二つの正方形が接しています(図のように、点Bを共有し、点GはBC上)。この時、CEとAG(の延長)との交点は、夫々の正方形の外接円の交点となる事を説明して下さい。因みに、CBとAEの交点は、外接円のもう一つの交点になります。尚、出来るだけシンプルに解いてみて下さい。
昔良く見かけたパズルです。このマッチ棒を4本使って、正方形を5つ作って下さい。勿論折ったり曲げたりは厳禁です。
前の問題の弟みたいなもの。フッと浮かんだ問題ですが、前よりも易しい問題です(昔の問題のパクリ?)。赤枠の図形は添付図のように「合同な」図形に四分割出来ます。それでは、三分割はどうやれば良いでしょうか? 勿論合同な形状で。
一寸判り難い図になってしまいましたが、赤の部分が主役です。これは長方形から緑と青の部分を切り取った物で、破線は上下等間隔(即ち緑部分は正方形)です。この赤の部分を「合同な」二つの部分に分けて下さい。ハサミで切り分ける感覚で・・・
もう少し見易いように「表示」を変えてみました。まだまだほんの入り口ですが、GC同様、軌跡の検証に力を発揮しそうです。GeoGebraのページを見ていると、直角の記号なども使っていますが、どうやったら出来るのか?チュートリアルもマニュアルも、全然目を通していません・・・この土日では無理そうですね。
取り敢えずインストールして一寸使ってみました(Q1397の図を作成)。判る範囲でのボタン操作ですが、左上の矢印コマンドで点を動かせます。操作その他はGCに似ていますが、機能・見た目は上のようです。尚、Google Chrome からウィンドウズ版をDLしました。明日・明後日に操作の勉強ですね。
立て続けの出題ですが・・・任意の直角三角形ABCに於いて、∠B、∠Cの二等分線を引き、対辺との交点を夫々D、Eとし、二等分線の交点をFとします。D、Eから垂線を下ろし、その足をG、Hとした時、凾eGHが直角二等辺三角形となる事を証明して下さい。これはまぁ易しい問題と思いますので、途中で諦めずに挑戦して下さい。補助線も見つけやすいと思います。
動画では見難いので静止画を掲載します。図のGがABの中点である事を証明して下さい。
三角形(黒線)の一つの角の二等分線を引きます(緑線)。緑線に図のように2頂点から垂線(青線)を下ろします。残りの頂点からも下辺に垂線(青線)を下ろします。これらの垂線の足(青点)を通る円(赤線)を描くと、常に下辺の中点(→表記)を通るのは何故?中点を通る事は、三角形が二等辺三角形になった時を考えるとすぐ判ると思います。図に凝り過ぎてしまいました。見難くて申し訳ありません m(_._)m
インストール出来なかったんですか・・・明日にでもトライしてみよう。たしか、Google Chrome からDLしなさいみたいなコメントがありましたが...
サイトに行ってみたけど、私のPCじゃエラーやリンク切れが出てインストールまで行きつけなかった…orzもう少し様子を見てからチャレンジします。
まだ紹介記事を読んだだけですが、GeoGebraって面白そうですね。Google Chrome ファミリー(?)のようですが、図形問題を解く「武器」になりそうです。手が空いたらDLして体験記を書きたいと思いますが、皆さんも試してみては?
解けた訳ではなく、ヒントになっているとは思っていませんが、見易い図に変えてみました。前の図は点Cの近傍に接線を引いたのですが、もう一つの接線を使ってみました。又、式を書きやすいように、円もA、Bに変えました・・・だからどうしたと言われると困りますが...ここで、凾oDEが二等辺三角形の時、点Pは緑線の上に有る事を証明してみようと思ってます(自信の無さが歴然)。
作図手順の説明が長いのですが・・・2円A、Bが2点C、Dで交わっています。交点Cから夫々の円の接線を引き、2円との交点を図のようにE、Fとします。3点C、E、Fを通る円Gを描き、点Cでの円Gの接線を引き、2円A、Bとの交点をH、Mとします。長々と書きましたが、ここ迄が図の説明です。それでは、CH=CMである事を証明して下さい。
2円O1とO2が接しており、2円の外に1点Pがあります。点PからO1へ接線(緑線)を引きます。O2へも接線(赤線)を引いた時、点Pから夫々の接点までの長さが等しいならば、点Pは2円の共通接線(青線)上にある。
GoGeometry の完全パクリです。凾`BCで辺AC上に点Dがあり、AD=BCです。その時図の角度が夫々、x、2x、7xの時、xは何度になりますか?辺AB上に適切な点Eを取ると、二等辺三角形が直ぐに三つ出来るのですが、そこから先へ進めずに悩んでいます。添付図は角度を「決め打ち」して描いたもので、これが正解と判るのですが「解けていません!」(実は土曜日から悩んでいます)こう言う角度問題は正三角形を作るのがミソと思っていますが...
三角形ABCとその内接円Oがあります。円の半径と接点⇔頂点の長さは図の通りです。この時、xは幾つになりますか?CAD(定規とコンパス)で描けば簡単に答えが出ます。
正方形ABCDと点Aを中心とし半径ABの1/4円があります。ADの中点をMとし、CMと円との交点をPとします。又CM上にDM=DQとなる点を取った時:MQ:QP:PCは?
久しぶりの三手詰めです。
説明が少し判り難かったかも知れませんので、例によって動画を作りました。赤円と青円に接する円は沢山ありますが、動画の上下の共通接線が平行になるような黒円を描いて下さい。
図を載せる前にEnterキーを押してしまった。後から図を訂正したり追加したり出来ないんでしたよね。
Q1378に関連する作図問題です。O1、O2が与えられており、この2円は接しています。この時、それぞれO1、O2と接し、図のような共通接線(黒線)が平行となる円O3を作図して下さい。
正方形ABCDと内接する円O、ABを半径とする円Aがあります。2円の交点をE、F、対角線ACとEFの交点をG,AEの中点をMとします。点EからOMに下ろした垂線の足をHとした時、色付けした三つの三角形が合同である事を証明して下さい。小生は数式で求めてしまいました。どうも最近は「億劫」になっていけないなぁ、最初に数式に手を出してしまうと、図形で考える根性が湧かない。
二等辺三角形ABCがあります(AB=AC)。底辺上に任意の点Pを取り、3点A、B、Pを通る緑円とA、P、Cを通る青円を描きます。この時、二つの円は合同である事を証明して下さい。これも易しいですから「適切な」補助線を引いてみて下さい。
正方形の辺上、対角線上に「赤○、青○の長さが等しい」点を取ります。この時緑の角は何度になりますか?孫(中学生)の数学副読本から、少しアレンジして作って見ました。CADで描けば何度か直ぐに判りますので、そこから逆に推理するのも有りでしょう。
まだQ1368を引き摺っています。黒線と黒円はベース図面です。赤はHIROSHIさんの作図方法で中央の円を描いたとして下さい。この作図完了後:@角の二等分線を引きます。A円との交点を通る水平線(表現は数学的でない!)を引きます。B図のように2点を結びC平行線を引き、D円を描きます。この青円と赤円の半径が等しい事を証明して下さい。HIROSHIさんのような難しい問題が浮かばない...
立て続けの投稿ですが、難しい問題が続いているので骨(脳味噌)休め。正三角形の内部に任意の点があります。その点から各辺に垂線を下ろし、各頂点と結んだのが添付図です。赤で着色した三角形の面積(総和)は正三角形の面積の半分である事を証明して下さい。(言い換えると、赤の総和と白の総和が等しい事の証明)色々な解き方がありますので、格好良い(良さそうな)解をお願いします。
これも前の問題と同じで関連の図の証明で、外堀から埋める作業の一環です。図はHIROSHIさんの作図方法の途中ですが、左から二番目の円に注目しています。この半径をrとした時、rをθで表して下さい。尚、左端の円は単位円としてあります(別に半径aでも構いませんが)。追記)これはnが整数でなくても成り立ちます。2π/nはHIROSHIさん作図に合わせただけです。小生は座標で解いてしまいました。これから作図での証明の挑戦です。難しい?易しい???
Q1368から思い付いたと言うか、関連の問題を解く為の布石です。円O1、O2は図のように接しており、Mは接点A、Bの中点です。この時∠O1MO2=∠Rである事を証明して下さい。今の所、このような易しい問題を解きながら「周辺」を固めている段階。
□ABCD は正方形です。それぞれの円に接しているのは、接線です。線分R S(E F)を直線となり、O1:O2=Pが接点。O3は円O1とO2の共通接線に接し、円O1,O2の接点Pの接線に接し、また正方形ABCDの辺AB(AD),BC(CD)に接する円たち円O1,O2,O3*2の作図です。(パソコンの調子が良くなってきたかも)
パソコンが生きているうちに!ご協力をお願いいたします。できません・・・・・最初は、楽勝と思ったのですが・・・できません・・・添付図も出来ていませんから、ご了承ください。ヘルプ・ミーです。
No.1372,1373を参考に作ってみました。任意の長方形が与えられている時、図のように内接する5円を描いて下さい。5つの円は図のように接しており、その中心は一直線上にあります。更に半径比率は r1:r2:r3=1:2:3今までの作図方法の応用に過ぎませんが...
申し訳ありません。b1とr1は同じ半径です。また、6つの円の場合は長方形を後から導くことになります。
数値的には各々の寸法はわかっているのですが(6つの円)、4つの円を色々な長方形に作図できる(アポロニウスの円の問題ように)方法は無いかと只今、思考中です。一緒に考えてみませんか。円は6つでも4つでも・・・できれば両方・・・お願いします。
難しい問題が続いたので、ちょっと一息入れて下さい。同半径の2円A、Bが2点C、Dで交わっています。黒の角度をαとすると、緑の角度は幾つになりますか?易し過ぎて疲れるかなぁ?この原理を使った製図用具を設計してアップしてくれると面白いですね。
解答用掲示板No.2346 Re:No.2344,2345(Q:No.1369)を参照下さい。見た目での判断になりますが、解答図ではO5、算額図ではO9まで描けそうです。これ以上描けないという判断は何処で行いますか?勿論、O2〜Onまで円同士が重ならない場合とします。
算額では図のように長方形に収まるものもありました。No.1368同様、一種類(掃除を除く)ではありませんので、色々描いてみて下さい。尚、算額に書かれた漢数字をヒントにすると、添付図の形になります(ヒントが難し過ぎるか?)。
これも算額のひとつなのですが、簡単な様でなかなか手こずりました。っと言っても私の場合ですけど(泣)円O3に手こずりました。コンパスと定木での作図です。簡単なのかなぁ・・・
添付図の上が長方形から円がはみ出した例です。では追加問題:下のように、左右の2円同士が接しているような、長方形と円を作図して下さい。こちらの方が作図は易しいかも知れませんね。
No.1357をヒントに作ってみました。任意の長方形に同半径の5つの円を描くのですが、真ん中の円の中心は長方形の中心と同じです。周りの4つの円は長方形の2辺又はその延長と、真ん中の円に接しています。回りくどい表現ですが、長方形の形によっては円が長方形からはみ出たり、周りの円同士が重なったりします。
1357.xls 出来る人には簡単でも、この作図方法は気付かないと思ってます。頭の回転が柔軟な、小・中学生の方なら見つけられるかも!?ヒント:正方形を使います。皆さん、頑張ってくださいね。
又、円に内接し対角線が直交する四辺形の問題です。添付図は GoGeometry からのパクリですが、図のように対角線の交点から垂線を引くと、点Mが中点になることを証明して下さい。比較的易しいと思いますが...尚、図ではADに垂線を下ろしていますが、どの辺でも同じ結果になりますね。
三角形では簡単なのですが、四角形だとどうなるか考えていて浮かんだ問題です。任意の台形ABCDがあります。図の赤線同士は平行ですが、この平行線で緑部分と空色(濁ってますが)部分の面積が等しくなるような線EFを描いて下さい。前に出題したかもしれませんが、小生も最近記憶が...
図形問題ではありません。「画像ソフト」「フリー」で検索したら、PhotoScapeというのが出てきました。写真などの画像レタッチを主目的にしているようですが、画像キャプチャー機能がこのサイトに適しているかもです。添付図のスクリーンキャプチャーを使うと、全画面、開いているウィンドウ、領域指定などで必要な画像を取り込めます(前に紹介したdtcutには対応していないようです)。トリミングも出来ますので、適切なサイズにして保存すれば、投稿時にそれを添付すると見やすくなります。保存画像形式は、GIF、PNG、JPEG等々。試してみて下さい。
1353.xls 算額のひとつを簡単にしたものです。(上部のO2の両側にも小円が あったり・・して作図の線がいっぱいになり、作図し辛かったので)これも、コンパスと定木で作図可能と思います。(この日曜に出来たので、いつもの洋にCADコマンドと数種類の異径作図での確認までです。)今回は半円O1と直径ABとそれに垂直な半径のみが与えられてます。円O1、O2*3 の作図です。電卓も不要で、比較的簡単に作図出来ると思います。FUKUCHANさんには、物足りないかも・・です。
1352.xls コーヒータイムにちょうど良いと思う問題です。これは、酒転童子さんの部屋を利用させていただき、勉強している時に出来た作図です。(酒転童子さんすみません。困った時によくお邪魔しています。)小、中学生の方でもアポロニウスの円の問題が作図出来れば、すぐに解ると思いますよ。直線ABに接する半径の異なる2つの円 O1,O2 があります。また、この O1,O2 の円同士も外接しています。そこに直線AB上に中心を持つ半円 O を作図して下さい。簡単過ぎたかな?
明日、早速チャレンジします。本当にありがとうございます。ご指導に感謝です・・・(涙)
HIROSHIさん、ご参考までに。CADで図面を描いたら、画像コピーして出題図に添付すると見やすいですよ。先ず、キーボードの「PrtScn」ボタンを使うか、画面切り取りソフトを使います。小生は dtcut というフリーソフトがお気に入り。後は画像ソフトに貼り付けて完成。小生は PaintShop などを使っていますが、フリーソフトでも十分優秀なものがあります。試してみて下さい。
FUKUCHANさん、お久しぶりです。 知識の無さで落ち込んで・・・勉強して・・・なんとか戻ってくる勇気ができました。申し訳ありませんでしたm(_ _)m内接円は4個でも大丈夫です。よろしくお願いいたします・
図面の添付、ありがとうございます。その通りです。添付図には、3つの円が出来たら、5つの円にも挑戦をお願いしています。円の半径は、11手の簡単な作図工程求められます。図形確認は、最後に描く円O3の作図を接円で行っています。確認は、円の半径を10種類以上変更し、同じ半径の内接円は20個の接円まで確認しました。(証明できない辛さ・・・)まだまだ、投稿問題がありますので、不備があればご指摘、ご教示をお願いいたします。
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