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No.1529 作図問題#2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/10/03(Thu) 19:32  

Q1528を解く為の作図問題です。
鋭角三角形ABCと、辺BC上に1点Pが与えられているとします。
儕QRの周長が最短となるQ、Rの位置を作図して下さい。

No.1528 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/10/03(Thu) 17:38  

当然ながら定規とコンパスで作図可能な問題です。
図のように「鋭角」三角形ABCに儕QRが内接しています。
この時、儕QRの周囲の長さ(=PQ+QR+RP)が最小になるように作図して下さい。

結構有名な作図法かも知れませんが???

描き方に「描けた理由」がプラスされれば満点ですね。

ヒント(?):描き方自体は簡単です。

No.1526 易しい証明問題#2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/10/01(Tue) 12:49  

正方形ABCDとその対角線の交点をEとします。
又対角線ACとAを中心とする1/4円との交点をFとし、BFとDCとの交点をGとします。

この時、DG(青線)の長さが、EF(赤線)の2倍である事を証明して下さい。

なんとなく、前に出題した問題と似ているようですが、気にせず出題しました。

No.1523 易しい証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/30(Mon) 18:37  

僊BCは任意の直角三角形、AB⊥BD且つAB=BDです。
この時、x^2=2a^2+b^2-2abである事を証明して下さい。

小生は最近の癖で「余弦定理」で先ず解いてしまいました(結構シンプル)。
しかし、気を取り直して図形で解いたら・・・もっと易しかった!!!

尚、N/Tさんの得意技=相似は使いませんでした。

No.1520 作図問題#2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/28(Sat) 09:14  

下記No.1517のヒントとなる作図問題です。
PAの長さをaのように表した時、a、b、cに図のような関係があります。
そのような点Pを作図で求めて下さい(無限にありますが...)。

例えば点PがAと重なる時、a=0、b=cですから、条件を満たしている事が判ります。
それ以外の点Pを求めてみて下さい。

ここから、a:b:c=3:4:5の作図にたどり着ける筈です。

No.1517 HIROSHIさんの好きな作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/26(Thu) 18:03  

正三角形ABCと一点Pがあります。
PA:PB:PC=3:4:5となる点Pを全て作図して下さい。

尚、作図手順をキチンと説明すること。
3:4:5でなくても良いのですが、HIROSHIさん好み(?)の比率にしました。

フッと浮かんでザッと作ったので、捻りが無く易しい問題になってしまった。
上記の比率にした位では「捻り」とは言えませんもんね。

No.1516 易しい証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/26(Thu) 17:41  

連休が「明ける」のを待って、箱根の老舗旅館へ二泊三日のミニ旅行。
しっとり、のんびりして来ました&久しぶりに老妻との口論ゼロ♪

帰ってから覗いてみたのですが、証明問題が手付かずでしたね。

一見難しそうな問題が続いていますので、これらの解答を待つ間に易しい問題を!

僊BCの辺AB上に点D、CA上にEを取り、平行四辺形ADFEを作ります。
DFとBCとの交点をG、EFとBCとの交点をHとします。
僊BCの外接円Oの半径をR、僖BGの外接円O1の半径をR1、以下同様にR2、R3。

この時、R=R1+R2+R3である事を証明して下さい。

No.1512 垂直の証明  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/22(Sun) 15:01  

赤と黒の正三角形が、辺の中点を共有しています(緑のマーク)。

この時、2頂点同士を結んだ青線は垂直である事を証明して下さい。

No.1511 図形証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/22(Sun) 12:23  

僊BCの辺BC上に点Pを取ります。
三点A、B、Pを通る円を描き、辺ACとの交点をQとし、AP、BQとの交点をRとします。

この時∠R、∠Cの二等分線を引くと、それらは平行である事を証明して下さい。

No.1509 図形問題ではなく頭休め  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/21(Sat) 09:26  
ゼノンの逆説(パラドックス)と言うのがあります。
アキレスは亀を追い抜くことが出来ない。

この逆説が「正しい」事を証明して下さい。
中学生の孫は目を白黒させていましたが...

No.1508 又々算額より  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/19(Thu) 18:17  

これは比較的描きやすいと思います。
例によって、赤円の半径は同じで、細かい説明は省きますが、接円問題です。

勿論、定規とコンパスとコンパスで描けます。

それにしても、解答が大分溜まってしまいました。
三連休明けにアップする予定です。

No.1507 又算額より  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/17(Tue) 18:10  

黒の正三角形に4つの円が図のように配置されています。
青円同士は等しく、赤、青、緑円は夫々接しており、正三角形の1頂点は緑円上。

小生は「交通事故?」的に描けてしまいました(描き方は簡単です)。
しかし、それが条件を満たしているか、数学的確認は後ほど。

No.1506 算額より  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/16(Mon) 06:44  

同じ色の円の半径は同じで、それぞれ図のように接しています。
定規とコンパスで作図して下さい。

尚、作図手順の明記は必須です。

No.1504 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/12(Thu) 17:47  

円Oと点Pがあり、Pからの直線とOとの交点を夫々A、Bとします。
点Pから円Oに接線を引き、接点をD、Eとします。

その時、図の長さa。b、cに於いて、cはa、bの調和平均である事を証明して下さい。
調和平均:c=2ab/(a+b)

No.1502 Q1492 超難問:改訂版  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/11(Wed) 16:55  

解答欄No.2932で述べたように、「青円」と「赤円の中心」が与えられている場合の作図。
言い換えると、青円の半径:2円の中心間の距離が決まっている場合の作図。

色々と描くのは大変でしょうから、動画のR:O1O2=2:1で描いて見て下さい。
無限に描けます(小生のGeoGebra遊びの部屋参照)。

尚、原題では黒円の数が5個ですが、一般にN個(N>=3)で作図可能です。
但し、正N角形が描ける時、又は図として与えられている時。
例えば正七角形は定規とコンパスでは作図出来ませんので...

青円と赤円の半径比率が与えられている場合も、定規とコンパスで作図可能です。
但し、黒円の個数によって、比率には限界があります。

前にも少し触れましたが、5個の時に半径比率3:1は描けません(3.6:1は可能)。
HIROSHIさんの作図例(解答欄No.2927、2939)で言えば、R=6、r=2は作図不可!
但しこの比率でも、黒円6個以上であれば作図可能です。

しつこく追い続けて、やっと結論が出たようです。
しかし、実際に定規とコンパスで描くとなると、円の円による反転だけで気が遠くなりそうですね。
(高価なCADでも、この反転操作は無さそう・・・光学系や電子系など、特殊用途のCADなら有り得るかも...)

いずれ種明かししますので、無理に挑戦しなくても結構です。
昔ここに来ていたUINさん(だったかな?)なら、簡単に解いてしまいそうですね。

現役だったら解明できなかったかも、です。

No.1500 面積は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/10(Tue) 20:38  

赤と青の合同な正方形が、図のように30゜で重なっています。

重なったピンクの部分の面積を求めて下さい。

No.1497 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/06(Fri) 19:39  

昔出題したかも知れませんが...GeoGebraで作成出来たので投稿です。
一寸前に出題した点Pが三角形の辺上に無い時は不可能らしい。

出題文は画像に記載。

(こちらの板ではHPアドレスは記載出来なかったっけ? 解答用はOKでしたが?)

No.1496 続けて証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/05(Thu) 17:42  

任意の三角形ABCがあります。
辺BC上に点D、CA上に点EをBD=AEとなるように取ります。

ADの中点MとBEの中点Nを結ぶと、MNは∠Cの二等分線CPに垂直になる事を証明して下さい。

尚、任意の三角形ですので(又BD、AEなども任意)、3:4:5の三角形などと特定せずに証明して下さい。

No.1495 易しい証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/05(Thu) 16:47  

ABを直径とする円に内接する四角形ABCDがあります。
BCを直径、DAを直径とする円を二つ描き、CDの延長との交点を夫々P、Qとします。

この時、CP=DQである事を証明して下さい。
定規とコンパス作図で証明できる問題を考えてみました。

No.1490は時間が掛かりそうなので、その間に骨休み♪

No.1494 超難問:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/04(Wed) 19:16  
赤円と青円の比率はこれに限るのか?
比率を変えた時、位置関係を変えれば描けるのか?

小生にはまだ判っていませんし、挑戦する意欲も湧いていません。

No.1493 超難問#2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/04(Wed) 19:14  

基本的に前の問題と同じです。
互いに接する円の数を3個にして描いて見ました。

描き方を知っていても、実際に描くのは大変です。
勿論CADでなく、GeoGebraで描きましたが、それでも大変!

CADで描くと補助線がちらついて発狂する可能性があります。

前問同様、参考としておいて下さい(挑戦歓迎ですが...)
挑戦する人は、前問と比べて青円と赤円の比率が違っていることに注目して下さい。

No.1492 超難問?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/03(Tue) 19:40  

青円に内接し、赤円に外接し、尚且つお互いに接している5つの円。
青・赤の円が決まれば無限に描けます。

図形的に描く場合、小生の「コンパス作図の部屋」にある、円を使った反転が楽?

青円と赤円の関係(半径と中心同士の位置関係)が重要なようです。

難しいので暇なときに考えてみて下さい。
出典は、どこかの算額の問題を引用したようです。

No.1491 No.1486:拡張  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/31(Sat) 11:32  
解答用の板でも述べた事を問題にしました。

1/(√3+√2)の正方形を作って下さい。

HIROSHIさんには易し過ぎる問題ですが...

No.1490 No.1489:続  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/31(Sat) 11:22  

下の問題が出来た所で、点B、Cから円Oに接線を引き、接点を夫々D、Eとします。
この時、BD、CE、BCの間に三平方の定理が成立します。
言い換えると、Bを中心に半径BDの円、Cから半径CEの円を描くと・・・
この交点はBCを直径とする円上にあります。

BD^2 + CE^2 = BC^2・・・これを証明して下さい。

「No.1487 易しい証明問題」がヒント(大ヒント!)です。

No.1489 描けるのか???:修正  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/30(Fri) 17:30  

意外と簡単に描けるのでした m(_._)m

そこで問題を少し変えました=僊BCとAB上に点Pが与えられています。
A、Pを通る円で、No.1488の条件を満たす円を描いて下さい。

尚、点Pが特別な位置にある場合などの描き方は不要で、飽く迄も普遍的な描き方募集です。

No.1488 描けるのか???  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/30(Fri) 17:18  

前の問題(No.1487)から浮かんだ作図問題です。
任意の三角形ABCに於いて、辺CA上に点D、辺AB上に点Eを取ります。
三点A、D、Eを通る円Oを描けることは明らか。

ここでBDとCEとの交点をFとした時、点Fが円O上に来るようにしたい。

色々な点D、Eの組合せがあると思いますので、どんなものでも構いません。
しかし、定規とコンパスで描けるのだろうか?

小生はまだ答えを見付けていませんが、意外と簡単なのか不可能なのか???

点Dを固定してEを動かすと(色々プロットすると)、Fの軌跡は双曲線っぽい!
この双曲線と円Oの交点がFと重なれば良い訳ですが...(双曲線を使う作図法は不可ですね!)

No.1487 易しい証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/28(Wed) 08:45  

任意の三角形ABCの辺AB上に点Dがあります。
A、Dを通る円O1とD、Bを通る円O2が点Gで交わっており、夫々AB以外の辺とE、Fで交わっています。
この時4点C、E、F、Gは同一円上に有る事を証明して下さい。
2円が接している時は、G=Dで考えて下さい。
又D、E、Fは辺上だけでなく、その延長上にあっても構いません。

図はGeoGebraで作成しました=A、B、C、O1、O2を動かすことが出来ますが、易しいので投稿していません。

No.1486 元の正方形の1/3の面積の正方形  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/08/25(Sun) 13:54  

この問題もわかり易いように、数回に分けて
投稿する予定でしたが、時間の都合で、本問題一題としました。

@ 一辺が2の正方形ABCDがあります。

A Aから点S、Bから点P、Cから点Q、Dから点Rが
  同時に青矢印の方向に同じスピードで進みます。

B Aと点P、Bと点Q、Cと点R、Dと点Sをそれぞれ結びます。

C 移動の途中で直線AP,BQ,CR,DSがつくる正方形A'B'C'D'の面積が
  正方形ABCDの1/3になる時をコンパスと定木で作図してください。


No.1485 その3 問題の前に問題が・・・  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/08/24(Sat) 15:48  

よく考えると、小学生の方など線分のある点から
垂線を作図する方法をまだ、学習されていないようです。
(すみません)

取り急ぎ、作図方法を問題として投稿いたします。

小学生の方や作図方法を忘れた方は解答を参考にしてください。


問題です。

@ 線分OP'の線上にある点Rから
  線分OP'の垂線(垂直な線)を描いてください。

No.1484 おまけの問題  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/08/24(Sat) 12:57  

よく、角を二等分する作図方法はネットでも
見かけるのですが、

角を二倍にする作図方法はみかけません。(簡単だからかなぁ〜)

そこで問題です。

@ 図のように∠AOB=35°の辺OAとOBがあります。

A ∠AOB'=70°となる、辺OB'を描いてください。

コンパスと定木(分度器はダメですよ)での作図です。

コンパス3回、定木1回で作図できる方法もありますよ。
(色々な作図方法を見つけてください。)

No.1483 その3 問題 No,1481から始めてくださいね。  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/08/24(Sat) 11:35  

この問題は酒転童子さんの部屋からお借りしました。
(お世話になっております。)

@ 90°の扇形があります。

A ∠AOBの二等分線OP'を引きます。

B この時、直径FGが弧ABにそれぞれ接し、
  半円Mの弧GFが辺OA、OBにそれぞれE、Dで接している
  青色半円M(直径FGも含む)を描いてください。

ヒント: その1、その2の答えを使えば、作図しやすいかも!

No.1482 その2 問題 No,1481から始めてくださいね。  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/08/24(Sat) 11:26  

次は扇形に内接する円を描く問題です。

こちらもコンパスと定木の作図問題です。

@ 90°扇形OABがあります。

A 辺OAと辺OB、弧ABにそれぞれ接する円を描いてください。
  (扇形に内接する円)

No.1481 その1 問題(最初はこちらから解いてくださいね)  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/08/24(Sat) 11:20  

その1、その2、その3とありますから、ここから始めてくださいね。

コンパスと定木で作図する問題です。

同じ角度の線分を指定された点から、描くことを求めています。

@ 点Oを中心とした、半径5の90°扇形OABがあります。

A ∠AOBの二等分線OP'を引きます。

B 二等分線OP'上に中心を持ち、辺OA、OBに接する半径1の円を描きます。
  (辺OAと辺OBを利用して点Oを1つの頂角とする正方形を描けば
   ∠Oの対頂角が中心Rになります)

C 円Rの円周と二等分線OP'のP'側の交点をPとし、円Rと辺OAとの
  接点をQとします。

D この時、PとQを結んだ青線PQと同じ角度の青線P'Q''を
  描いてください。

問題文がながくなりました。スイマセン!

No.1480 易しい(エコ?)問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/23(Fri) 21:21  

正方形と1/4円及び対角線から成っている形状です。
空色の部分とピンクの部分の面積が等しい事を、パズルらしく説明して下さい。
数学らしい取り付き難い解答でもOKです。

中学の入試にも出てきそうな問題ですね。

No.1479 作図問題2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/22(Thu) 19:38  

>別の問題を作ろうとして(Q1478)

作ろうと思った作図問題は以下の通り。

線分ABと線分上に点Cが与えられています。
ABを弦とする円O1は無限に描く事が出来、その時の円O1に内接し点CでABに接する円O2を描く事も出来ます。

この時円O2が点O1を通るような円O1を描いて下さい。

いざ描いて見ると、点Cの位置によってはこのようなO2が存在しない事もあります。
出来ればO2が存在する点Cの範囲も考えてみて下さい。

No.1478 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/22(Thu) 09:50  

青円Oとその弦AB、及びAB上に点Pが与えられています。
点Pで弦ABに接し青円Oに内接する円(図の赤点円)を描いて下さい(普通二つ描けます)。

似たような問題を出していますが、直径ではなく弦としたのは初めてかな?

別の問題を作ろうとして、作図途中で一寸迷ったのでクイズ問題としました。
(実は皆さんの答えを見て、それをパクろうと・・・)

No.1475 Q1459:一寸変更  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/19(Mon) 09:06  

二つの三角形が離れている時の、合計した形状の重心を求めて下さい。
同じ考え方で、重なった状態でも求める事が出来ます。

添付図ではCAD的に正確に求めました。

青点が夫々の三角形の重心、赤点が合計の重心ですが、正確に求めたので位置関係がヒントになりますね。

この問題は解凍用BBSで説明を考えている時に浮かんだものです。

No.1474 正六角形と7つの円  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/17(Sat) 16:09  

酒転童子さんの部屋からのパクリです。
赤円の半径は全て同じで、図のように六角形の辺and/or青線に接しています。

定規とコンパスだけで描いて下さい。
尚、酒転童子さんの部屋では図しか掲載されていませんので、カンニングは出来ません。

ヒント:中心の円から描いた方が楽なようです。
青線と外側の赤円は直ぐに描けるでしょうが、外側の正六角形がすこし大変かも...

No.1471 久し振り?に証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/14(Wed) 19:07  

直角三角形ABCの∠Aを2αとします。
点B、Cから図のように3α、αの角度で線を引き、辺の延長との交点をE、Fを求めます。

AB=a、BE=b、AF=cとすると、a+2b=c である事を証明して下さい。

No.1470 万引き問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/13(Tue) 18:36  
図形クイズではありませんが、小学生でも判る(もうこのフレーズは止めようかな)算数問題です。
昼間万引き現場に遭遇しました(ラッキー?・・・退職しないと中々経験出来ない?)。
そこで万引きでググった情報から問題を作って見ました(孫に出す時は「万引き」の言葉を変えねば)。

5千円万引きされると、その損失を埋める為には5万円の売り上げが必要!
全ての商品の原価率が同じとした時、この店の原価率は?

No.1469 No.1468 Q1464:考察  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/10(Sat) 09:40  
2円の比率が整数比の時、直角三角形ABCの辺の比率も整数比になるらしい。
3:4:5の時はO2:O2'=2:1!!!

時間のある人は、この比率を3:4とか5:3とかで確認してみて下さい。
時間の余り無い人は、n:mの整数比で数式で考えてみて下さい。

No.1468 Q1464:一寸変更  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/10(Sat) 09:17  
O2'とO2の半径比率を2:3で描いて下さい。
No.1467 HIROSHIさんへ  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/10(Sat) 08:18  
「No.1464 こちらは良く知られている、図形です。」に対して:
計算での求め方以外らしいですが、AB:BCの比率を使わないで作図せよとの事でしょうか?

比率は直ぐに判ってしまいますので、これを使わずに作図し、結果から比率が判るようにすると言う事?

No.1466 アポロニウスの作図方法で描けなかった問題?:拡張...  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/10(Sat) 06:23  

HIROSHIさんの図からヒントを得て、少し拡張してみました。

円の中心O1を通り直交する2線a、bがあります。
夫々の線上に点P、Qを取り、a、bに垂直な線を引きます。

その時に2線と円に接する、図の緑円を描きなさい。

CADの接円コマンドを使うと簡単なのですが、出題の為の作図は「定規とコンパス」方式で描きました。

No.1465 RE:No,1463  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/08/09(Fri) 22:04  
アポロニウスの作図方法の一部と追加した方法では、
描くことは出来ました。

肝心なことを言い忘れました。すみません。

No.1464 こちらは良く知られている、図形です。  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/08/09(Fri) 21:57  

図をご覧になれば、お分かりのように
直径ABの円周と線分ACに接する最大の円O2'と
直角三角形に内接する円O2を同じ半径として
作図する問題です。

計算での求め方はインターネットで知りました。

これも、定木とコンパス問題としてお願いいたします。

こちらの方も簡単かも・・・

No.1463 アポロニウスの作図方法で描けなかった問題?  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/08/09(Fri) 21:49  

簡単な作図と思うんですが、
私には無理でした。

そこで、質問もかねて問題です。

定木とコンパス問題として、作図をお願いいたします。

直径QRの円O1があります。
円周上の点A、Bを結ぶ線分ABと
円周上の点C、Dを結ぶ線分CDがあり、
直径QRと図のように垂直、平行な関係にあります。

問題は円O1の円弧と線分AB、CDと図のように接する
円O2の作図です。

アポロニウスの方法は使えそうでしょうか・・・

No.1462 重心と垂心:問題を変形を変形  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/08(Thu) 16:17  
No.1454参照。
重心と垂心及び1辺と重なる直線が与えられている時・・・と問題を変形してみました。
しかし、これは直ぐに1頂点が決まってしまい、No.1454と同じ!

と言う事はNo.1454をこちらから攻めていく手もありですね。

ヒントにはならないか...

No.1461 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/08(Thu) 05:40  

マルファッティの問題のHIROSHIさんの考察と、「No.1448 某中学の入試問題」からヒントを得たもの。

点Mから(Mでなくても良いのですが)CMに垂直な線(青)を引きます。
CMをCBに対して反転コピーし(赤線)、青線との交点をPとすると:
CM:MP:PC=3:4:5となる事を証明して下さい。

三角関数を使うと簡単なんですが、図形的に証明出来る?

No.1460 Re:No.1459  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/07(Wed) 17:46  
CADで描いて見たら、結構面倒臭いですね。
四角形でも構いません。凹の四角形だと形状によっては重心は四角形の外!

所謂「背面跳び(走り高跳び一般)」の理屈ですね♪


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本音のCAD・CAM http://amaterus.jp/