平方根 OB を、差し金で作図できます。
 しかし大工さんは、違う方法で作図をしていました。
 この方法だと、直接目盛りを読む事ができます。
 図を添付します。
 大工さんの知恵に脱帽です。

 私は、尺の差し金を2本(大小)、cmの差し金を1本(小)、所有しています。 

No.71 体積の和  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/11(Sat) 11:32  
酒転童子さんの解法をヒントに問題を作成しました。

任意の立方体A、Bが与えられたとき、体積がこの立方体の和となる一つの立方体を作図せよ。

言い換えます:立方体Aの1辺をa、Bの1辺をbとした時、a^3 + b^3 = c^3 となるcを作図で求めよ。

No.70 なるほど〜  投稿者:N/T 投稿日:2006/03/11(Sat) 08:55  
 理屈を考えて納得♪
 これは上手い方法ですねぇ〜
 4乗5乗も可能だし、他にも応用できそうです。
 昔の人は良く考えたなぁ〜

No.69 RE:3乗の作図  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/11(Sat) 08:02  
これは良い方法ですね!
nの3乗根が簡単に求められます・・・直角三角形の相似を活用・・・エレガントです。
Alibre Design Xpress で、簡単に作図出来ました。

大工さんの差し金では、丸太の直径も計れますし、もっとこの方法を見直さねば!

No.68 3乗の作図  投稿者:酒転童子 投稿日:2006/03/10(Fri) 21:44  

 みなさん、こんばんは。
 私もまぜて下さい。

 添付の図のように B を決めて作図すると、OD が OBの3乗になります。
 D からさくずできると、3乗根が求められるのですが、作図不能です。

 大工さんは、あのL字型の差し金を2本使用して、「3乗根」を作図するようです。
 正確ではないでしょうけど・・・。

No.67 re:RE:No.10  投稿者:N/T 投稿日:2006/03/09(Thu) 19:13  
 三角形を鋭角三角形としておいた方が良いかも???
No.66 RE:No.10  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/09(Thu) 18:38  
解答を順に(順不同に)作ろうとしていますが・・・

この問題で、三角形の頂角が120°以上の時、このような点を三角形の内部に
作図するのは不能ですね。120°の時は、この頂点と重なります。
120°を超える場合、頂点と問題の点を結んだ線の「延長線」とのなす角との
表現に変えれば、外部に点を作図する事が出来ます。

No.65 図形クイズでは有りませんが・・・  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/04(Sat) 22:17  
数学で言う「帰謬法」とか「背理法」とかで解く問題です。

文章問題で長いので...(下記参照)

http://www.medianetjapan.com/2/20/internet_computer/alibrexpress/alice.html

I.E. 用に、ちょっとだけ表示に変化を付けました(Firefox、Opera では×)
http://www.medianetjapan.com/2/20/internet_computer/alibrexpress/alice_2.html

No.64 抵抗問題?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/01(Wed) 21:37  

ここのスレを見ている人は機械系が多いと思いますが、電気系の人も結構多いと思います。そこで「熱にうかされながら」新しい問題です。
添付図は抵抗「r」の無限回路です。

では、全体の抵抗Rは?(rで表しなさい)

No.63 RE:61  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/01(Wed) 21:02  
面積は?と標題を付けましたが、これは大間違いで「角度は?」でした。
従って、No.62「面積は?其の弐」は「其の壱」になります。

お騒がせ(?)しました。

No.62 面積は?其の壱  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/01(Wed) 18:21  

調子に乗ってもう一つ・・・

添付図で扇形AOBは、∠Oが直角、OA=OB=1、小文字のエルはOAと重なる直線である。
円弧AB上に、弧AHの長さ=弧BIの長さ=π/8となるように2点H、Iを取り、OIと直交し点Hを通る線が小文字のエルと交わる点をJとする。
この時、ピンクの部分の面積を求めなさい。

No.61 角度は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/03/01(Wed) 17:17  

又、高校入試試験からです。これは普通の2次元CADでも解けます。

添付図で、∠ACB=a°のとき、χで示した角の大きさをaを用いた式で表しなさい。
ただし、点Oは△ABCの3辺それぞれに接している円の中心であり(FUKUCHAN 注:本文通り・・・何で内接円の中心と言わない?引っ掛けるため???)、点Dは円Oと辺ABとの接点、点Eは円Oと辺BCとの接点である。

No.60 高校入試問題=中学の問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/02/27(Mon) 22:25  

ちょっと脳味噌がウニになりそうな問題が続きましたので、都立高校の入試問題から引用(パクリ?)しました。
添付図で、□ABCDは1辺12の正方形、ACは対角線です。
頂点Dから辺BC上に線を引き、BP=8となるようにします。

DPとACの交点をQとした時、DPと垂直な線を点Qから引いたとき、BCとの交点をRとすると、△QBRの面積は?

これはCADで描いて面積を求めると簡単な問題です(しかもCADで簡単に描ける図形)。解答用BBSにドンドン書き込んで下さい。
図形から求めると、ある補助線が必要です。

No.59 RE:うーん2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/02/27(Mon) 21:57  
これが描けたとして、なぜ2の3乗根になるのか・・・
私はこれを覚えただけで、発見した訳ではないので、これを見つけた人は素晴らしいと感激しています。

ヒントの裏付けを下記サイトに纏めました⇒残念ながら数式の列挙になってしまった!!!

http://www.medianetjapan.com/2/20/internet_computer/alibrexpress/San_Kon.html

No.58 うーん2  投稿者:N/T 投稿日:2006/02/27(Mon) 21:49  
ヒント見ても全然判らない・・・( ┯_┯)
No.57 3乗根  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/02/27(Mon) 15:12  

これは作図不能問題ですから、いわゆる「普通の」CADでは描けません。
添付図が描けるCADでしか駄目と思います(拘束を使いまくっています)。
この方法は「折り紙の解法」と呼ばれていると思いましたが、この記憶は定かではありません。

No.56 うーん  投稿者:N/T 投稿日:2006/02/27(Mon) 00:33  
良く考えたら、体積2倍の方法が全然判らない・・・
3乗根ってどうやれば良いんだろか???

No.55 RE^2:No.53 描けるかなぁ???  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/02/25(Sat) 17:19  

Alibre Design Xpress で描いて見ました。
左の小さい立方体を作り(体積 = 2.998490372E2 mm3)、それをベースに右の立方体を作りました(体積 = 8.995471116E2 mm3)。
1+2で丁度3倍の体積になりましたが、まず『任意の』立方体を作るのに、大分手間取ってしまった!同寸法拘束で『任意の』正方形を作り、別の(直交する)平面で同寸法の直線を引き、スイープ押し出しで作成!!!
これに気が付くまで1時間掛かってしまった。

Rapid3D ではここで躓きそうです。

No.54 RE:No.53 描けるかなぁ???  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/02/25(Sat) 14:55  
ギリシャの「三大作図不能問題」の内、角の三等分と立方体の倍積問題は、
直角定木とコンパスがあれば解ける事が知られています。
これを問題としましょう!

残る一つ=円と同じ面積を持つ正方形を描けと言う問題は、πが超越数の
為、CADでも近似値しか描けません。


No.53 描けるかなぁ???  投稿者:N/T 投稿日:2006/02/25(Sat) 11:13  
 任意の立方体に対して、体積2倍の立方体を「三次元CADのコマンドだけ」で
描く事は可能だろうか???
 Rapidでは無理な気がする・・・

No.52 RE^3:中点作図問題=再訂正  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/02/21(Tue) 10:54  
再訂正です  (^_^!)

半径は2種類、7個の円で描けました。

No.51 No.24 の修正問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2006/02/18(Sat) 14:40  

>アクセス数は「Amazon 人気順 総覧」より多かったりする
と言う事で、私が No.37 で余計な事を言ったばかりに、問題が易しくなり
過ぎた責任を取って、少し問題を変えさせてもらいました。

図の六角形(条件は No.24 参照)の頂点Pから辺ACに降ろした垂線の
足をHとした時、AH:HC=2:1となるような六角形を作図せよ。


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