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No.1497 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/06(Fri) 19:39  

昔出題したかも知れませんが...GeoGebraで作成出来たので投稿です。
一寸前に出題した点Pが三角形の辺上に無い時は不可能らしい。

出題文は画像に記載。

(こちらの板ではHPアドレスは記載出来なかったっけ? 解答用はOKでしたが?)

No.1496 続けて証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/05(Thu) 17:42  

任意の三角形ABCがあります。
辺BC上に点D、CA上に点EをBD=AEとなるように取ります。

ADの中点MとBEの中点Nを結ぶと、MNは∠Cの二等分線CPに垂直になる事を証明して下さい。

尚、任意の三角形ですので(又BD、AEなども任意)、3:4:5の三角形などと特定せずに証明して下さい。

No.1495 易しい証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/05(Thu) 16:47  

ABを直径とする円に内接する四角形ABCDがあります。
BCを直径、DAを直径とする円を二つ描き、CDの延長との交点を夫々P、Qとします。

この時、CP=DQである事を証明して下さい。
定規とコンパス作図で証明できる問題を考えてみました。

No.1490は時間が掛かりそうなので、その間に骨休み♪

No.1494 超難問:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/04(Wed) 19:16  
赤円と青円の比率はこれに限るのか?
比率を変えた時、位置関係を変えれば描けるのか?

小生にはまだ判っていませんし、挑戦する意欲も湧いていません。

No.1493 超難問#2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/04(Wed) 19:14  

基本的に前の問題と同じです。
互いに接する円の数を3個にして描いて見ました。

描き方を知っていても、実際に描くのは大変です。
勿論CADでなく、GeoGebraで描きましたが、それでも大変!

CADで描くと補助線がちらついて発狂する可能性があります。

前問同様、参考としておいて下さい(挑戦歓迎ですが...)
挑戦する人は、前問と比べて青円と赤円の比率が違っていることに注目して下さい。

No.1492 超難問?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/09/03(Tue) 19:40  

青円に内接し、赤円に外接し、尚且つお互いに接している5つの円。
青・赤の円が決まれば無限に描けます。

図形的に描く場合、小生の「コンパス作図の部屋」にある、円を使った反転が楽?

青円と赤円の関係(半径と中心同士の位置関係)が重要なようです。

難しいので暇なときに考えてみて下さい。
出典は、どこかの算額の問題を引用したようです。

No.1491 No.1486:拡張  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/31(Sat) 11:32  
解答用の板でも述べた事を問題にしました。

1/(√3+√2)の正方形を作って下さい。

HIROSHIさんには易し過ぎる問題ですが...

No.1490 No.1489:続  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/31(Sat) 11:22  

下の問題が出来た所で、点B、Cから円Oに接線を引き、接点を夫々D、Eとします。
この時、BD、CE、BCの間に三平方の定理が成立します。
言い換えると、Bを中心に半径BDの円、Cから半径CEの円を描くと・・・
この交点はBCを直径とする円上にあります。

BD^2 + CE^2 = BC^2・・・これを証明して下さい。

「No.1487 易しい証明問題」がヒント(大ヒント!)です。

No.1489 描けるのか???:修正  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/30(Fri) 17:30  

意外と簡単に描けるのでした m(_._)m

そこで問題を少し変えました=僊BCとAB上に点Pが与えられています。
A、Pを通る円で、No.1488の条件を満たす円を描いて下さい。

尚、点Pが特別な位置にある場合などの描き方は不要で、飽く迄も普遍的な描き方募集です。

No.1488 描けるのか???  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/30(Fri) 17:18  

前の問題(No.1487)から浮かんだ作図問題です。
任意の三角形ABCに於いて、辺CA上に点D、辺AB上に点Eを取ります。
三点A、D、Eを通る円Oを描けることは明らか。

ここでBDとCEとの交点をFとした時、点Fが円O上に来るようにしたい。

色々な点D、Eの組合せがあると思いますので、どんなものでも構いません。
しかし、定規とコンパスで描けるのだろうか?

小生はまだ答えを見付けていませんが、意外と簡単なのか不可能なのか???

点Dを固定してEを動かすと(色々プロットすると)、Fの軌跡は双曲線っぽい!
この双曲線と円Oの交点がFと重なれば良い訳ですが...(双曲線を使う作図法は不可ですね!)

No.1487 易しい証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/28(Wed) 08:45  

任意の三角形ABCの辺AB上に点Dがあります。
A、Dを通る円O1とD、Bを通る円O2が点Gで交わっており、夫々AB以外の辺とE、Fで交わっています。
この時4点C、E、F、Gは同一円上に有る事を証明して下さい。
2円が接している時は、G=Dで考えて下さい。
又D、E、Fは辺上だけでなく、その延長上にあっても構いません。

図はGeoGebraで作成しました=A、B、C、O1、O2を動かすことが出来ますが、易しいので投稿していません。

No.1486 元の正方形の1/3の面積の正方形  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/08/25(Sun) 13:54  

この問題もわかり易いように、数回に分けて
投稿する予定でしたが、時間の都合で、本問題一題としました。

@ 一辺が2の正方形ABCDがあります。

A Aから点S、Bから点P、Cから点Q、Dから点Rが
  同時に青矢印の方向に同じスピードで進みます。

B Aと点P、Bと点Q、Cと点R、Dと点Sをそれぞれ結びます。

C 移動の途中で直線AP,BQ,CR,DSがつくる正方形A'B'C'D'の面積が
  正方形ABCDの1/3になる時をコンパスと定木で作図してください。


No.1485 その3 問題の前に問題が・・・  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/08/24(Sat) 15:48  

よく考えると、小学生の方など線分のある点から
垂線を作図する方法をまだ、学習されていないようです。
(すみません)

取り急ぎ、作図方法を問題として投稿いたします。

小学生の方や作図方法を忘れた方は解答を参考にしてください。


問題です。

@ 線分OP'の線上にある点Rから
  線分OP'の垂線(垂直な線)を描いてください。

No.1484 おまけの問題  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/08/24(Sat) 12:57  

よく、角を二等分する作図方法はネットでも
見かけるのですが、

角を二倍にする作図方法はみかけません。(簡単だからかなぁ〜)

そこで問題です。

@ 図のように∠AOB=35°の辺OAとOBがあります。

A ∠AOB'=70°となる、辺OB'を描いてください。

コンパスと定木(分度器はダメですよ)での作図です。

コンパス3回、定木1回で作図できる方法もありますよ。
(色々な作図方法を見つけてください。)

No.1483 その3 問題 No,1481から始めてくださいね。  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/08/24(Sat) 11:35  

この問題は酒転童子さんの部屋からお借りしました。
(お世話になっております。)

@ 90°の扇形があります。

A ∠AOBの二等分線OP'を引きます。

B この時、直径FGが弧ABにそれぞれ接し、
  半円Mの弧GFが辺OA、OBにそれぞれE、Dで接している
  青色半円M(直径FGも含む)を描いてください。

ヒント: その1、その2の答えを使えば、作図しやすいかも!

No.1482 その2 問題 No,1481から始めてくださいね。  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/08/24(Sat) 11:26  

次は扇形に内接する円を描く問題です。

こちらもコンパスと定木の作図問題です。

@ 90°扇形OABがあります。

A 辺OAと辺OB、弧ABにそれぞれ接する円を描いてください。
  (扇形に内接する円)

No.1481 その1 問題(最初はこちらから解いてくださいね)  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/08/24(Sat) 11:20  

その1、その2、その3とありますから、ここから始めてくださいね。

コンパスと定木で作図する問題です。

同じ角度の線分を指定された点から、描くことを求めています。

@ 点Oを中心とした、半径5の90°扇形OABがあります。

A ∠AOBの二等分線OP'を引きます。

B 二等分線OP'上に中心を持ち、辺OA、OBに接する半径1の円を描きます。
  (辺OAと辺OBを利用して点Oを1つの頂角とする正方形を描けば
   ∠Oの対頂角が中心Rになります)

C 円Rの円周と二等分線OP'のP'側の交点をPとし、円Rと辺OAとの
  接点をQとします。

D この時、PとQを結んだ青線PQと同じ角度の青線P'Q''を
  描いてください。

問題文がながくなりました。スイマセン!

No.1480 易しい(エコ?)問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/23(Fri) 21:21  

正方形と1/4円及び対角線から成っている形状です。
空色の部分とピンクの部分の面積が等しい事を、パズルらしく説明して下さい。
数学らしい取り付き難い解答でもOKです。

中学の入試にも出てきそうな問題ですね。

No.1479 作図問題2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/22(Thu) 19:38  

>別の問題を作ろうとして(Q1478)

作ろうと思った作図問題は以下の通り。

線分ABと線分上に点Cが与えられています。
ABを弦とする円O1は無限に描く事が出来、その時の円O1に内接し点CでABに接する円O2を描く事も出来ます。

この時円O2が点O1を通るような円O1を描いて下さい。

いざ描いて見ると、点Cの位置によってはこのようなO2が存在しない事もあります。
出来ればO2が存在する点Cの範囲も考えてみて下さい。

No.1478 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/22(Thu) 09:50  

青円Oとその弦AB、及びAB上に点Pが与えられています。
点Pで弦ABに接し青円Oに内接する円(図の赤点円)を描いて下さい(普通二つ描けます)。

似たような問題を出していますが、直径ではなく弦としたのは初めてかな?

別の問題を作ろうとして、作図途中で一寸迷ったのでクイズ問題としました。
(実は皆さんの答えを見て、それをパクろうと・・・)

No.1475 Q1459:一寸変更  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/19(Mon) 09:06  

二つの三角形が離れている時の、合計した形状の重心を求めて下さい。
同じ考え方で、重なった状態でも求める事が出来ます。

添付図ではCAD的に正確に求めました。

青点が夫々の三角形の重心、赤点が合計の重心ですが、正確に求めたので位置関係がヒントになりますね。

この問題は解凍用BBSで説明を考えている時に浮かんだものです。

No.1474 正六角形と7つの円  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/17(Sat) 16:09  

酒転童子さんの部屋からのパクリです。
赤円の半径は全て同じで、図のように六角形の辺and/or青線に接しています。

定規とコンパスだけで描いて下さい。
尚、酒転童子さんの部屋では図しか掲載されていませんので、カンニングは出来ません。

ヒント:中心の円から描いた方が楽なようです。
青線と外側の赤円は直ぐに描けるでしょうが、外側の正六角形がすこし大変かも...

No.1471 久し振り?に証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/14(Wed) 19:07  

直角三角形ABCの∠Aを2αとします。
点B、Cから図のように3α、αの角度で線を引き、辺の延長との交点をE、Fを求めます。

AB=a、BE=b、AF=cとすると、a+2b=c である事を証明して下さい。

No.1470 万引き問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/13(Tue) 18:36  
図形クイズではありませんが、小学生でも判る(もうこのフレーズは止めようかな)算数問題です。
昼間万引き現場に遭遇しました(ラッキー?・・・退職しないと中々経験出来ない?)。
そこで万引きでググった情報から問題を作って見ました(孫に出す時は「万引き」の言葉を変えねば)。

5千円万引きされると、その損失を埋める為には5万円の売り上げが必要!
全ての商品の原価率が同じとした時、この店の原価率は?

No.1469 No.1468 Q1464:考察  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/10(Sat) 09:40  
2円の比率が整数比の時、直角三角形ABCの辺の比率も整数比になるらしい。
3:4:5の時はO2:O2'=2:1!!!

時間のある人は、この比率を3:4とか5:3とかで確認してみて下さい。
時間の余り無い人は、n:mの整数比で数式で考えてみて下さい。

No.1468 Q1464:一寸変更  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/10(Sat) 09:17  
O2'とO2の半径比率を2:3で描いて下さい。
No.1467 HIROSHIさんへ  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/10(Sat) 08:18  
「No.1464 こちらは良く知られている、図形です。」に対して:
計算での求め方以外らしいですが、AB:BCの比率を使わないで作図せよとの事でしょうか?

比率は直ぐに判ってしまいますので、これを使わずに作図し、結果から比率が判るようにすると言う事?

No.1466 アポロニウスの作図方法で描けなかった問題?:拡張...  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/10(Sat) 06:23  

HIROSHIさんの図からヒントを得て、少し拡張してみました。

円の中心O1を通り直交する2線a、bがあります。
夫々の線上に点P、Qを取り、a、bに垂直な線を引きます。

その時に2線と円に接する、図の緑円を描きなさい。

CADの接円コマンドを使うと簡単なのですが、出題の為の作図は「定規とコンパス」方式で描きました。

No.1465 RE:No,1463  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/08/09(Fri) 22:04  
アポロニウスの作図方法の一部と追加した方法では、
描くことは出来ました。

肝心なことを言い忘れました。すみません。

No.1464 こちらは良く知られている、図形です。  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/08/09(Fri) 21:57  

図をご覧になれば、お分かりのように
直径ABの円周と線分ACに接する最大の円O2'と
直角三角形に内接する円O2を同じ半径として
作図する問題です。

計算での求め方はインターネットで知りました。

これも、定木とコンパス問題としてお願いいたします。

こちらの方も簡単かも・・・

No.1463 アポロニウスの作図方法で描けなかった問題?  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/08/09(Fri) 21:49  

簡単な作図と思うんですが、
私には無理でした。

そこで、質問もかねて問題です。

定木とコンパス問題として、作図をお願いいたします。

直径QRの円O1があります。
円周上の点A、Bを結ぶ線分ABと
円周上の点C、Dを結ぶ線分CDがあり、
直径QRと図のように垂直、平行な関係にあります。

問題は円O1の円弧と線分AB、CDと図のように接する
円O2の作図です。

アポロニウスの方法は使えそうでしょうか・・・

No.1462 重心と垂心:問題を変形を変形  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/08(Thu) 16:17  
No.1454参照。
重心と垂心及び1辺と重なる直線が与えられている時・・・と問題を変形してみました。
しかし、これは直ぐに1頂点が決まってしまい、No.1454と同じ!

と言う事はNo.1454をこちらから攻めていく手もありですね。

ヒントにはならないか...

No.1461 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/08(Thu) 05:40  

マルファッティの問題のHIROSHIさんの考察と、「No.1448 某中学の入試問題」からヒントを得たもの。

点Mから(Mでなくても良いのですが)CMに垂直な線(青)を引きます。
CMをCBに対して反転コピーし(赤線)、青線との交点をPとすると:
CM:MP:PC=3:4:5となる事を証明して下さい。

三角関数を使うと簡単なんですが、図形的に証明出来る?

No.1460 Re:No.1459  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/07(Wed) 17:46  
CADで描いて見たら、結構面倒臭いですね。
四角形でも構いません。凹の四角形だと形状によっては重心は四角形の外!

所謂「背面跳び(走り高跳び一般)」の理屈ですね♪

No.1459 又々易しい問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/07(Wed) 17:23  

任意の五角形ABCDEの重心Gを求めて下さい。

添付図は当然ながらGeoGebraで任意の五角形を作図、コマンド一発で求めています。
勿論、五角形の頂点を動かすと、自動的に重心の位置が変わります。

尚、前の図でも使ってますが、GeoGebraでも背景色を変更出来ます(CADと同じ)。
この板で使っている「bgcolor="#FFFDE1"」を、勝手に使わせて頂きました。

No.1458 定規とコンパス  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/05(Mon) 18:29  

円O1と円の外に1点Aが与えられています。
O1に外接する四辺形ABCDの内、4頂点が同一円上にある四辺形の作図。

但し、この四辺形は無限にありますので、AP=ABの四辺形を作図して下さい。

尚、点Pは直線A_O1と円O1との、Aの反対側の点です(図参照)。

No.1457 Re:No.1454 Q:1453・・・  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/04(Sun) 06:36  
垂心と点Aを固定し、重心の位置を動かした時の三角形はどうなるか?
以下に動画をアップしました。
これはGeoGebraで描いていますが、普通のCADでも(=定規とコンパスでも)可能です。

http://m2.upup.be/N7YUOheP59

尚、小さくなって一寸見辛いので、今回は垂心が三角形の内部にある場合のみです。

No.1454 Q:1453 重心と垂心:問題を変形  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/03(Sat) 15:17  

No.2672(解答欄)に下記質問の答え(一例)を出しましたので、少し変形してみました。

三点が与えられており、Gは重心、Hは垂心、Aが三角形の頂点となるような三角形を描いて下さい。
図で言えば、緑線のような三角形を復元して下さい。

尚、解答で使用した図を使ったのですが、重心を回転後のものを使ってしまいました。
即ち、緑三角形は正解ではありません、念の為。

No.1453 重心と垂心  投稿者:moonlight 投稿日:2013/08/03(Sat) 13:13  
図はありません。
平面上に異なる2点が与えられたとき,
これらを重心と垂心とする三角形を一つ作図しなさい。

さてこういうのってCADだと簡単なのでしょうか?

No.1452 中学入試:気の遠くなる?問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/03(Sat) 11:03  

図の空色線はお互いに60゜で等間隔に並んでいます。
黒点はその交点で、図のように15個あります。

これらの点を結んで出来る正三角形の面積の総和(勿論重複無し)を、一番小さい正三角形の面積で表せ。

これが中学入試問題!!!

CADによる図形クイズからは少し離れますが、大人になって再度中学に入学したい人の参考迄。

因みに、小生はこの問題を見て「や〜めたっ!」と受験を諦めました。

No.1451 続けて・・・易しい問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/02(Fri) 17:57  

左の黒線で描いたのは正三角形です。
CADを使って同面積の正方形を作ったのが右の黒線です。
(これ↑は、この部屋の読者には易しい作図法ですね)

それぞれ内接円、内心を求めました。

各頂点を内心と結び、内接円の交点を使って三角形・四角形(共に赤線表示)を作りました。

これらの赤三角形:赤四角形の面積比は?・・・出来るだけ簡単な比率表示にて!

一連の問題では土日を潰すには不十分ですね。

No.1450 某中学の入試問題:其の弐  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/02(Fri) 10:04  

半径1の半円があり、これを図左のように45゜回転します。
この時弧(赤線)が掃引した部分(図右の赤塗り部)の面積は?

こういう問題を出す中学は、或る意味怖いですね。
ちょっとしたミスが命取りになりそう。

尚、上記の「掃引」と言う言葉は、試験問題では使われていません、念の為。

No.1449 面積は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/02(Fri) 09:02  

図は半割にした円筒(樋のような形状)を描いたものです。

青線の方向からの矢視図を描いて下さい。
楕円(の半分)と線分で囲まれた形状になりますが、この投影面積は幾つになりますか?

矢張り中学の入試問題を、CAD・CAMらしく変更してみましたが、易し過ぎたですかね。

No.1448 某中学の入試問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/01(Thu) 19:13  

一辺が6pの正方形ABCDが有ります。
ABの中点をMとし、CD上に∠CMP=45゜となる点Pを取り、PからCMに下ろした垂線の足をQとします。

この時、儁PQの面積は幾つになりますか?

入試問題ですから、小学校6年レベルで解いて下さい。
もっとも、ユニークで面白い解法があればこの限りではありません。

6年でどこまで習っているか判らないので、結構悩む問題かも...

No.1447 某中学の問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/08/01(Thu) 16:52  

前の問題が難し過ぎたので、中学の問題から・・・

図で赤く塗った三角形は三つとも正三角形です。
青の面積は幾つになりますか?

尚、中学と言っても、小生の孫の中学ではありません、念の為。

クイズ問題なので、ユニークな解き方が望ましいですね。

No.1446 難しい作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/07/28(Sun) 20:38  

任意の三角形(黒)に三つの円が夫々図のように二辺に接しています。
又、これらの円はお互いに接しています。

黒の三角形が与えられた時、図の赤・青・緑の三円を描いて下さい。

酒転童子さんの部屋からのパクリです。
描き方はこのページの中からリンク先を探せば見つかります。

描き方は小生が報告しているのですが、未だに(アラコキになっても)何故描けるか判っていません。

No.1441 定規とコンパス作図  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/07/27(Sat) 14:11  

1円(赤)とその接線(緑)があります。
接線に垂直な直線(黒)が与えられている時、この直線上に中心を持ち、赤円と緑線に接する円を描いて下さい。

捻り不足ですから簡単過ぎた? &色々な描き方があるでしょうね。

No.1433 No/1378 の進化(?)形  投稿者:HIROSHI 投稿日:2013/07/26(Fri) 22:30  

この問題は、私も数週間かけて作図方法を考えました。

コンパスと定木での作図方法で、小、中学生の方への勉強の助けになる様に
一生懸命考えました。

私の知識では、コンパスと定木では○種類しか作図できません。

よって、この問題はCADコマンドをフルに使ってください。
(と言ってもコマンドは1つだけで充分ですよ)

No.1378の解答を利用すれば・・・がヒントです。

No.1432 Q1424:その前に  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/07/19(Fri) 08:08  

Q1424では赤の角度と青の角度が等しい事の証明を求めています。
その前に、4点EBDPが同一円上に有る事を証明して下さい。

これが出来ればQ1424は自然に解けるでしょう。

尚、同様の証明で4点BFPCが同一円上に有る事も証明出来ます。

No.1426 長さ(比)の証明  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2013/07/11(Thu) 08:49  

直角二等辺三角形ABCがあり、点Dは斜辺側の傍心です。
直線DCにAから下ろした垂線の足をEとした時、DC:AE=2:1である事を証明して下さい。

尚、図形的に(CAD的に)証明出来ます。


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本音のCAD・CAM http://amaterus.jp/