一寸ゴツイ（？）算額風問題が続きましたので、息抜き問題です。
と言っても証明問題ですが、易しいのでHIROSHIさんも頑張って下さい。

平行四辺形ABCDと対角線AC上に点Pがあります。
Pを通り各辺と平行な線EG、FHを引きます。

その時、平行四辺形PEDFとPGBHの面積が等しい事を証明して下さい。

解答No.3205のHIROSHIさんの図と同じです。
作図原理はかなり面倒でしたが、作図手順は結構簡単です。

円C、C'、C''は同半径で、後者の２円はこのように接する最大の径です。

これってどう描くんでしたっけ？
円OとOを通る直線があり、円A（赤）は円Oとこの直線に接しています。
この時、黒円に内接し赤円と外接し、且つこの直線に接する円Bの作図です。

昼酒を飲んで帰宅、さて自分で出題した問題を解こうとしてパタッと手が止まりました。

酒転童子さんによれば、該当する円Bは３個描ける筈です。

青円Bの「簡便な」作図法は？？？
JWWCADコマンドを使えば簡単なのですが、飽く迄も定規とコンパスで！

どうも飲み過ぎのようで、明日、本格的に取り組みますが．．．
飲み過ぎ・・・誤字脱字だらけかも知れませんが、ご容赦を。

Q1558を少し変えてOPと青線に接する２円の作図です。
青円と緑円が外接し、且つ黒円に内接している条件は同じです。
又、点Pの位置は任意です。
Pが無限遠なら赤円と緑円の径が等しいのですが・・・（前の問題でも）
この共通接線の一つ（青線）を描いて下さい（勿論、定規とコンパスで）。

これは点Pと赤円、緑円を作図してから黒円を描いたもの。
即ち、小生はまだ描き方を見付けておりません。
言い換えると、任意の点で描けるか判ってません（無責任ですが．．．）。

今迄に何度も出てくる作図法で描く事が出来ました。
小生のGeoGebra遊びのページを参照して下さい（数式は使わずに、円コマンド、直線コマンドで描いてあります、但し補助線は隠してます）。

点O、P及びR1を動かして確認して下さい（R1は円Oの半径変更用）。

証明問題が多いとのクレーム（？）がありましたので続けて作図問題。

半径ｒの円Ｏと円の外に点Ｐがあります。
Ｐから適切な直線を引き、ＯＰに対して反転コピーします（青線）。

この時、この２線に接し、且つ円Ｏに内接し、且つお互いに外接する円を描いて下さい。

尚、ＯＰ＝２ｒとしますが、それが描けたら点Ｐ任意で描いて下さい。
勿論、任意の点Ｐで描けたらＯＰ＝２ｒは無視して結構です。
多分描けると思いますが未検証です。

算額画像をググっていて思い付いた問題ですが、実際にどこかに奉納されているかも．．．
HIROSHIさんは算額に詳しいようですので、コメント宜しくです。

楕円が与えられています。
これは定規とコンパスでは描けないので、図として与えられていると考えて下さい。

この楕円の焦点を、定規とコンパスで作図して下さい。

証明問題が続いたので、易しい作図問題を考えてみました。

楕円と言うと酒転童子さん（？）なので、彼の部屋に答えがある？？？
詳しく見ていませんが、自力で作図してみて下さい。

尚、長径・短径比も傾きも判っていません。

ヒントの前に既に解答しているんですが・・・無視？？？

まずは、昨日の問題Q:No.1553のヒントです。

補助線2本を足せば・・・円が見えますね。

それぞれ対面している辺の中点を結び、線分EG、FHとします。

小学生の方も頑張ってくださいね。

>コンパスで作図してください。

これは思いも拠らない作図でした。
ちょっと試したら、色んな円でいっぱいになって、
訳がわからなくなってます。

＞定木とコンパスで作図してください。

少し問題を変更してみました。
コンパスで作図して下さい ⇒ 交点（接点でなく）PとQを求めて下さい。

出題者には易しい問題ですね♪　他の人の解答をお待ちしております。

算額の画像にあったものです。

記録の状態で2週間ほど前に作図してみました。

中学生以上の方なら（小学生の方でも頑張れば）、作図出来ると思います。

では、問題です。

正方形ABCDがあります。

甲の正方形（青）と乙の正方形（緑）が図のように

対角線AC、BD上のM N R で頂点同士が接しています。

点DからM、Nにそれぞれ線を引き、その延長線と

辺AB、BCとの接点をP Qとします。

この時、甲と乙が図のようになる線分（赤線）DP、DQを

定木とコンパスで作図してください。

PS 算額最中図や正三角形の内接円の問題など、定木とコンパスで
　　作図しましたので、時間がある時に投稿します。

ヒント:　中心角と円周角を用いれば、作図できるようです。

�僊BCが一定の時、EFとABとの交点（BC≠CAの場合）Qは、点Pの位置に関わらず一定（不動）である事を証明して下さい。

これが判ればNo.1549も解ける筈です。
どちらが先でも同時でも（理屈は同じなので）構いません。

証明の簡素さからすると、こちらから解いた方が楽かもしれません。
もっとも、解く方の得手不得手（好き嫌い）によるでしょうが．．．

「直接」関連する訳ではありませんが．．．

�僊BCの頂点CからABに垂線を下ろし、その足をDとします。
垂線CD上に点Pを取り、APとBCとの交点をE、同様に交点をFとします。

その時、∠EDP=∠FDPとなる事を証明して下さい。

易しい問題が続いたので、少し難し目の問題にしてみました。

尚、小生のGeoGebra遊びのページにも掲載してあります。
解答は載せていませんが、そこで点C、Pを動かすことが出来ます。
∠A(又は∠B)が鈍角の時は、辺の延長に点が来ます。

一辺の長さがaの正方形ABCDがあります。点Oは正方形の中心です。
図のように辺上に点E、Fを取り、直線OE、OFを引きます。
更に頂点B、C、Dから夫々垂線を下ろし、その足をG、H、I、Jとします（順番が一寸変ですが）。

この時、DG^2+CH^2+CI^2+BJ^2をaで表して下さい。

これも補助線が浮かべば易しい問題かも．．．

易しい問題です。
正方形ABCDがあり、点MはCDの中点、点NはCAの3:1の内分点(CN=3AN)です。

∠BNMは何度ですか？

下記(Q1545)は図形的証明が一寸面倒と思われるので、問題を言い換えてみました。
鋭角（でなくても、辺の延長を考えれば良いのですが）�僊BCがあります。
赤線は各頂点からの垂線で、その足をP、Q、Rとします。
P1、P2は点Pの辺BC、CAに対する鏡像です。

この時、P1、Q、R、P2が同一直線上にある事を証明して下さい。

解答欄で「宣言」した問題です。
鋭角三角形ABCがあり、点PはCからABに下ろした垂線の足です。
P1、P2は点PのBC、CAに対する鏡面コピーです。

直線P1P2とBC、CAとの交点を夫々Q、Rとした時、AQ垂直BC、BR⊥CAを証明して下さい。

正三角形ABCとその外接円Oがあります。
点Mは弦BCの中点で、点Dは円O上の任意の点です。
BDにMから下ろした垂線の足をHとした時、BH:ADは幾つになりますか？

補助線一本で解決の糸口は直ぐに見付かると思います。

正方形ABCDとABを直径とする円Oがあります。
この時、図に示すような角度を持つ、Oの円周上の点Pを作図して下さい。

それだけでは面白くないので、AP:PD（比率）を求めて下さい。

見た目以上に易しい問題と思います。

Q1530を解く為の助けになるかも知れない問題です。
赤：緑=a:b、緑：黒=c:d、即ち対辺同士の比率が等しくなっています。
この時、HP:PF=a:b、EP:PG=c:dとなる事を証明して下さい。

Q1530はこの結果を踏まえて作図出来ると思います。

昔の作図問題前の答えが（うまい具合に？）見付からないようですので、少し焼直して問題としました。
図のように三角形の２辺に接する赤円と緑円があります。
半径比率が赤円：緑円＝１：２で、共通接線（青破線）が１辺（青線）と平行になるような円は？

描き方も原理も易しいですので、息抜きとして楽しんでください。
尚、昔の問題は赤：緑＝１：１でした。

過去ログで検索すれば出てくるはずですが、
出てきても画像は消えているみたいです。
掲示板の機能の限界かな・・・

任意の三角形ABCに於いて、次の条件を満たす辺BC上の点Pを作図して下さい。
�僊PCの内接円（青）と�僊BPの傍接円（赤）の半径比率を、与えられた比率a:bとなる点Pを作図。

昔似たような問題を出しています。
その時は�僊BCを二等辺三角形とし、a:b=1:1と単純な条件でした。
それを少し拡張したものです。

尚、上記の解答は閲覧出来ないようです（データ消去？）。

GeoGebraをインストールしている人は、GeoGebra遊びのページから描画詳細をDLする事が出来ます。

Q1528を解く為の作図問題です。
鋭角三角形ABCと、辺BC上に1点Pが与えられているとします。
�儕QRの周長が最短となるQ、Rの位置を作図して下さい。

当然ながら定規とコンパスで作図可能な問題です。
図のように「鋭角」三角形ABCに�儕QRが内接しています。
この時、�儕QRの周囲の長さ(=PQ+QR+RP)が最小になるように作図して下さい。

結構有名な作図法かも知れませんが？？？

描き方に「描けた理由」がプラスされれば満点ですね。

ヒント（？）：描き方自体は簡単です。

正方形ABCDとその対角線の交点をEとします。
又対角線ACとAを中心とする1/4円との交点をFとし、BFとDCとの交点をGとします。

この時、DG（青線）の長さが、EF（赤線）の2倍である事を証明して下さい。

なんとなく、前に出題した問題と似ているようですが、気にせず出題しました。

�僊BCは任意の直角三角形、AB⊥BD且つAB=BDです。
この時、x^2=2a^2+b^2-2abである事を証明して下さい。

小生は最近の癖で「余弦定理」で先ず解いてしまいました（結構シンプル）。
しかし、気を取り直して図形で解いたら・・・もっと易しかった！！！

尚、N/Tさんの得意技＝相似は使いませんでした。

下記No.1517のヒントとなる作図問題です。
PAの長さをaのように表した時、a、b、cに図のような関係があります。
そのような点Pを作図で求めて下さい（無限にありますが．．．）。

例えば点PがAと重なる時、a=0、b=cですから、条件を満たしている事が判ります。
それ以外の点Pを求めてみて下さい。

ここから、a:b:c=3:4:5の作図にたどり着ける筈です。

正三角形ABCと一点Pがあります。
PA:PB:PC=3:4:5となる点Pを全て作図して下さい。

尚、作図手順をキチンと説明すること。
3:4:5でなくても良いのですが、HIROSHIさん好み（？）の比率にしました。

フッと浮かんでザッと作ったので、捻りが無く易しい問題になってしまった。
上記の比率にした位では「捻り」とは言えませんもんね。

連休が「明ける」のを待って、箱根の老舗旅館へ二泊三日のミニ旅行。
しっとり、のんびりして来ました＆久しぶりに老妻との口論ゼロ♪

帰ってから覗いてみたのですが、証明問題が手付かずでしたね。

一見難しそうな問題が続いていますので、これらの解答を待つ間に易しい問題を！

�僊BCの辺AB上に点D、CA上にEを取り、平行四辺形ADFEを作ります。
DFとBCとの交点をG、EFとBCとの交点をHとします。
�僊BCの外接円Oの半径をR、�僖BGの外接円O1の半径をR1、以下同様にR2、R3。

この時、R=R1+R2+R3である事を証明して下さい。

赤と黒の正三角形が、辺の中点を共有しています（緑のマーク）。

この時、２頂点同士を結んだ青線は垂直である事を証明して下さい。

�僊BCの辺BC上に点Pを取ります。
三点A、B、Pを通る円を描き、辺ACとの交点をQとし、AP、BQとの交点をRとします。

この時∠R、∠Cの二等分線を引くと、それらは平行である事を証明して下さい。

ゼノンの逆説（パラドックス）と言うのがあります。
アキレスは亀を追い抜くことが出来ない。

この逆説が「正しい」事を証明して下さい。
中学生の孫は目を白黒させていましたが．．．

これは比較的描きやすいと思います。
例によって、赤円の半径は同じで、細かい説明は省きますが、接円問題です。

勿論、定規とコンパスとコンパスで描けます。

それにしても、解答が大分溜まってしまいました。
三連休明けにアップする予定です。

黒の正三角形に４つの円が図のように配置されています。
青円同士は等しく、赤、青、緑円は夫々接しており、正三角形の１頂点は緑円上。

小生は「交通事故？」的に描けてしまいました（描き方は簡単です）。
しかし、それが条件を満たしているか、数学的確認は後ほど。

同じ色の円の半径は同じで、それぞれ図のように接しています。
定規とコンパスで作図して下さい。

尚、作図手順の明記は必須です。

円Oと点Pがあり、Pからの直線とOとの交点を夫々A、Bとします。
点Pから円Oに接線を引き、接点をD、Eとします。

その時、図の長さa。b、cに於いて、cはa、bの調和平均である事を証明して下さい。
調和平均：c=2ab/(a+b)

解答欄No.2932で述べたように、「青円」と「赤円の中心」が与えられている場合の作図。
言い換えると、青円の半径：2円の中心間の距離が決まっている場合の作図。

色々と描くのは大変でしょうから、動画のR:O1O2=2:1で描いて見て下さい。
無限に描けます（小生のGeoGebra遊びの部屋参照）。

尚、原題では黒円の数が５個ですが、一般にＮ個（Ｎ＞＝３）で作図可能です。
但し、正Ｎ角形が描ける時、又は図として与えられている時。
例えば正七角形は定規とコンパスでは作図出来ませんので．．．

青円と赤円の半径比率が与えられている場合も、定規とコンパスで作図可能です。
但し、黒円の個数によって、比率には限界があります。

前にも少し触れましたが、５個の時に半径比率３：１は描けません（3.6：1は可能）。
HIROSHIさんの作図例（解答欄No.2927、2939）で言えば、R=6、r=2は作図不可！
但しこの比率でも、黒円６個以上であれば作図可能です。

しつこく追い続けて、やっと結論が出たようです。
しかし、実際に定規とコンパスで描くとなると、円の円による反転だけで気が遠くなりそうですね。
（高価なCADでも、この反転操作は無さそう・・・光学系や電子系など、特殊用途のCADなら有り得るかも．．．）

いずれ種明かししますので、無理に挑戦しなくても結構です。
昔ここに来ていたUINさん（だったかな？）なら、簡単に解いてしまいそうですね。

現役だったら解明できなかったかも、です。

赤と青の合同な正方形が、図のように30゜で重なっています。

重なったピンクの部分の面積を求めて下さい。

昔出題したかも知れませんが．．．GeoGebraで作成出来たので投稿です。
一寸前に出題した点Pが三角形の辺上に無い時は不可能らしい。

出題文は画像に記載。

（こちらの板ではHPアドレスは記載出来なかったっけ？　解答用はOKでしたが？）

任意の三角形ABCがあります。
辺BC上に点D、CA上に点EをBD=AEとなるように取ります。

ADの中点MとBEの中点Nを結ぶと、MNは∠Cの二等分線CPに垂直になる事を証明して下さい。

尚、任意の三角形ですので（又BD、AEなども任意）、3:4:5の三角形などと特定せずに証明して下さい。

ABを直径とする円に内接する四角形ABCDがあります。
BCを直径、DAを直径とする円を二つ描き、CDの延長との交点を夫々P、Qとします。

この時、CP=DQである事を証明して下さい。
定規とコンパス作図で証明できる問題を考えてみました。

No.1490は時間が掛かりそうなので、その間に骨休み♪

赤円と青円の比率はこれに限るのか？
比率を変えた時、位置関係を変えれば描けるのか？

小生にはまだ判っていませんし、挑戦する意欲も湧いていません。

基本的に前の問題と同じです。
互いに接する円の数を３個にして描いて見ました。

描き方を知っていても、実際に描くのは大変です。
勿論CADでなく、GeoGebraで描きましたが、それでも大変！

CADで描くと補助線がちらついて発狂する可能性があります。

前問同様、参考としておいて下さい（挑戦歓迎ですが．．．）
挑戦する人は、前問と比べて青円と赤円の比率が違っていることに注目して下さい。

青円に内接し、赤円に外接し、尚且つお互いに接している５つの円。
青・赤の円が決まれば無限に描けます。

図形的に描く場合、小生の「コンパス作図の部屋」にある、円を使った反転が楽？

青円と赤円の関係（半径と中心同士の位置関係）が重要なようです。

難しいので暇なときに考えてみて下さい。
出典は、どこかの算額の問題を引用したようです。

解答用の板でも述べた事を問題にしました。

1/(√3+√2)の正方形を作って下さい。

HIROSHIさんには易し過ぎる問題ですが．．．

下の問題が出来た所で、点B、Cから円Oに接線を引き、接点を夫々D、Eとします。
この時、BD、CE、BCの間に三平方の定理が成立します。
言い換えると、Bを中心に半径BDの円、Cから半径CEの円を描くと・・・
この交点はBCを直径とする円上にあります。

BD^2 + CE^2 = BC^2・・・これを証明して下さい。

「No.1487　易しい証明問題」がヒント（大ヒント！）です。

意外と簡単に描けるのでした m(_._)m

そこで問題を少し変えました＝�僊BCとAB上に点Pが与えられています。
A、Pを通る円で、No.1488の条件を満たす円を描いて下さい。

尚、点Pが特別な位置にある場合などの描き方は不要で、飽く迄も普遍的な描き方募集です。

前の問題（No.1487）から浮かんだ作図問題です。
任意の三角形ABCに於いて、辺CA上に点D、辺AB上に点Eを取ります。
三点A、D、Eを通る円Oを描けることは明らか。

ここでBDとCEとの交点をFとした時、点Fが円O上に来るようにしたい。

色々な点D、Eの組合せがあると思いますので、どんなものでも構いません。
しかし、定規とコンパスで描けるのだろうか？

小生はまだ答えを見付けていませんが、意外と簡単なのか不可能なのか？？？

点Dを固定してEを動かすと（色々プロットすると）、Fの軌跡は双曲線っぽい！
この双曲線と円Oの交点がFと重なれば良い訳ですが．．．（双曲線を使う作図法は不可ですね！）

任意の三角形ABCの辺AB上に点Dがあります。
A、Dを通る円O1とD、Bを通る円O2が点Gで交わっており、夫々AB以外の辺とE、Fで交わっています。
この時４点C、E、F、Gは同一円上に有る事を証明して下さい。
２円が接している時は、G=Dで考えて下さい。
又D、E、Fは辺上だけでなく、その延長上にあっても構いません。

図はGeoGebraで作成しました＝A、B、C、O1、O2を動かすことが出来ますが、易しいので投稿していません。