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No.1382 合同の証明  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/05/25(Sat) 09:31  

二等辺三角形ABCがあります(AB=AC)。
底辺上に任意の点Pを取り、3点A、B、Pを通る緑円とA、P、Cを通る青円を描きます。

この時、二つの円は合同である事を証明して下さい。

これも易しいですから「適切な」補助線を引いてみて下さい。

No.1381 角度は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/05/25(Sat) 06:15  

正方形の辺上、対角線上に「赤○、青○の長さが等しい」点を取ります。
この時緑の角は何度になりますか?

孫(中学生)の数学副読本から、少しアレンジして作って見ました。

CADで描けば何度か直ぐに判りますので、そこから逆に推理するのも有りでしょう。

No.1380 半径の証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/05/22(Wed) 18:19  

まだQ1368を引き摺っています。

黒線と黒円はベース図面です。
赤はHIROSHIさんの作図方法で中央の円を描いたとして下さい。

この作図完了後:
@角の二等分線を引きます。
A円との交点を通る水平線(表現は数学的でない!)を引きます。
B図のように2点を結び
C平行線を引き、
D円を描きます。

この青円と赤円の半径が等しい事を証明して下さい。

HIROSHIさんのような難しい問題が浮かばない...

No.1379 面積の証明  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/05/22(Wed) 08:14  

立て続けの投稿ですが、難しい問題が続いているので骨(脳味噌)休め。

正三角形の内部に任意の点があります。
その点から各辺に垂線を下ろし、各頂点と結んだのが添付図です。

赤で着色した三角形の面積(総和)は正三角形の面積の半分である事を証明して下さい。
(言い換えると、赤の総和と白の総和が等しい事の証明)

色々な解き方がありますので、格好良い(良さそうな)解をお願いします。

No.1378 半径は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/05/21(Tue) 19:00  

これも前の問題と同じで関連の図の証明で、外堀から埋める作業の一環です。
図はHIROSHIさんの作図方法の途中ですが、左から二番目の円に注目しています。
この半径をrとした時、rをθで表して下さい。

尚、左端の円は単位円としてあります(別に半径aでも構いませんが)。

追記)これはnが整数でなくても成り立ちます。2π/nはHIROSHIさん作図に合わせただけです。

小生は座標で解いてしまいました。これから作図での証明の挑戦です。
難しい?易しい???

No.1377 直角の証明  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/05/21(Tue) 18:14  

Q1368から思い付いたと言うか、関連の問題を解く為の布石です。
円O1、O2は図のように接しており、Mは接点A、Bの中点です。
この時∠O1MO2=∠Rである事を証明して下さい。

今の所、このような易しい問題を解きながら「周辺」を固めている段階。

No.1376 No.1375 追記  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/05/17(Fri) 23:18  
□ABCD は正方形です。

それぞれの円に接しているのは、接線です。

線分R S(E F)を直線となり、O1:O2=Pが接点。
O3は円O1とO2の共通接線に接し、円O1,O2の接点Pの接線に接し、また
正方形ABCDの辺AB(AD),BC(CD)に接する円たち

円O1,O2,O3*2の作図です。

(パソコンの調子が良くなってきたかも)


No.1375 現在進行形ですが、作図できません・・・  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/05/17(Fri) 22:33  

パソコンが生きているうちに!

ご協力をお願いいたします。

できません・・・・・

最初は、楽勝と思ったのですが・・・

できません・・・

添付図も出来ていませんから、ご了承ください。

ヘルプ・ミーです。

No.1374 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/05/17(Fri) 07:31  

No.1372,1373を参考に作ってみました。

任意の長方形が与えられている時、図のように内接する5円を描いて下さい。
5つの円は図のように接しており、その中心は一直線上にあります。
更に半径比率は r1:r2:r3=1:2:3

今までの作図方法の応用に過ぎませんが...

No.1373 NO.1372 追加  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/05/16(Thu) 21:45  
申し訳ありません。

b1とr1は同じ半径です。

また、6つの円の場合は長方形を後から導くことになります。

No.1372 現在、悩み中の問題です。  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/05/16(Thu) 21:37  

数値的には各々の寸法はわかっているのですが(6つの円)、4つの円を
色々な長方形に作図できる(アポロニウスの円の問題ように)方法は無いかと
只今、思考中です。

一緒に考えてみませんか。

円は6つでも4つでも・・・できれば両方・・・お願いします。

No.1371 角度の問題  投稿者:FUKUCAN 投稿日:2013/05/15(Wed) 18:57  

難しい問題が続いたので、ちょっと一息入れて下さい。

同半径の2円A、Bが2点C、Dで交わっています。
黒の角度をαとすると、緑の角度は幾つになりますか?

易し過ぎて疲れるかなぁ?
この原理を使った製図用具を設計してアップしてくれると面白いですね。

No.1370 又々パクリ?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/05/09(Thu) 17:54  
解答用掲示板No.2346 Re:No.2344,2345(Q:No.1369)を参照下さい。

見た目での判断になりますが、解答図ではO5、算額図ではO9まで描けそうです。
これ以上描けないという判断は何処で行いますか?

勿論、O2〜Onまで円同士が重ならない場合とします。

No.1369 パクリ?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/05/09(Thu) 09:03  

算額では図のように長方形に収まるものもありました。
No.1368同様、一種類(掃除を除く)ではありませんので、色々描いてみて下さい。

尚、算額に書かれた漢数字をヒントにすると、添付図の形になります(ヒントが難し過ぎるか?)。

No.1368 円O1と直線に接する円  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/05/08(Wed) 21:08  

これも算額のひとつなのですが、簡単な様でなかなか手こずりました。
っと言っても私の場合ですけど(泣)

円O3に手こずりました。
コンパスと定木での作図です。

簡単なのかなぁ・・・

No.1359 下記の追記と追加問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/05/02(Thu) 12:30  

添付図の上が長方形から円がはみ出した例です。

では追加問題:
下のように、左右の2円同士が接しているような、長方形と円を作図して下さい。
こちらの方が作図は易しいかも知れませんね。

No.1358 長方形に内接する5つの円  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/05/02(Thu) 12:10  

No.1357をヒントに作ってみました。

任意の長方形に同半径の5つの円を描くのですが、真ん中の円の中心は長方形の中心と同じです。
周りの4つの円は長方形の2辺又はその延長と、真ん中の円に接しています。

回りくどい表現ですが、長方形の形によっては円が長方形からはみ出たり、周りの円同士が重なったりします。

No.1357 正方形に内接する5つの円  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/05/01(Wed) 21:06  

Download:1357.xls 1357.xls 出来る人には簡単でも、この作図方法は気付かないと思ってます。

頭の回転が柔軟な、小・中学生の方なら見つけられるかも!?

ヒント:正方形を使います。

皆さん、頑張ってくださいね。

No.1356 中点の証明  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/05/01(Wed) 19:30  

又、円に内接し対角線が直交する四辺形の問題です。
添付図は GoGeometry からのパクリですが、図のように対角線の交点から垂線を引くと、点Mが中点になることを証明して下さい。

比較的易しいと思いますが...

尚、図ではADに垂線を下ろしていますが、どの辺でも同じ結果になりますね。

No.1355 面積等分割  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/04/27(Sat) 09:09  

三角形では簡単なのですが、四角形だとどうなるか考えていて浮かんだ問題です。

任意の台形ABCDがあります。
図の赤線同士は平行ですが、この平行線で緑部分と空色(濁ってますが)部分の面積が等しくなるような線EFを描いて下さい。

前に出題したかもしれませんが、小生も最近記憶が...

No.1354 HIROSHIさんへ:参考  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/04/27(Sat) 08:27  

図形問題ではありません。
「画像ソフト」「フリー」で検索したら、PhotoScapeというのが出てきました。
写真などの画像レタッチを主目的にしているようですが、画像キャプチャー機能がこのサイトに適しているかもです。
添付図のスクリーンキャプチャーを使うと、全画面、開いているウィンドウ、領域指定などで必要な画像を取り込めます(前に紹介したdtcutには対応していないようです)。
トリミングも出来ますので、適切なサイズにして保存すれば、投稿時にそれを添付すると見やすくなります。
保存画像形式は、GIF、PNG、JPEG等々。
試してみて下さい。

No.1353 半円と円に内接・外接する3つの円  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/04/25(Thu) 21:12  

Download:1353.xls 1353.xls 算額のひとつを簡単にしたものです。(上部のO2の両側にも小円が   
あったり・・して作図の線がいっぱいになり、作図し辛かったので)

これも、コンパスと定木で作図可能と思います。(この日曜に出来たので、
いつもの洋にCADコマンドと数種類の異径作図での確認までです。)

今回は半円O1と直径ABとそれに垂直な半径のみが与えられてます。
円O1、O2*3 の作図です。

電卓も不要で、比較的簡単に作図出来ると思います。

FUKUCHANさんには、物足りないかも・・です。

No.1352 2円に外接する半円  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/04/24(Wed) 15:25  

Download:1352.xls 1352.xls コーヒータイムにちょうど良いと思う問題です。

これは、酒転童子さんの部屋を利用させていただき、勉強している時に出来た作図です。(酒転童子さんすみません。困った時によくお邪魔しています。)

小、中学生の方でもアポロニウスの円の問題が作図出来れば、すぐに解ると思いますよ。

直線ABに接する半径の異なる2つの円 O1,O2 があります。
また、この O1,O2 の円同士も外接しています。

そこに直線AB上に中心を持つ半円 O を作図して下さい。

簡単過ぎたかな?

No.1351 No.1350 ありがとうございますm(_ _)m  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/04/23(Tue) 21:55  
明日、早速チャレンジします。

本当にありがとうございます。

ご指導に感謝です・・・(涙)

No.1350 Re:No.1349  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/04/23(Tue) 21:18  
HIROSHIさん、ご参考までに。

CADで図面を描いたら、画像コピーして出題図に添付すると見やすいですよ。
先ず、キーボードの「PrtScn」ボタンを使うか、画面切り取りソフトを使います。
小生は dtcut というフリーソフトがお気に入り。
後は画像ソフトに貼り付けて完成。小生は PaintShop などを使っていますが、フリーソフトでも十分優秀なものがあります。

試してみて下さい。

No.1349 RE:NO1347  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/04/23(Tue) 19:48  
FUKUCHANさん、お久しぶりです。 知識の無さで落ち込んで・・・勉強して・・・なんとか戻ってくる勇気ができました。

申し訳ありませんでしたm(_ _)m

内接円は4個でも大丈夫です。
よろしくお願いいたします・

No.1348 Re:No.1345  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/04/23(Tue) 19:37  
図面の添付、ありがとうございます。
その通りです。

添付図には、3つの円が出来たら、5つの円にも挑戦をお願いしています。

円の半径は、11手の簡単な作図工程求められます。

図形確認は、最後に描く円O3の作図を接円で行っています。

確認は、円の半径を10種類以上変更し、同じ半径の内接円は20個の接円まで確認しました。(証明できない辛さ・・・)

まだまだ、投稿問題がありますので、不備があればご指摘、ご教示をお願いいたします。


No.1347 Re:No.1345:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/04/23(Tue) 19:21  
N/Tさん、お手数でした。
前の図では、半円Oの中心「O」が抜けていました。
もう一つ5個の小円問題も記載されていましたね。
4個でも良いのですが...

No.1346 申し訳ありません。  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/04/23(Tue) 19:21  
まだ、UPに慣れていませんでしたm(_ _)m

明日、別の方法で図形を添付いたします。

まだまだ、勉強不足ですね・・・もっと頑張るぞ〜!!!

早急な連絡、ありがとうございました。

No.1345 Re:No.1342  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/04/23(Tue) 19:17  

判り易いように図を付けました。
HIROSHIさん、これで良いですよね。

出来たと仮定して考えると、描き方は直ぐに浮かぶと思います。
「出来たと仮定」⇒CAD問題ですから、最初にO1、O2、O3を描いてみる事をお勧めします。
理屈も明確になることでしょう。

No.1344 再度すみません  投稿者:N/T 投稿日:2013/04/23(Tue) 19:13  
一時的にTXTへのアクセスを解除しました。
次からは拡張子をDXFにして投稿していただけると助かります。

No.1343 すみません  投稿者:N/T 投稿日:2013/04/23(Tue) 19:05  
拡張子がTXTのファイルはセキュリティーの関係で
ダウンロードできないんです…

No.1342 半円とその直径に内接する3円  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/04/23(Tue) 16:15  

Download:1342.txt 1342.txt 初めての出題です。
コンパスと定木のみの使用で、作図できると思います。(CADの寸法・角度の読み取りで確認しましたが、証明はまだです。難しい・・・)

CADが好きな、小、中学生の方も挑戦してみてください。
作図方法がわかったら、CADの面白さと驚きが味わえると思います。

半円Oとその直径ABがあります。
そこに3円のO1、O2、O3が内接しています。

O1は直径と円周のA側、それと円O2に外接しています。

O3は直径と円周のB側、それと円O2に外接しています。

O2は直径と円O1とO3に外接しています。

O1、O2、O3は同じ半径です。

電卓なしで作図できますので、挑戦してみてくださいね。

No.1341 等面積の証明  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/04/23(Tue) 08:04  

円Oに内接し、対角線が直交する四辺形ABCDがあります。
この時、図で色分けした四辺形OABCとOCDAの面積が等しい事を証明して下さい。
易しい問題ですので、色々な解き方に挑戦して貰えると有難いですね。

No.1340 FUKUCHAN  投稿者:又、解ける作図問題 投稿日:2013/04/10(Wed) 17:50  

任意の平行四辺形ABCDがあります。
図のようにAから直線(半直線)を引き、BCの延長との交点をEとします。
この時、赤で示した部分の長さが等しくなるような点Eを求めて下さい。

パラメトリック機能を使えば簡単ですが、普通のCADで描いて下さい。

前の問題と同じで、幾何的に解かないと作図は出来ないでしょう。

No.1339 Q1337:ヒント弐  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/04/08(Mon) 20:31  
線分HMの長さとBMの長さの比率は幾つになりますか?
No.1338 Q1337:ヒント壱  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/04/08(Mon) 07:54  
∠MAHと∠BAC(頂角)の比率はどうなりますか?
これが解けただけでは、即作図は無理と思いますが...取り敢えず第一弾!

No.1337 今度は解ける作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/04/06(Sat) 14:35  

Aを頂点とする二等辺三角形があります(即ち、AB=AC)。
BからACに中線BMを引きます(MはACの中点)。
AからBMに下ろした垂線をAHとした時、∠MAH=∠MBCになりました。
この二等辺三角形を作図して下さい(或る相似形になりますが...)。

勿論、添付図の形状は参考になりません。

No.1336 面積問題・・・別の側面から  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/03/30(Sat) 09:08  

前の問題(Q1335)は、凾`BCと点Pが与えられている時、点Pを通る直線(図の赤線)を
使って、同面積の凾`DEを作図せよというのと同じ問題ですね。

作図で解けるんでしょうか?(出題者が言うのもおかしいですが...)

No.1335 面積問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/03/25(Mon) 08:01  

任意の三角形(黒)と任意の一点(赤丸印)が与えられています。
この点を通り、三角形の面積を二等分する直線(赤)を描いてください。

似たような問題を出した記憶がありますが、今考えたら直ぐに答えが出なかった。

No.1334 長さは?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/03/20(Wed) 20:46  

円に外接する台形があります(AD//BC)。
ED=2、GC=5の時、KHは?
尚、E、F、G、Hは内接円と台形の接点で、KはECとGDとの交点です。
又、AD//KHも証明して下さい。

No.1333 色々な解き方募集  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/03/14(Thu) 08:45  

図のような直角三角形があります。
空色の○の長さがすべて等しい時、青の角+赤の角は?
易しい問題ですので、恰好良い解き方を考えて下さい。
一人2〜3通りの解法がほしいかも...

No.1328 月光作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/12/20(Thu) 12:26  

moonlightさんの発言で(解答用BBS参照)思いつきました。

1円(赤)と1点(緑&矢印指示)が与えられています。
この時、図の用に対角線の長さが等しい外接四角形(図の例は黒点線)を描いて下さい。

条件を満たす四角形は無限に存在しますので、一例をあげて貰えればOKです。
勿論、定規とコンパス作図です。描き方の説明も宜しく。

尚、非常に易しい問題です。

No.1327 何故でしょうか?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/12/19(Wed) 21:12  

図の説明はしませんが、構成は見れば判ると思います。
赤円の半径(直径)は等しいんですね!

前の問題(接線)を図形的に解こうと色々やっていて発見しました。

No.1326 息抜き  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/11/20(Tue) 17:32  

一寸(小生には)難しい問題が続きましたので、ストレス解除の息抜きです。

ABを半径とする半円の円周上に1点Cを取り、ACの中点をMとします。
この時、緑で塗り潰した部分の面積=半円の1/5とするにはχは何度?

No.1325 削除、転載しました。  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/11/18(Sun) 09:32  
No.1322、1323は板を間違えたので、解答用BBSに転載しました。
No.1324 さすが  投稿者:N/T 投稿日:2012/11/18(Sun) 08:58  
Q1319を解いていくうちに何とか私にも理解できました。
それにしても1319は難解ですねぇ…

No.1321 暇つぶし用のネタ  投稿者:N/T 投稿日:2012/11/17(Sat) 17:11  

Q1319を考えていて気付いた法則ですが、
C、E、D をそれぞれの接点とすれば
・AECが一直線上に並び、EDBも一直線上に並びます。
・CDの延長線とABの交点はO1-O2を大円と小円の比率で分割する。
・E-GはABと平行になる。
この内、EGがABと平行になるのだけは証明できましたが、他の2つは
私では証明できませんでした。
暇な時に考えてみてください。

No.1320 久しぶりに作図問題:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/11/13(Tue) 18:13  
描き方は簡単なのですが、何故これで描けるか・・・結構面倒ですね。
出来れば作図出来た理由もあればベターかな?

No.1319 久しぶりに作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2012/11/13(Tue) 17:57  

緑と青の半円があり、図のように黒の緑円に対する接線があります。
この接線と緑円、青円に接する円(図の赤)を描いて下さい。

勿論、定規とコンパスの作図です。易し過ぎるかな?


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