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No.1319 久しぶりに作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/11/13(Tue) 17:57  

緑と青の半円があり、図のように黒の緑円に対する接線があります。
この接線と緑円、青円に接する円(図の赤)を描いて下さい。

勿論、定規とコンパスの作図です。易し過ぎるかな?

No.1317 出題と言うか何と言うか…  投稿者:N/T 投稿日:2012/11/09(Fri) 19:32  

Q1316を考えていたら別の疑問が色々と出てきました。
この黒線・赤線・青線が内接円の大きさが等しい場合を除けば1点で交差するのはなぜ?

No.1316 中点の証明  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/11/06(Tue) 19:05  

黒円に赤円と青円が内接しており、接点をA、Bとします。
又、黒円の弦CDは赤円と青円との共通接線であり、E、Fは接点です。

AEとBFとの交点をMとすると、Mは黒円の円周上にあり、Mは弧CDの中点である事を証明して下さい。

証明手順は少し長いかも...

No.1315 傍心の証明  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/11/03(Sat) 09:28  

凾`BCと外接円(赤)があります。
図のように赤円上に中心を持ち、2点A、Bを通る円D(青)を描きます。
青円と線ADの延長との交点をEとすると、Eは凾`BCの傍心となる事を証明して下さい。

No.1314 長さの問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/10/31(Wed) 18:33  

□ABCDの三辺に、図のように内接する2円があります。
EFはこの2円の共通接線です(青点は接点=参考まで)。

辺AB+CD=α、BC+DA=βとした時、EFの長さをα、βで表して下さい。

易しい問題ですので、N/Tさんに秒殺されそう!

No.1313 角度は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/10/28(Sun) 17:30  

Go Geometry からのパクリです。
図のような四角形があり、赤で示した線分の長さは同じです。
この時、αは何度になりますか?

CADで作図すれば(前と違って正確に作図可能)答えは出ますが...

No.1312 HIROSHIさん、新規参加記念?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/10/27(Sat) 08:05  

図のように正方形ABCDと一点Eがあります。
赤点で示した角度が等しい時(∠EAB=2×∠AEB=2×∠AEC)、CA=CEを証明して下さい。

三角関数の公式(三倍角の公式)から、式の展開で答えは出ますが、例によって「図形」にて!

No.1311 平行線:作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/10/19(Fri) 18:24  

長方形ABCDで、点B、Dから図のように平行線を引きます(青線)。
直線CD、BCとの交点をそれぞれE、Fとします。
この時、CE=CFとなるような平行線を引いて下さい。

勿論、定規とコンパスだけです(またはコンパスだけ?)。

明日から休みなので、思い付いたものを二つ掲載しました。

No.1310 傍接円  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/10/19(Fri) 18:21  

三角形とその傍接円が有ります(青点は接点を表します)。
この時、赤線部分の長さが等しい事を証明して下さい。

No.1309 軌跡の問題を解く前に・・・  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/10/18(Thu) 07:16  

これは直接の解答では有りませんが(近いかも)、無限にある正三角形の組み合せが実は限られている事を示します。
だから有限と言う訳ではありませんが...
(しかし、これも軌跡の問題か!)

【問題】一点Aと直線Lがあります。
凾`PQは正三角形で、点PがL上を動く時、点Qの軌跡は?

No.1308 軌跡の問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/10/16(Tue) 08:33  

正三角形ABC(黒線)と平面上に点P(緑)があります。
PCを一辺とする正三角形PCQを描き(赤線:二通りありますが)、直線PB(青)と直線AQ(青)との交点をRとします。
点Pが平面上を動く時、点Rはどのような軌跡を描きますか?

題意から点Pは点B、Cとは重ならないとします。
点Bと重なると直線PBが不定となり、点Cと重なると正三角形PCQが(狭い意味で)存在しない為。

No.1307 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/10/11(Thu) 19:03  

凾`BC(黒線)と外接円(青線)があります。
赤線は点B、Cからの接線で、Dはその交点です。
DからABに平行な線を引き、ACとの交点をEとします。
この時、凾`BEは二等辺三角形になる事を証明して下さい。

易しい問題で色々な解き方があると思います。
ユニーク and/or スマートな解答を期待しています。

No.1306 長さの証明  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/10/08(Mon) 18:43  

DE=DCを証明して下さい。

凾`BCは底角が40゜の二等辺三角形です。
緑線が∠Bの二等分線、赤線が辺ABの垂直二等分線です。

今度は間違いない(ようです)。

No.1304 角度は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/10/07(Sun) 15:55  

軽く考えると「手古摺る」かも知れません。
凾`BCで∠B=88゜、∠C=44゜、BD=CD、AB=ADです。
χは何度になりますか?

CADで描いて求めれば簡単なんですが...(測定してから考えるのも有りですけど、役に立つ?)

No.1303 勿体ぶった問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/10/03(Wed) 17:35  

勿体ぶったというよりも、持って回った問題と言うべきか?

ABを半径とする2円A、Bが、2点C、Dで交わっています。
DAの延長と円Aとの交点をE、DBの延長を同様にFとします。
AFとBCとの交点をG、BEとACとの交点をHとし、更にDH、DGと
ABとの交点をM、Nとすると、M、NがABを三等分する事を証明せよ。

これも GoGeometry からのパクリですが、最近質が落ちた???

No.1302 簡単過ぎる(?)問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/10/02(Tue) 12:53  

GoGeometryで最近出題された「馬鹿馬鹿しい?」問題ですが、お昼休みのお遊びとして(図はそのまま転載してます)。

□ABCDは平行四辺形で、BD⊥ABです。
各半円はAE、DE、BCを直径としています。
この時色分けした青の面積の和が黄色の面積に等しい事を証明して下さい。

これなら奥さんの視線は気にならないと思います。

No.1301 立て続けです  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/09/29(Sat) 07:48  

浮かんだら忘れない内に(ボケない内に?)、と言う事で続けて出題です。
ABを直径とする円Oに、正五角形が図のように内接しています。
円弧BCの中点をDとし、CDとABとの交点をE、ADとBCとの交点をFとします。
FからABに垂線を下ろし、その足をGとすると、EGが円Oの半径である事を証明して下さい。
角度が判っている所が多いので、比較的簡単かな?

No.1300 角度は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/09/27(Thu) 07:49  

頂角(∠A)が100゜の二等辺三角形ABCがあります。
ABの延長上にAD=BCとなる点Dを取った時、∠ADCは幾つになりますか?
図形的に(=補助線をうまく使って)解いて下さい。

問題図を正確にCADで描けば、補助線も答えも見つかるかも...

しかし、この問題は昔出したかなぁ(記憶が落ちでしています)。

No.1299 長さは?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/09/26(Wed) 08:19  

平行四辺形ABCDに於いて、MはADの中点です。
CMに点Bから垂線を下ろし、その足をHとすると、AB=AHとなる事を証明して下さい。

易しい問題ですので、簡潔な証明が欲しいですね。

No.1298 正六角形  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/09/25(Tue) 19:08  

正六角形の頂点と図の中点を結びます。
この時、赤い三角形は正三角形となる事を証明して下さい。

次に、この三角形の面積と正六角形の面積比率を求めて下さい。

No.1297 re:別の問題  投稿者:N/T 投稿日:2012/09/24(Mon) 17:09  
> なお、小生の「近い内」は2日間でした。

なかなかテンポが良いなぁ(^^;)

No.1296 別の問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/09/23(Sun) 11:33  
図は省きますが、CDとFGとの交点をP、ABの中点をMとします。
この時MP⊥FGとなる事を証明して下さい。

なお、小生の「近い内」は2日間でした。

No.1295 相似の証明  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/09/21(Fri) 07:13  

実はこの問題は、「別の問題」の解答例で使えないかと考えていたものです。

出題図の説明が一寸ややこしいのですが:
2円が2点A、Bで交わっており、点Aを通る線分CDがそれぞれ円と接しています。
一点鎖線は点C、Dに於けるそれぞれの円の接線です。
点Bからこれらの接線に垂線を下ろし、その足をF、Gとします。
一方、点Aを通りABに垂直な直線が2円と交わる点をH、Iとします。

この時凾aFG(青線)と凾aHI(赤線)が相似で有る事を証明して下さい。

尚、「別の問題」は近い内に掲載するかも知れません。

No.1294 □いアタマを○に!  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/09/15(Sat) 16:38  

別に日能研の宣伝では有りませんし、N/Tさんへの嫌味でもありませんが、これもチョットしたコツで!

図の説明:凾`BCの点CからABに垂線を引き、その線上に点Dを取りました。
図の位置の角度を測定したら、図中のようになりました(単位:度)。
さて、aは何度でしょうか?

ヒント:三角形の内角の和は?(って、ヒントになってない!)

No.1293 軽めの問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/09/14(Fri) 07:47  

前の問題の第2ヒントを出す前に、軽めの図形クイズです。

任意(?)の凾`BCがあり、CDは中線です。
点BからCDに下ろした垂線の足をEとします。
この時、BE=4、ED=2とすると(まぁ、単純に2:1でも良いですが)、角θは何度になりますか?

No.1292 Re:No.1291 う〜ん2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/09/12(Wed) 18:48  
ヒント其の壱を解答用BBSに載せました。
まだもう一つ用意してあります。

No.1291 う〜ん2  投稿者:N/T 投稿日:2012/09/12(Wed) 06:52  
入り口ですでに間違ってましたか…
また入り口探しからだなぁ。

No.1290 Re:No.1289 う〜ん  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/09/11(Tue) 19:00  
この図の中には(偶然を除いて)合同の図形は出てきません(相似はゴロゴロありますが)、念の為。
近い内に(年内?1年後?)、解答用BBSにヒントを載せる予定です。

No.1289 う〜ん  投稿者:N/T 投稿日:2012/09/11(Tue) 18:19  
かなり難問ですね。
合同の照明に持っていく方法が・・・

No.1288 長さを求めよ  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/09/11(Tue) 17:58  

凾`BCは直角三角形で、∠Bの二等分線(赤線)がACと交わる点をDとします。
点AからBCに下ろした垂線の足をH、点DからAHに下ろした垂線の足をE、又AHとBDとの交点をFとします。

AEの長さが「2+√5」の時、図のχ(FH)の長さを求めなさい。

三角関数でも求められますが、図形的な解をお願いします。

No.1287 re:1286  投稿者:N/T 投稿日:2012/08/28(Tue) 18:25  
面白い特徴がいっぱい出てきますね。
どの切り口から解いていくか…
しばらく楽しめそうです。

No.1286 久しぶりの図形問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/08/26(Sun) 16:09  

平行四辺形ABCDがあり、赤線は∠Aの二等分線です。
この二等分線と線分DCとの交点をE、BC(の延長)との交点をFとします。

この時、凾bEFの外接円の中心(外心)は、凾aCDの外接円の円周上に有る事を証明して下さい。

No.1285 面積比は?(孫には数年後向け?)  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/07/21(Sat) 12:50  
Q1284(下図)のように、青の四辺形の中点を結んで出来る赤の四辺形の面積は、元の面積の1/2。
三角形では1/4ですが、例えば5角形、6角形では?

出来れば、n角形に拡張してみて下さい。

No.1284 孫に出した問題#2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/07/14(Sat) 14:04  

今回は図形問題です。
四角形ABCDはAD//BCの台形で、赤線は各辺の中点を結んだものです。
この時、赤の四辺形が正方形になる条件は?
孫(中1)にはまだ少し難しかったようですが...

No.1283 外国の女の子の名前  投稿者:774 投稿日:2012/05/10(Thu) 08:39  
Mary(メアリー)かな?
No.1282 う〜ん  投稿者:N/T 投稿日:2012/05/10(Thu) 06:33  
「外国の女の子の名前」が思い浮かばない…
No.1281 FUKUCHAN  投稿者:ことわざ 投稿日:2012/05/09(Wed) 21:09  
図形とは全く関係ありませんとまず最初に断ります。
孫が英語の授業が始まったので、孫に出したクイズです。
日本のことわざで、外国の女の子の名前が出てくるのは?

No.1251 お団子と箱  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2011/04/30(Sat) 14:47  

これはクイズ問題ではなく、CAD学習問題。
お団子が10(6+3+1)個積まれています。
これがピッタリ収まる正四面体の箱を作って下さい。
お団子の直径は10mmです。
数学問題と考えれば計算で求められますが、2D−CADで求めてみて下さい。

No.1250 Q1243:もう一つの答え  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2011/04/13(Wed) 21:02  
解答No.1908で:
>これは流石に他の形状は無いと思うけど、勿論自信はありません。
とコメントしましたが、もう一つの答えが見つかりました。

新しい問題が浮かばないので、これを大震災後最初の問題に!

No.1249 Q1248  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2011/02/19(Sat) 10:40  

図面を忘れました。
修正ではアップ出来なかったんですね。

追加コメント:取敢えず2つ発見です♪

No.1248 またまた三面図が同じ  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2011/02/19(Sat) 10:38  
小生はまだ一つしか解を見つけていません。
他にもあるのかは不明です。

No.1247 CADで解ける問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2011/02/17(Thu) 05:19  

黄色の面積(@+A)からピンクの面積(B+C)を引くと、
凾dMNの8倍となる事を説明して下さい。

尚、AB、CDはこの円の弦で、点Eで直交しています。

又、M、Nは、夫々弦AB、CDの中点です。

直線・円・複写・移動等々、CADの「基本」操作のみを使用して下さい。
接円を描くなどの操作(使うか否かは別として)はOKですが、パラメトリック等は使わない・・・基本と言った意味です。

No.1245 更にもう一つ  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2011/02/05(Sat) 11:02  

隠れ線が必要なのが残念ですが、これも三面図が同じです。

尚、一連の問題は、形状が全て平面で出来ているものとします。
勿論、曲面での答えも否定しません。

No.1244 頭に乗ってもう一つ#2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2011/01/29(Sat) 11:11  

これもベースは全て正方形です。
それ以外の線は頂点もしくは中点を通ります。

CAD的には2種類の答えを見付けました。

これでCAD・CAMファンが戻ってきてくれるかな?

No.1243 頭に乗ってもう一つ  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2011/01/28(Fri) 19:02  

これも三面図が全て同じ形状です(=正方形と対角線)。
良くある問題ですが...

No.1242 Q1241-2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2011/01/28(Fri) 08:36  

>ユニークな答えもあるでしょうが、
余計な事を言ったかも...
会社の若い者に描かせたら、このような隠れ線が必要になりました。

この形状も考えてみて下さい。

No.1241 基本に戻って  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2011/01/26(Wed) 21:06  

添付は三面図で、画像(ドット)の関係でずれて見えますが、全て正方形。
これはどんな図形で、体積は?

ユニークな答えもあるでしょうが、CAD・CAMらしく考えて下さい。
見取り図なり形が判る解答があればベストですね。

uinさん、めすらーさんには易しい問題でしょうが...

No.1240 色々難しいのですが  投稿者:N/T 投稿日:2011/01/26(Wed) 06:53  
ここの基本は作図問題ですので、難しい計算は少なめだと助かります。

No.1239 Re:No.1237、1238  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2011/01/26(Wed) 05:29  
要するに「簡単」とは言え、計算をして答えを出したから判ったと言うこと。
暗算、直観でも構いませんが、いずれにしても自分なりに答えを出したのですね。

>一直線上に無いことは容易に分かります
ピタゴラスの定理で計算したから判ったので、絵を見ただけではない。

尚、前にも書きましたが、余弦定理とか云々は解答用BBSでお願いします。

No.1238 Re:No.1236:追記  投稿者:めすらー 投稿日:2011/01/26(Wed) 01:01  
さらにその図の場合は、三点A,O,Bが同一直線上にあると仮定すれば、
AB=400、∠ACB=90°となるはずですが、
ピタゴラスの定理から、BC=240ならば
AC=320になる必要があるので矛盾が生じます。
そういうところからも一直線上に無いことは容易に分かります。

図形問題は作図の範疇のみという解釈ならば、
上のような解答は「邪道」かもしれませんが、
ある程度高度な図形問題において、
初等的な計算を抜きに話を進めるのは無理があります。
角度の足し引きや補助線で作れる問題というのはとても限定的で、
解法が研究し尽くされている点からもそう言えると思います。


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