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No.957 三角形に内接する2円  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/18(Mon) 12:16  

添付図のように、三角形の2辺に接し、かつお互いに接する2円があります。
この円A、Bの半径比を(例えば)1:2にせよというのは簡単ですが...

三角形と任意の円Aが与えられている時、もう一つの円Bを作図して下さい。

数式を作図で解く方法は出来たのですが、いかにも作図的な解法はまだ挑戦中。
すなわち、出題と言うよりは、解答募集といった感じですね。

尚、円は三角形からはみ出すこともあります。

No.954 軌跡は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/13(Wed) 12:14  

直径ABの円が、2倍の直径の円に内接しています。
この円が「滑らずに(空回りせず)」接しながら、大きな円内で回転する時、点A、Bの軌跡は?
また何故でしょうか?

No.947 久しぶりにパズルです  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/29(Tue) 18:14  

図は、正方形から直角二等辺三角形を取り除いたもの。
これを合同な4つの図形に分割して下さい。
二つや三つなら簡単ですが...(これもそれ程難しくないか)。

No.946 No.932 同半径作図:別問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/28(Mon) 08:34  

Download:946.gc4 946.gc4 添付GCで、軌跡ボタンから軌跡をOnにして下さい。
点Pを動かすと赤い見た目直線の軌跡が現れます。これは2円の中心の中点位置の軌跡です。

これが直線になることを、図形で証明して下さい。

解答用BBS「No.1019 Re:No.1018 re:Re:No.1014 Q932」で触れた事柄です。

No.944 Re:No.941 二等辺三角形の復元  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/26(Sat) 10:01  
訂正というか追記です。
飽く迄復元ですので、これでは自由な点、2線では二等辺三角形は(必ずしも)出来ません。

頂角の二等分線が点Pを通るとすれば一般的でしたね。
欠陥問題でした(反省)

No.943 Re:No.932 同半径作図  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/24(Thu) 18:30  

Gogeometry に似た問題がありました。 AH=4rとなるそうです(添付図参照)。
図を見て判る通り、incircle=内接円、excircle=傍接円です。
ex と言うと一見外接円みたいですが、外接円は:circumcircle!

数式では解けたのですが、図形的に解くには???(苦戦が予想されます)
CADで作図して測定すると、誤差の範囲で正しい事が判りますが...

数式での解き方は(小生流):
底角を「2θ」、A、Bを原点から±1とし、Aの座標を(Ax,Ay)のように表すと、
Ax = -1, Ay = 0
Cx = 1, Cy = 0
Bx = 0, By = tan(2θ)
円の半径をrとして、
・・・(中略)

全てrとθのみで表現出来、式を追っていくと答えが出ます。
しかし、平行線なども無く、どうやって図形的に解くのかなぁ(頑張らねば)。

No.942 ありがとうございます!  投稿者:uin 投稿日:2009/12/23(Wed) 14:48  
見れるようになりました。
早速解いてみますね。

No.941 二等辺三角形の復元  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/23(Wed) 08:47  

No.939の図を作っていて浮かびました。

1点Pと、平行でない2線m、nが有る時、1線が内角の、もう1線が
外角の二等分線となるような、Pを頂角とする二等辺三角形(図の薄い
点線)を復元(?)して下さい。

一寸易しかったかな?

No.940 Re:あ、  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/23(Wed) 08:39  
本当だ!!!
N/Tさんより、少〜〜し早かったようですね♪

尚、このサイトの上段の「GC/Java」から、Java版がDL出来ます。

No.939 Re:936:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/23(Wed) 08:36  

これだけでは不十分ですね。
図を掲載します。
この2円の径が等しくなる点Pの求め方(と理由)。

No.938 あ、  投稿者:N/T 投稿日:2009/12/23(Wed) 08:32  
FUKUCHANさんと同時の投稿になっちゃいました。
No.937 uinさん  投稿者:N/T 投稿日:2009/12/23(Wed) 08:30  
作図ソフトのGCをインストールする必要が有ります。
愛知教育大学のサイト↓で「GC/WIN」を入手できます。
http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/gc/test-gcwin/download.htm

No.936 Re:No.935  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/23(Wed) 08:30  
uinさん、ごめんなさい。
始めての人は知らなかったのですね。
クリップマークをクリックすると開くデータですが、GCのフリーソフトが必要です。
GC/Win、又は GC/Java を検索エンジンで探して下さい。
No.932 のデータでは、点Pを動かす事が出来ます。

No.935 No.932  投稿者:uin 投稿日:2009/12/22(Tue) 23:28  
932の画像が見れないです。
こっちの環境の問題なんでしょうか?

No.932 同半径作図  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/21(Mon) 12:38  

Download:932.gc4 932.gc4 添付の凾`BCは点Cを頂点とする二等辺三角形です。
点Pは辺AB上の点で、凾`PCの内接円、凾oBCの傍接円を描きます。

その時に、両方の円の半径が等しくなるように作図して下さい。

勿論、作図理由があればベストです。

No.929 出題No.875の別問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/16(Wed) 17:58  

前の折り紙問題から、別の問題を考えました。
添付図の等式を証明して下さい(図形で!)。

No.928 錯視  投稿者:N/T 投稿日:2009/12/12(Sat) 22:04  
こういう絵を考え付く人って凄いと思う。
No.926 一寸休憩  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/12(Sat) 18:47  

図形クイズでは有りませんし、休憩になるかどうか疑問ですが...
真ん中の丸い部分を見て下さい。

CADで描いている内に、目が回ってきます。

錯視で検索すると、面白い絵が一杯♪(この絵もあります)

No.924 Re: Q923 追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/10(Thu) 07:31  
パラメトリック・拘束機能は使わないで作図して下さい。
No.923 CAD作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/09(Wed) 21:27  

正三角形ABCと、辺CA上に中心を持ち半径OAの円があります。
この円とBOの交点(図の赤◎印)が、角Cの二等分線上にくるような円を作図して下さい。

定規とコンパスでの作図は無理です(確か)。CADで作図して下さい。

No.922 コマ大問題−2:別問題=ヒント付き  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/07(Mon) 08:14  

凾`BCは直角二等辺三角形、A、D、Eは同一直線上にあり、AD=AE。
この時、BD、CEを図のように90度回転すると1点Pで交わるのは何故?

直角二等辺三角形を加えたのがヒントになりますね。

No.919 しょうもない事で煩わせました  投稿者:moonlight 投稿日:2009/12/04(Fri) 12:50  
というわけで,正三角形の回転移動でもう1つ
(今度はちゃんと判った上での出題です)

平面上に同じ大きさの正三角形が2つ別の位置に置かれているときに
片方をもう片方に重ねるような回転移動の中心は一般に3つあります。
この3つの点が一直線上に並ぶのですが何故でしょう?

No.918 Re:No.917  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/03(Thu) 21:10  
>正多角形で解けると思ったが…

答えを見ると、怒っちゃう位簡単な証明(と思います)。

No.917 re:915  投稿者:N/T 投稿日:2009/12/03(Thu) 18:26  
正多角形で解けると思ったが…
失敗でした。
再挑戦中

No.915 図で証明できる問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/02(Wed) 17:34  

正方形ABCDがあり、添付図のように頂点C、Dから15度の線を引きます。
交点をPとした時、凾`BPが正三角形である事を証明して下さい。

半角の公式から tan(15) を求めてしまえば簡単ですが...
図形でも簡単と思います(中学の数学?・・・昔の中学)。

尚、元ネタは Gogeometry(最近パクリが多いなぁ)。

No.914 re:910 911  投稿者:N/T 投稿日:2009/12/01(Tue) 18:25  
これ、面白い法則ですねぇ〜♪
でも証明となると…

No.913 Q.906  投稿者:N/T 投稿日:2009/12/01(Tue) 18:23  
図形的な証明はかなり難しそう・・・
No.912 Q.906 別の攻め方  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/01(Tue) 17:30  

この問題は、添付図の二つの長方形の面積が等しい事を証明する問題。
∠CBG=αと置くと、夫々の長方形の面積は:
S=a^2*(2*sinα)/(cosα+sinα)

∠PAB=θとすると:
S=a^2*(tanθ+1-1/cosθ)

これを図形的に証明してみて下さい(って、小生はまだ出来ていない)。

No.911 コマ大問題−2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/01(Tue) 13:18  

Download:911.gc4 911.gc4 添付図のA、Bは定点(コマ大では樫の木と松の木)。
点CはPをBを中心に90度時計回りに回転、点DはPをAを中心に90度半時計回りに回転したもの。
点C、Dの中点をQとした時、Qは常に一定である事を「CAD的に」証明して下さい。

点Pを動かして遊んで貰っても結構ですよ。

No.910 回転移動の中心  投稿者:moonlight 投稿日:2009/12/01(Tue) 12:21  
前回か前々回あたりの「コマネチ大学数学科」という番組で
平面上に同じ大きさの正三角形が2つ別の位置に置かれているときに
片方をもう片方に重ねるような回転移動の中心の位置を作図しなさい
という問題が取り上げられてました。

面白い問題ですし,作図は直ぐに判ったのですが,
「それでよい」というのがどうも腑に落ちずに困っております。

つまり,「重ねることの出来る回転移動が存在する」
ということを前提にすれば,良いのですが・・・。

例えば,平面上に同じ長さの線分AB,CDがあり,
AをCに,BをDに重ねるような回転移動の中心Oを作図します。
「重ねることの出来る回転移動が存在する」ことが前提なら
それで終わりですが,
三角形OACとOBDが相似な二等辺三角形になるのは何故なのか?
が,小生の未熟な頭では上手く導けません。ご教授下さい。あ

No.908 Q906追加問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/11/30(Mon) 19:17  
図はNo.906を参照下さい。
∠PABと∠CBGの比率は?
(数式で解く時に便利ですね!)

No.907 Re:Q906  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/11/30(Mon) 19:11  

Download:907.gc4 907.gc4 GCデータを追加しました。

No.906 比率の問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/11/30(Mon) 19:07  

Gogeometryを見ていて思いついた問題(元の問題は下記参照)

正方形ABCDと図のようなAを中心とする円、及びBC上に1点Pがあります。
AとPを結び、対角線と円弧との交点を夫々E、Fとし、BFの延長とCDとの交点をGとします。
2点間の長さを図のようにa、b、c、dとすると:

d/c−a/b=1となる事を示して下さい(但し、点PとBが重なる場合を除く)。

小生は数式では解けたのですが、何とか作図で証明出来ますか?
勿論、小生が出来た場合は、解答用BBSで発表しますが...(どうなることやら・・・)

gogeometry ⇒ problem/p394_square_arc_90_degrees_diagonal_congruence

No.901 一瞬だけ考えてしまう問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/11/20(Fri) 18:39  

Gogeometry(出題No.384)のコピーそのものです。
xがACに平行で、長さは三角形の外周の半分を証明せよ。

N/Tさんには易し過ぎる問題。

No.900 正方形の面積問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/11/15(Sun) 18:15  

正方形と内接円、そして円上に点があります。
この点と、正方形の頂点、円との接点を図のように結び、4つの正方形を作ります。

この時、@の面積とAの差は、BとCの差の2倍になります。

これはGogeometryからの引用です。
円の中心を原点とし、点Pの座標をx,yとすると簡単に解けてしまいますが、本音のCAD・CAMらしく、図形で証明して下さい。

No.899 無題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/11/15(Sun) 10:59  
解答No.947を見て、少し条件を付けました(この条件を外しても良いのですが、答えが複雑になりそう=条件の仕分けが必要!)。

条件・・・円と直線は交わらないとする(Q893の図面を参考として下さい)。

No.897 Re:Q893 独り言  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/11/14(Sat) 08:12  
これは酒転童子さんの解法にもある通り、2円の半径差を使って、1円に接し、中心が直線上にあり、かつ1点を通る円の作図になります。
それでも未だ出来ていないのですが...(2円の半径が等しい場合は無限に描けるし、一例を描くのも楽)

しかし、色々やっている内に「簡単な問題」が浮かびました。

1円、1直線、1点の条件で、求める円が描けない条件は何でしょうか?

No.895 Re:No.894  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/11/11(Wed) 14:43  
ふっと気が付いて見直してみたら、メチャメチャ易しい問題でした。
そこで追記:
出来上がった正方形(の辺の長さ)と描いた円の半径の比率はどうなりますか?

No.894 立て続け?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/11/11(Wed) 12:46  

2円O、Pがある時、図のように夫々の中心から接線を引き、接線と円との交点をE、F、G、Hとすると、四角形EFGHは長方形になります。
単純に想像すると台形になりそうですが、これは eyeball theorem(眼球理論)と言うそうです。

この理論の証明では「本音のCAD・CAM」らしくありませんね。

そこで、この理論を踏まえて(フシュウして?):
1円Oと1点Pが与えられている時、四角形EFGHが正方形になるような円Pを作図せよ。

昼休みの「やっつけ仕事」なので「穴」があるかも...

No.893 独り言  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/11/10(Tue) 18:04  

矢張りQ891のAの円を描いていて考えたのだが...
酒転童子さんの部屋に、1本の直線と2円に接する円の作図があるが
http://www.k3.dion.ne.jp/~edo-cad/Apollonius'_problem_08.html)、
添付図のように1本の直線上に(円でも良いが)「中心」を持ち、2円に
接する円・・・描けるのだろうか・・・今の所小生には無理!

No.892 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/11/10(Tue) 17:15  

下の問題で、Aの円を色々な方法で描いている内に見つけた問題。
添付図は円とその接線をベースに、円上に1点をとって描いた図形です。
図を見れば描き方は判ると思います。

ここで図の二つの長方形の面積が等しくなります。 証明して下さい。
まぁ、面積が等しいというか、a:b=c:dの証明ですが...

No.891 1/4円と半円  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/11/08(Sun) 16:46  

図のように1/4円に半円が接しています。
@は簡単、Aも工夫すれば簡単、Bは難しい?描ける?

No.888 球の問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/11/06(Fri) 18:10  

昔々の問題の焼き直しです。
添付のように、球に1点マーキングしてあります。
定規とコンパスを使って(勿論コンパスだけでもOK)反対側の点を求めて下さい。
今回は、コンパスでの長さコピー⇒表現が難しいですが、円を描いた後、コンパスの開きを固定して、別のところに「同半径」の円を描いて良いとします。

No.887 作図っぽい問題?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/11/03(Tue) 12:38  

四辺形ABCDとAEFGは正方形で、点Eは辺CD上にあります。
点IはAEとBCとの延長上の交点。
ここで長方形HBIJを作ると、正方形AEFGより小さくなります。

この差を作図で正方形に変形して下さい。

この時の正方形の1辺の長さを、A〜Jの中から選んで示して下さい。

理由はどうでも良いです、とは言いませんが...

No.886 長さの関係  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/11/03(Tue) 10:35  

Download:886.gc4 886.gc4 添付gcを参照下さい。
凾`BCは直角二等辺三角形、水色の線はABを直径とする円です。
赤線^2=青線^2+(青線−緑線)^2!
但し、点Dは円上の点で、辺ABよりも上にあるとします。

No.883 作図問題#2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/11/02(Mon) 12:35  
Q882を一寸変えただけ・・・辺ABの代わりに、∠Aとしたらどうでしょう。
矢張り易しいか。

No.882 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/11/01(Sun) 08:32  

任意の三角形ABCの外接円と内接円を描きます。
この三角形の1辺(例えばAB)の長さだけ残します(傾きを変えて)。

ここで三角形を消して、同じ三角形を復元するって、易し過ぎるか。

No.879 古典的な問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/10/28(Wed) 17:34  

12×12の正方形を切って並べ替えたら・・・Dは何処へ行った?

まぁ、実際にCADで描いて、夫々を並べ替えれば簡単ですね。

答えの割りに、問題図を作るのが面倒だった!

No.876 Q875  投稿者:N/T 投稿日:2009/10/19(Mon) 18:31  
これは面白そう♪
時間が無いのについつい考えてしまう。

No.875 証明できる問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/10/19(Mon) 16:50  

正方形ABCDと対角線ADが描かれています。
@辺AD上に一点Pを取り、頂点Bと結ぶ
Aこの線を点Bを中心に-45度回転する。
B、C上記の2線と対角線との交点を中心に図のように円を描く

この時、二重丸の3点は直角三角形の頂点である事を示しなさい。


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