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数学の部屋 スウガクとくガウス ようこそ酒転童子の部屋へ FUKUCHANさんの解答集2
No.5246 Q1992:一般化  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/28(Thu) 17:58  

下記の解答No.5229を参照して下さい。描き方はこれで判ると思います。

ここで、儕1ABと儕2BCは相似であり、相似比はAB:BC=2:1。
従って、円O1と円O2も2:1になり、@のように青線を引くと、点Oが求められます。
儕1AB:儕2BC=2:1である限り、その大きさに関わらず点Oの位置は変わりません。

又、O1、O2から黒先ABに垂線を下ろし、黒先との交点をそれぞれM1、M2とします。
M1、M2は赤三角形の底辺の中点ですから、線分M1M2=M2O=3BC/2、即ち、CO=BC。

OQは@の青円に対して、OAと対称な線になります(言い換えるとBとQが対象)。
即ち、OQ=OB=一定・・・点Oが不変でOQが一定ですから、点Qの軌跡は円になりますね。

説明が(添付図も)たどたどしくなってしまいましたが、これで説明は終わりです。但し、この円が黒先と交わる2点は除外(極限を含むとすれば完全な円)。

No.5245 Re:No.5229  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/27(Wed) 14:27  
解答例が中途半端でした。
軌跡の説明(証明風?)を追って掲載予定です。

No.5244 re:5243  投稿者:N/T 投稿日:2019/02/26(Tue) 18:21  
外側の外側の二等辺三角形に気付いても、そこから答えにたどり着けるのは
優秀な中学生でないと無理でしょうね。

No.5243 Re:No.5242  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/26(Tue) 15:48  
この問題って、一寸頓智パズル的ですよね。
それにしても、三角形の内対角の和は外角と等しいって言うのも小学校で習ったっけ?

No.5242 re:5241  投稿者:N/T 投稿日:2019/02/26(Tue) 06:45  
外側で二等辺三角形でしたか…orz
内側ばかりで考えてました。

No.5241 Q1994:小学生の解  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/25(Mon) 13:39  

点Dを反転して凾`DD'を作ると二等辺三角形になり、底角をaとするとこれはα+β。
この図を見るとCA=CD'=8ですから、これも二等辺三角形。

でも二等辺三角形の両底角が等しいというのは、小学校の算数で習うのかな?

No.5240 Q1994-2  投稿者:N/T 投稿日:2019/02/24(Sun) 07:55  
閃かないですねぇ。
αとβをどこに集合させていけばいいのかなぁ…

No.5239 Re:No.5238  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/21(Thu) 21:39  
流石に素早かったですね、菱形作図に気が付けば判り易い作図。
前の(昔の)出題は小生だったような気がします。

No.5238 Q1995  投稿者:N/T 投稿日:2019/02/21(Thu) 18:22  

確か以前に「何手で描けるか」の出題が有ったと思う。
4手が最短だったような気が…

No.5237 Re:No.5234  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/21(Thu) 11:30  
>コンパス定規作図だと3辺の複写が煩雑になりそうですね。
2辺の複写だけで第三の辺は複写不要ですが、どちらをどちらに移動するか!

尤も、直線と一点が与えられている時、この点を通る平行線を定規とコンパスだけで作図せよって、結構面倒な作業が必要かも・・・
これを作図問題とする「手」も有ったかな?(勿論、三角定規の使用は禁止!)
小生の時代では、三角定規を使う方法だけしか教わらなかった「遠い」記憶が・・・

No.5236 Re:No.5235  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/21(Thu) 11:25  
これは気が付くか否かの問題とも言えます。
ヒントは二等辺三角形!
今の小学生は学習塾でこんな訓練をしているのか???

No.5235 Q1994  投稿者:N/T 投稿日:2019/02/20(Wed) 18:51  
計算すれば180゜にはなるけど、小学生だから三角関数無しで
解けるはずですよねぇ。
∠ADCが2α+βになることを証明すればいいのでしょうけど、
全くネタが思いつきません。
難易度高い入試だなぁ〜。

No.5234 Q1993  投稿者:N/T 投稿日:2019/02/20(Wed) 18:35  
時間が取れなくて描いてはいないのですが、

頂点移動で二等辺三角形
 ↓
回転
 ↓
点Pが頂点になるよう3辺を複写

で描けると思う。
ただ、コンパス定規作図だと3辺の複写が煩雑になりそうですね。

No.5233 re:5232  投稿者:N/T 投稿日:2019/02/14(Thu) 07:34  
解き方を完璧に忘れてしまってることを痛感しました。

No.5232 Re:No.5230  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/13(Wed) 19:43  
>Q1991
>結局、私は因数分解でコケました。orz

a^3±b^3は、a±b(複合同順)の因子を持つので、因数分解は判り易いと思ったのですが...

No.5231 一応Q1990解答例  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/13(Wed) 19:39  

@ 与えられた青線に平行、且つ頂点を通る線(青)を引き対辺との接点Dを求めます。
A 接点Dのある辺の中点をMとします(図は@とAが逆でした)。
B AM=AM’の点を使って、AM×AD=AE^2となる点Eを求めて殆ど終わり。
C これは「snake foot(蛇足)」ですね。

No.5230 re:5226 5227  投稿者:N/T 投稿日:2019/02/13(Wed) 19:05  
Q1990
θを保ったままの底辺を基準線に平行にするのが私じゃどうしてもできませんでした。
定理類は完全に忘れている感じです。

Q1991
結局、私は因数分解でコケました。orz

No.5229 Re:No.5228  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/13(Wed) 12:26  

@ ∠Pの二辺を平行コピーし、凾`P1B、凾aP2Cを描きます。
A 夫々の三角形の外接円を描きます。
B 上記の円の交点が求める点Qになります(円周角)。

色々な描き方があると思いますが、∠Pを変えた時の点Qの軌跡を求めるにはこの方法が楽そう...
点Qを沢山描いて(∠Pを変えて)みると、点Qの軌跡は想定できると思います。
尤も、軌跡の動画を下のNo.5224に掲載してしまいましたが・・・
理屈と共に挑戦してみて下さい(No.5224以外にないかも含めて)。
想定出来る軌跡を描いてみたら描けた!・・・これは駄目ですよ。

>図を見て判る通り、一般に解は二つあります。
辺ACに対して対称な点の事です。

No.5228 Q1992:解答例の前に  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/12(Tue) 18:22  

この図の問題を考えて下さい。
即ち、一直線上の点A、B、C(AB=2BC)と、∠Pが与えられています。
この時、∠AQB=∠BQCとなる点、点Qを定規とコンパスで作図して下さい。

図を見て判る通り、一般に解は二つあります。

No.5227 Q1991:解答例  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/12(Tue) 17:58  
@ a^3-b^3=65>0⇒a>b
A a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)、a-bは整数、a^2+ab+b^2も整数
B 65=5*13、従って (a-b)は1、5、13、65のいずれかです。
C これを一つずつチョックしていきます。

a-b=1の時、a=b+1⇒a^2+ab+b^2=65⇒
(b+1)^2+b(b+1)+b^2⇒3b^2+3b+1=65⇒3b(b+1)=64
64は3の倍数では無いので×

a-b=5の時、a=b+5
(b+5)^2+b(b+5)+b^2⇒3b^2+15b+25=65/5=13⇒3b(b+5)=-12
3の倍数なので、b(b+5)=-4⇒b^2+5b+4=0⇒(b+1)(b+4)=0
b=-1又はb=-4、この時、a=4、a=1(a,b=4,-1 a,b=1,-4、共にa>b)
一応検算して、4^3-(-1)^2=64+1=65、1^3-(-4)^3=1+64=65

a-b=15の時、a-b=65の時、整数解は得られません。

No.5226 Q1990ヒント:解  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/12(Tue) 17:15  

凾`BCの面積はb×c×sinα、凾`DEの面積はd×d×sinα。
sinαは同じですから、bc=d^2となるdを求めれば良い。

これを定規とコンパス作図で求めるのは有名ですから、詳細は当然省きます。

この考え方を応用すれば、Q1990は簡単な作図と思います。
Q1990は追って掲載予定ですが、判った方は解答を発表して下さい。

No.5225 Q1990ヒント  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/11(Mon) 15:56  

この作図は、任意の三角形ABCを∠Aを変えずに、二等辺三角形ADEに等積変形せよと言う問題と、基本的に同じです。

勿論、Aを頂点とする、AD=AEの二等辺三角形です。

No.5224 Q1992:解説の前に  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/11(Mon) 13:09  

先ず、過去問でQ201(相当昔)を参照して下さい。
図は∠APB=∠BPCとなる点Pの軌跡を表しています⇒赤破線円の上を動きます。
この解を見付けた時の作図方法と、軌跡の証明(不完全かも)を追って掲載します。

No.5223 Re:No.5222  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/09(Sat) 11:14  
正解です=円周角の活用。
45゜の場合は∠Aが90゜ですから、BCを直径とする円を描き、円弧BCの中点(図の下部)と点Pを結ぶ直線を引いて、この円との交点Aを求める事も出来ます。
他にも色々な描き方がありますが、α=βとなる点Aの一般解(軌跡)を求めるには、もう少し違う描き方が必要です。

No.5222 Q1992  投稿者:N/T 投稿日:2019/02/09(Sat) 07:25  

中心角と円周角の組み合わせで描けました。

No.5221 解答例  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/08(Fri) 13:19  
一連の問題に関しては、三連休明けに発表予定です。
No.5220 re:5219  投稿者:N/T 投稿日:2019/02/07(Thu) 18:22  
私は思いつくネタが全てダメでした。
No.5219 Q1990  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/07(Thu) 16:00  
易しい作図でした!(文章での補足説明は多少面倒ですが・・・)
No.5218 Re:No.5217  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/06(Wed) 20:11  
a^3-b^3の因数分解は、殆ど公式です。
a^3+b^3なども、非常に解き易い形をしていますよ。
それと、説明不足の点=左辺を因数分解&右辺を素因数分解ですね。

No.5217 re:5216  投稿者:N/T 投稿日:2019/02/06(Wed) 18:57  
a*a*a-b*b*b=65
ここから因数分解するとなると、かなりの難工程になりそうですねぇ。
というか、解き方の見当もつかないです。

No.5216 Re:No.5215追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/06(Wed) 18:22  
もう一つのヒントは「因数分解」
No.5215 Re:No.5214  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2019/02/05(Tue) 21:00  
全て調べるには「整数」が大ヒントです。
No.5214 Q1991  投稿者:N/T 投稿日:2019/02/05(Tue) 19:00  
-1と4、1と-4の2組はすぐに思いつきましたが他にもあるのかな?

理論的に証明するのはこんな感じで良いのかなぁ。
4^3=64
5^3=125
その差は61ですから、Aが5以上ではAとBの差が1違えば65以上の差が出てしまう。
従ってAは5以下。
しかし、4では64にしかならないのでBは負の数値となる。
Aと同じ理由でBは-5以上とならなければない。
Aの可能性は1ならB^3が-64となるB=-4
Aが2ならばB^3=57となり、Aが3ならばB^3=28となるためBは整数にならない。
A=4ならばB=-1で成立する。

No.5213 re:.5212  投稿者:N/T 投稿日:2018/08/05(Sun) 09:03  
5196と5201で解いていますが、5212の方がシンプルですね。
5201はコンパスのみの作図ですから手数が掛かるのは仕方ないですが・・・

No.5212 Q1988 作図例  投稿者:HIROSHI 投稿日:2018/08/05(Sun) 08:40  

やはり、反応が悪くなりました。

この問題は酒転童子さんの部屋から

√(平方根)の作図で求められます。

作図例は1/3の面積の作図です。

@半径O O'を引き、円Oと同径の緑円O'を点O'を中心に描きます。

A半径O O'を3分割に分け、中心Oの側近をPとします。

B線分POの垂直二等分線と緑円O'の交点をQとします。

*半径OQが求める円です。

なお、分割(2,3,4・・・n):面積(1/2,1/3,1/4・・・1/n)

となります。

・倍積も同じ作図法ですが、少々の計算と捻りが必要です。

酒転童子さんへ感謝の問題でした。では、これにて・・・

No.5211 re:5210  投稿者:N/T 投稿日:2018/08/01(Wed) 18:57  
線分無しからだとかなり難しいですねぇ。
Fは中点で代用するとして、EとHは√2倍の半径を描く必要が有るなぁ・・・

No.5210 Re:No.5209  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2018/08/01(Wed) 05:39  
出題図が不正確だったかもしれません。
>DAとの交点をE
>DAとの交点をH
与えられているのは4頂点で、辺を示す線分無しで作図して下さい。

No.5209 Q1989 描けました  投稿者:N/T 投稿日:2018/07/31(Tue) 18:29  

解けました。
1 BAを半径とする円弧を描きDAとの交点をEとする。
2 BA上の任意の点Fを中心として半径FEの円弧を描き1の円弧との右交点をGとする。
3 DGの中点をOとして半径OGの円を描く。(中点の説明は省略)
4 BOおよびFOを半径とする円弧を描き右交点をPとする。
5 Pを中心に半径PEの円弧を描き、3との交点をQとする。
6 Aを中心に半径AQの円弧を描きDAとの交点をHとする。
7 Qを中心に半径QHの円弧を描き6との交点をRとする。
8 Qを中心に半径AQの円弧、Rを中心に半径RAの円弧を描き、交点をSとする。
ARSQが等積変換された正方形。

No.5208 Re:No.5205  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2018/07/31(Tue) 16:00  
図に番号を記載するのを忘れていました。
描き直すのは面倒なので、Mizさん察してあげて下さい m(_._)m

No.5207 Re:No.5206  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2018/07/31(Tue) 15:58  

これはコンパス作図の「理屈」としては単純な操作です。

円Oと点Pがある時、OP=PQ且つO、P、Qが同一直線上にある点Qを求めるのは、No.5204方式で簡単です。
次に、Qを中心に円Oと同一半径の青円を描けば、図の赤線との交点が求まる訳です(No.5206の「ここが難関」)。

但し、同一半径の円を描くのは、定規があっても結構面倒臭い作業になりますね。
小学生なら、コンパスで黒円の半径を読み取り、コンパスを浮かして中心をQにして円を描けば簡単ですが、作図のルール違反になります=測定の禁止。

又、何らかの方法で描けたとしても、理屈がシッカリしていないと×・・・小生が何度も述べていることです。

No.5206 Q1989  投稿者:N/T 投稿日:2018/07/30(Mon) 19:03  

直線が引けないと図の難関ポイントが突破できない…
定規のありがたさが判る。

No.5205 No.5204  投稿者:Miz 投稿日:2018/07/30(Mon) 18:21  
添付図に番号がありません。
No.5204 Re:No.5201:Bの描き方  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2018/07/30(Mon) 12:43  

前回同様、下記の番号は添付図を参照して下さい:
@与えられた円(中心A)と円周上の点Bを使って、等間隔、直線上の4点を作図します(点C、D)。

AA、Bの中点Mを求めます(図のピンク線で求めますが、これは前の1/√5と同様の作図法です)。

BMを中心に青円を描き、Dを中心にした半径DBの赤円との交点をFとします。

CCを中心に半径CFの緑円を描き、与えられて黒円との交点Pを求めると、AP=1でAP⊥DCとなります。

AB=1とすると、CF=√5となっている事が判ります。
即ち、凾`CPは1:2:√5の直角三角形になっています。
必要に応じて、夫々の作図の数学的意味を考えてみて下さい(質問は受け付けますので・・・)。

No.5203 Re:No.5201:@の描き方  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2018/07/28(Sat) 18:59  

台風が東経139度20分=小生宅を西に過ぎましたので・・・

以下、番号は添付図を参照下さい:
@与えられた黒円の円周上に点Aを取り、適切な赤円を描き、2点B、Cを求める。
 赤円の半径は黒円の1/2より大きくなるようにして下さい。

A2点B、Cを中心に半径BA=BCの青円を描き、交点をDとする。

BDを中心に半径DAの緑円を描き、最初の赤円との交点をE、Fを求める。
 赤円の半径が黒円の1/2以下の場合、この交点は得られませんのでご注意。

C2点E、Fを中心に半径EA=FAの空色円を描くと、交点Oが与えられた黒円の中心=完成♪

何故これで求められるか、数学的な説明は皆さんで考えてみては如何?
描いてみてCADでチェックした・・・勿論これは論外です。

No.5202 re:5201  投稿者:N/T 投稿日:2018/07/28(Sat) 07:37  
さすが、描けたのですねぇ。
5198を色々考えてみたのですが、
ふと気づけば基準線が無ければ正方形の4頂点すらコンパスだけでは
私じゃ描けませんでした…orz

No.5201 Q1988:コンパス作図例  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2018/07/27(Fri) 17:12  

@与えられた赤円の中心Oを求める(説明略)
A赤円上に任意の点Aを取り、更に同一直線上にOA=ABとなる点Bを取る(易しいので説明略)
BOB⊥BC、AB=BCとなる点Cを求める(説明略)
C半径COの青円を描き、赤円との交点D、Eを求める。
DD、Eから空色の円を描き、交点Pを求める。
E緑円が赤円の1/5の面積の円=完成♪

上記@とBの作図方法は追って説明予定です。

No.5200 Re:No.5199  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2018/07/25(Wed) 21:14  
確かにコンパス作図は一般に操作が煩雑になるようです。
取り敢えず面積1/5の作図は出来ました(但し、等積変換はまだ挑戦していません)。
この作図については、台風が過ぎた頃に発表かな?

筆者が10年以上前に作成した、コンパス作図の部屋を見直してみましたが・・・

No.5199 re:5198  投稿者:N/T 投稿日:2018/07/24(Tue) 18:04  
「コンパスのみ」は難易度高いですねぇ。
等積変換のところでコケました。
拡大縮小は更に難しそう…

No.5198 Re:No.5197:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2018/07/24(Tue) 16:15  
@適当な正方形(別に正方形でなくても可ですが、相似形を求めやすい)を描く。
An倍した長方形を描く(n個並べる)。
Bこれを同面積変換して正方形とする。
これで辺(別に対角線でも構いませんが)の比率を使って拡大・縮小。

これをコンパスのみで挑戦してみて下さい。

No.5197 Re:No.5196  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2018/07/24(Tue) 12:29  
1/nを目指すのではなく、n倍で描いて縮小した方が楽そうですね。

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