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No.1673 調子に乗ってもう一題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/07/02(Wed) 10:42  

勿論、三手詰めです。

No.1672 久し振りに詰将棋問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/07/01(Tue) 17:33  

例によって三手詰めです。

No.1671 moonlightさん  投稿者:re:1670 投稿日:2014/06/29(Sun) 09:05  
moonlightさん、お久しぶりです。

1667は挫折中ですが、証明途中で出てきていた解を解答掲示板で
解答しました。
FUKUCHANさんの解説が無かったら解けてなかったと思う。

No.1670 No.1667 派生  投稿者:moonlight 投稿日:2014/06/28(Sat) 11:49  
この設定って面白いですよね。
そこで例えば、
「∠FHAの角度を求めなさい」なんてのは如何でしょうか。

No.1669 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/06/09(Mon) 18:31  

Q1667を解く為の準備問題です。

青円に内接する四辺形ABCDがあります。
赤円はB、Cを通る青円以外の任意の円。
ABの延長と赤円との交点をE、DCの延長と赤円との交点をFとします。

この時、AD//EF(緑線同士)を証明して下さい。

No.1668 角度計算  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/05/26(Mon) 08:31  

易しい問題です。
任意の直角三角形ABCがあります。
斜辺BC上にCA=CD、BA=BEとなる点D、Eを取ります。
この時の∠DAEを求めて下さい。

色々な求め方がありますね(易し過ぎたか!)。

No.1667 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/05/24(Sat) 11:59  

正方形ABCDに、頂点Aを共有し正方形に内接する三角形があります=僊EF。
正方形の対角線BDを引き、AF、AEとの交点をG、Hとします。

この時、僊EF∽僊GHを証明し、相似比を求めて下さい。

出題の流れからして、この対角線が僊EFを二等分している事は明らかですね♪


GeoGebraで見つけた法則(?)に喜んで不完全な問題(Q1666)を作ってしまいました。
少しでも考えてくれた人、ごめんなさい。

No.1666 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/05/21(Wed) 21:37  

久しぶりに作図問題です。
正方形ABCDに、頂点Aを共有し正方形に内接する三角形があります=僊EF。

この僊EFの面積を二等分する直線を描いて下さい。
勿論、定規とコンパスで描く問題です・・・易し過ぎ?

No.1665 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/05/14(Wed) 17:26  

僊BCと辺AB上に点Dがあります。
僊DCの外接円をO1、僖BCの外接円をO2とします。
次に辺AB上に点Eをとり、EF//BC、EF//ACとなる点FとGを求めます。
但しFは円O1上、Gは円O2上にあります。

この時、D、E、G、Fは同一円上にある事を証明して下さい。

これはかなり前にGeoGebra遊びのページに記載していましたが、3D遊びに夢中でほったらかしていたものです。

小生は座標では直ぐに解けたのですが、図形的にはまだ解けていません。

F、C、Gが同一直線上にある事、AF//BGである事を使うのか?
尚、同一直線や平行の証明にも挑戦してみて下さい(こちらは簡単だと思います)。

しかし、2D-CADコマンド(ショートカットキー)で少し躓いてしまった!!!(歳とると忘れるのも早い)

No.1664 算額最中。  投稿者:HIROSHI 投稿日:2014/04/26(Sat) 19:02  

こちらの作図はかなり悩みました。

これが出来ると、ほとんどの作図可能な算額に対応
できそうです。
(私は、これで算額作図をかなり解きました。)

と、言っても頭は中学生並ですが・・・

*算額最中の半分の作図です。

半円に内接する半円(赤)が与えられました。この後の

青円、緑円、黄円を作図してください。

*また、考察不足かもしれませんが、
私には、算額作図の最大の治具になっています。

No.1663 追加の算額作図問題。  投稿者:HIROSHI 投稿日:2014/04/25(Fri) 20:25  

この算額の元は小学生の方が考えられたようです。

作図ように少しアレンジしました。

*正方形ABCDに内接する、緑円4つとその緑円の直径線上に
 中心を置き緑円に接する、青円4つがあります。

 赤の正方形は青円、緑円にそれぞれ辺と頂点で接しています。

 ここで問題です。

 正方形ABCDが与えられた時、図のような青円、緑円、赤正方形を

 コンパスと定木で作図してください。

 ここで、勉強していただいてる方なら出来ると思います。

 頑張って、くださいね!

No.1662 算額の作図  投稿者:HIROSHI 投稿日:2014/04/25(Fri) 13:54  

図のように、直角三角形に同径の赤円2つと、
正方形(青)と長方形(緑)が接しています。

また、赤円(O,O')と直角三角形、赤円(O')と長方形、
正方形と長方形は1つの頂点で接しています。

最初に赤円(O)が与えられた時、残りの直角三角形、
正方形、長方形、赤円(O')をコンパスと定木で描いてください。

なんとか証明しようとしたのですが、2か月経っても・・・
無理なようです。

No.1661 折り紙の問題より  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/04/19(Sat) 08:36  
Q1660をヒントに(パクって?)新しい問題を考えてみました。
下図で∠AB'P:∠DB'S=4:11となるように「定規とコンパス」で作図して下さい(1:2や2:1なら簡単なんですが...)。

No.1660 折り紙の問題。  投稿者:HIROSHI 投稿日:2014/04/18(Fri) 14:07  

前にFUKUCHANさんの折り紙問題を考えてる時に、
試しに定木とコンパスで描けたので問題としてみたく
投稿します。 

正方形の折り紙□ABCDがあります。

頂点Bを辺ABに接するように折り曲げたとき、

∠AB'P=∠DB'Sとなるように作図して下さい。

作図して気付いたのですが、大きい桃円とある辺に
何らかの関係を見つけました。
相変わらず、証明は出来ていませんが・・・

No.1659 計算(?)問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/04/14(Mon) 21:11  
N/Tさんが下記の問題(No.1658)を解いてくれました。
ここで次の問題です。
y=2xが証明された段階で、∠DBC=yとした時xは何度になるでしょうか(答えは角度でお願いします)。

直観的に答えは見付かるでしょうが、当然「何故?」の説明が必要です。

No.1658 易しい証明  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/04/13(Sun) 05:53  

任意の直角三角形ABCがあり、Mは斜辺の中点です。
点Dは辺CAの延長上にあり、DA=DM。
この時、角度xとyの比率は幾つになりますか?

No.1657 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/04/05(Sat) 17:24  

任意の三角形ABCがあります。
辺AB上に2点D、Eを、辺AC上に2点F、Gを取ることとします。

この時、出来上がった5つの三角形の面積が等しくなるよう作図して下さい。

No.1656 Q1655:続  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/04/05(Sat) 11:14  
下記(Q1655)の作図が出来た所で、次は∠BAD:∠DAC=3:2となる僊BCを作図して下さい。
出来れば僊DBも。

これはGogeometryの問題を修正したものです。
こちらの問題では上記の角度比率を5:2にしていましたが、それでは定規とコンパスでは描けない為です(CADでは描けますので挑戦してみては?)。

No.1655 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/04/04(Fri) 21:11  

これは易し過ぎる問題ですが、次の問題を解く為の布石とも言えるものです。

任意の二等辺三角形ABCがあります。
この時、AC=AD且つ∠ADB=30゜となる点Dを作図して下さい。

本題は追って掲載しますが、CADでは描けても定規とコンパスでは出来ない問題です。

No.1654 中点の証明  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/03/23(Sun) 17:53  

円Oとその弦AB(緑線)があり、A、Bから接線(赤線)を引きます。
点A、Bを中心に同半径の円(青点線)を描き、接線との交点をC、Dとします。
この時、ABとCDとの交点Eが、CDの中点となる事を説明して下さい。

No.1653 箸休め  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/03/23(Sun) 08:34  

基本に帰る易しい問題を作って見ました。
AB//CDの台形ABCDがあり、ABの中点をM、CDの中点をNとします。
この時、AD、MN、BCは一点Pで交わる事を証明して下さい。

No.1652 重心問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/03/19(Wed) 09:23  

任意の僊BCに於いて、辺AB、BC、CA上にm:nとなる内分点P、Q、Rを取ります。
この時、儕QRの重心と僊BCの重心が一致する事を証明して下さい。

ベクトルで解くと物凄く簡単なんですが、図形的に「スッキリ」解いて欲しいですね。
一寸図形的に解いてみたのですが、大分タドタドしくなってしまいました。

No.1651 角度の証明  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/03/15(Sat) 18:29  

円Oと外部に点Pがあります。
Pから円Oに接線を引き、接点を夫々A、Bとします。
次に円Oに弦CDを引きますが、CDはABとOPの交点を通るようにします。

この時、OPが∠CPDの二等分線となる事を示して下さい。

No.1650 角度は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/03/12(Wed) 10:21  

毎度似たような問題ですが、角度xを求めて下さい。
示されている角度が10゜の倍数なので、矢張りラングレーの問題と言うのでしょう。
色々な解き方があると思いますので頑張って挑戦して下さい。

今迄の問題より易しい?
まぁ、補助線を上手く引けるか否かですが...

No.1649 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/03/08(Sat) 09:06  

線分ABとその線分上に点Pがあります。
直径APの半円と直径PBの半円を描き、共通接線(赤線)を引きます。
これらの接線と、直径ABの半円との交点を図のようにC、D、Eとします。

@Eは弧CDの中点になる事を説明して下さい。
A□PQERは長方形である事を説明して下さい。

@、Aの順番は問いません。
解き易い方から説明し、その結果を使ってもう一つを説明しても構いません。

これは判り易い問題を少し判り難いように変形したものです・・・本質に気が付けば...

No.1648 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/03/03(Mon) 17:52  

或る僊BCで、AB=CDとなる点DをAB上に取りました。
その時図の角度を測定したら、b=4a、c=6aとなりました。
このような僊BCと点Dを作図して下さい。

これは昔の問題を「ほんの少し」変えたものです。
尚、当然ながら図は不正確です。

「何故?」があればベストですが、今回は無くても構いません。

No.1647 三等分  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/03/03(Mon) 08:27  
正方形でなく円の形をした折り紙があります。
定規やコンパス(勿論分度器やCADも)使わずに三等分して下さい。
分割形状は問いません。
単純に折り紙問題として考えて下さい。
出題図を作ろうと考えましたが、円を描くだけですので省略です。

No.1646 Q1643  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/03/01(Sat) 16:44  
簡単そうに見えて結構難しい問題でした。
空色は兎も角(難しいですが)、ピンクは図形的解法には挑戦しない方が良さそうです。
小生は数式で求めてしまいましたが、来週また解けと言われたら逃げ出す事間違いない煩雑さでした。

No.1645 Q1644:若干修正  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/03/01(Sat) 11:48  

30゜<α<60゜とします(動画参照)。
まぁ、拡張して考えれば範囲をもっと拡げても良いですが。

No.1644 角度は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/03/01(Sat) 11:24  

∠C=αの直角三角形ABCがあります。
@頂点Cから∠BCD=30゜となる点DをAB上に取ります。
AAC上に点Eを、∠BDE=3αとなるように描画します。

この時χ(∠CBE)は何度になりますか?

証明問題ではありませんが、いつもの通り「何故?」は必要です。

No.1643 面積計算  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/03/01(Sat) 09:55  

証明問題が続いたので、昔から有名と思える面積問題で気分転換!

黒の正方形とその頂点を使った青円があります。
左上の空色の部分の面積は?

これだけでは易し過ぎると思いますので追加です。
赤円は正方形の内接円、この時右下のピンク部分の面積は?

細かい描き方は図を見れば判ると思います。
尚、正方形の1辺の長さを10とし、円周率はπを使ってください。

No.1642 又昔の問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/28(Fri) 18:03  

任意の僊BCの内心IからABに垂線をIDを下ろします。
辺AC上に任意の点Pを取ります(頂点は除きます)。
僊BCの内接円(緑)と、DB、BC、DPに内接する円(橙)を描きます。

この時、図のような共通接線が常にCを通る事を証明して下さい。

尚、PC、BC、DPに内接する円を描くと、共通接線はBを通ります。

昔は苦労してGCで出題図を作りましたが、Geogebraは簡単で良いですね♪

注)これはNo.987で出題・・・約四年前ですね・・・感慨深いなぁ...(答えは消えているかも)

No.1641 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/27(Thu) 07:26  

平行四辺形ABCDがあります。
@AB=APとなる点Pを適当に描画します。
A直線PB上にCB=CQとなる点Qを取ります。

この時、DP=DQとなる事を証明して下さい。

No.1640 Q1638:修正  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/22(Sat) 11:14  

>PAの延長と
「PAもしくはPAの延長と」のように修正です。
これで、PとAが重なる時を除いて、全周で成り立ちますね。

青の一点鎖線が垂直二等分線です。
最初は一定になる点を描画したのですが、それを見ると答えが簡単!
尤も「何故?」となると少し別ですが...

No.1639 又過去問  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/21(Fri) 14:30  

僊BCの各二辺に接する円が三つあります。
これらの円は同径で、且つ一点Pを共有しています。

このような図形を、与えられた三角形で作図して下さい。

No.1638 過去問?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/20(Thu) 19:14  

これは過去問ではなく、過去問を解くにあたってN/Tさんが見付けた法則です。
2円(O1、O2)が2点(A、B)で交わっています。
O1の円周上に点Pを取り、PAの延長と円O2のA以外の交点をQとします。
この時、PQの垂直二等分線(赤線)は、或る一定の点を通ると言う法則です。

それではこの定点は何処になるでしょうか?(そして何故?)

尚、点Pは円O1のABの左側の弦上にあるとします(数学的表現ではありませんが判ると思います)。

No.1637 Re:No.1635  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/20(Thu) 07:54  
この過去問は出来たのかなぁ・・・出来ない証明も出来ないが...
合同に8分割なら超簡単なんですがね。

No.1636 作図+α  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/20(Thu) 07:16  

僊BCの中線CMを引いた所、∠CMB=45゜でした。
さらに、右上と左下aの角度が等しくなりました。

ABが与えられている時、このような三角形を作図して下さい。
また、aは何度になりますか?

角度はCAD的でなく、定規とコンパス的に求めて下さい。

No.1635 過去問より  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/19(Wed) 19:13  

赤で塗り潰した部分は正方形から直角二等辺三角形を引いたものです。
赤線で示したように三等分は簡単です。

それでは、合同な形状に四等分して下さい。

それにしても過去問を見ていてノスタルジーに浸ってしまいました。
海外出張で時差ボケ・・・遠い昔のイメージでしたが、ほんの少し前でした。

No.1634 角度問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/18(Tue) 11:19  

僊BCがあり、Mは辺ABの中点です。
∠aと∠bを測定したら、∠b=π/2-∠aとなりました。

この時∠cは幾つになりますか?

No.1633 円弧に内接する同径の円  投稿者:HIROSHI 投稿日:2014/02/18(Tue) 09:23  

最近、時間がありませんので、空いた時間を使って
問題の投稿をいたします。

円Oがあります、円周上に点A、Bを取り

線分ABと弧ABに内接する、図のような赤円を4つ描いてください。
(5つでも、6つでもOKです。)

「図形クイズ掲示板」をご覧の方なら簡単かも!?

3月末までパタパタしていますm(_ _)m

No.1632 長さ問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/18(Tue) 07:34  

直角二等辺三角形ABCとその内接円Iがあります。
その時、AB+BI=ACである事を証明して下さい。

この板に毎回挑戦してくれている人には易しいと思います。

No.1631 息抜き問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/16(Sun) 18:29  

図の式に線分を一つ加えて正しい式に直して下さい。
見易いように文字の間隔を変えても構いませんが、数字と記号の順番は固定です。

尚、この図はJW-Winの文字 ⇒ 疑似線変換(外部変換)機能を使いました。
必要ならDXFファイルを添付します。

それにしても栗林公園の梅が楽しみですね♪(ここの板とは無関係ですが)

No.1630 下記の一般化  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/13(Thu) 10:12  

任意の長方形ABCDに於いて、EF⊥CDとなる図を描いて下さい。
但し、AB>BCとします。
FGの値は特に問いませんが、AB/BCの値から幾つになるか?
時間のある人だけ考えてみて下さい。

No.1629 作図+α  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/11(Tue) 19:31  

A4用紙のように、AD:AB=1:√2の長方形があります。
頂点Aを対角線AC上に来るように折り返し、その点をA'とします。
D'はDを折り返したもので一点鎖線は折り曲げ線、Eはその端点です。

A'D'とCDとの交点をFとした時、EF⊥CDとなる図を作図して下さい。

更に、EA'の延長とCDとの交点をGとすると、垂直になった時のFGの長さは?
作図自体は簡単と思いますので、必ずFGの長さも答えて下さい。

No.1628 作図遊び  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/09(Sun) 17:01  

クイズ問題ではありません。GeoGebraをDLした人への練習問題?

図は正五角形の辺上に点Pを取り、図のようにPQ=ABとなる点Qを取ります。
緑の丸い星形は正三角形PQRの頂点Rの軌跡です。
青曲線はPQの中点Mの軌跡で、QRの中点M2の軌跡を見たら複雑な曲線になりました。

これらの軌跡は定規とコンパスは勿論、高級なCADでも描くのは難しいですね。

GeoGebraをDLした人は、この作図に挑戦してみては?
点Pから半径ABの円を描いて点Qを求め、PQから正三角形、中点M、M2の作図ですから基本的なコマンドです。

それにしても、GeoGebraで遊んでいると、一日はあっという間です。

No.1627 半角の公式?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/08(Sat) 15:58  

僊BCは直角二等辺三角形で、ADは∠Aの二等分線です。
この図を使ってtan(45゜/2)=tan(22.5゜)を求めて下さい。

半角の公式で答えを見付け、それをヒントとしても構いません。

しかし、最終的には「図形的」に求めて下さい。

矢刺し杉?



これはQ1613を考えていて(未だに引き摺っています)浮かんだ問題です。
東京は大雪警報で大変ですが、朝から雪見酒が楽しめる最高の環境になっています・・・明日の都知事選は最低投票率かなぁ・・・そうすると変な男が当選か!

No.1626 純粋作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/06(Thu) 10:05  

正五角形の辺上に点Pが与えられています。
この点Pを頂点とし、正五角形に内接する正三角形を描いて下さい。

軌跡の応用で、正方形の時と同じ手法が使えますが、結構試行錯誤的になりました。

軌跡以外で面白い手法がアップされると期待しています。

No.1625 No.1624:修正問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/05(Wed) 19:24  
作図問題で、多分良い解答が無いのではと危惧しつつ・・・

正方形の辺上に点Pが与えられている時、正方形に内接する正三角形PQRを作図して下さい。

この問題自体は至極簡単なのですが、点Pの位置によらず、同じ作図手順で描けるか、皆さんの知恵をお借りしたいです。
但し、作図により2点以上が求められ、点Pの位置によってどれを選ぶか決めるのは、同じ作図手順とはしませんので悪しからず。

geogebra作成で苦しんだので、皆さんの案を募集します(解答用BBS参照)。

No.1624 作図+αB  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2014/02/02(Sun) 09:30  

Q1613が堂々巡りで中々答えが出ないので「箸休め」です。

任意の正方形(青線)に正三角形(赤線)が内接しています。
色々な正三角形が描けますが、最小と最大の面積は良くある問題。

それでは、その丁度真中の面積の正三角形を描いて下さい。


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