図形クイズ解答用掲示板 こちらはネタバレOKです。

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数学の部屋 スウガクとくガウス ようこそ酒転童子の部屋へ FUKUCHANさんの解答集2
No.5095 re:5094  投稿者:N/T 投稿日:2017/04/24(Mon) 19:03  
「描けない」が正解かな?
AC=100の辺を直径とする円を描いても高さは50までしかならないから、
Bの角は直角にはならないと思う。

No.5094 Re:No.5098  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/04/23(Sun) 17:56  
作図問題に変えようかな?
出題図のような直角三角形を、定規とコンパスで作図せよ。

No.5093 Q1967  投稿者:N/T 投稿日:2017/04/23(Sun) 08:38  
普通に考えれば30だけど、何か引っ掛けが有るのかな???
No.5092 Re:No.5091  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/02/26(Sun) 22:01  
流石に素早いですね♪ 色々な解き方があるでしょうが、平行線が一番判り易いかも・・・

>正12角形の一部だと気付けば解けました
これは気が付きませんでした。 改めて「流石」です。

No.5091 Q1966  投稿者:N/T 投稿日:2017/02/26(Sun) 08:20  

1 CAと平行にAB=EBとなる線を描きE点を求めれば△ABEは二等辺三角形となる。
2 ∠ABEは150゜であるから∠EABは15゜、∠BCAと∠CAEが等しくなるため
 台形ABECは対照となりCD=DA
3 後は計算すればα=105゜

正12角形の一部だと気付けば解けました。

No.5090 Re:No.5089  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/02/11(Sat) 13:58  
矢張り、正三角形を見付けるのが「王道」かも知れませんね。
もう少し難しい問題が無いか、探してみます(算数オリンピックの方が良いかな?)

No.5089 Q1965  投稿者:N/T 投稿日:2017/02/11(Sat) 07:40  
上面にも対角線を描いてから・・・
三辺が同じ大きさ正方形の対角線だから同じ長さであることを説明して
三つの辺の長さが等しい三角形は正三角形だから角度は60゜と説明する方法と、
見る角度を変えれば3つとも同じ角度になることを説明して三角形の内角の和180゜
を3で割れば60゜になると説明する方法の2つが思い浮かびました。

No.5088 re:5087  投稿者:N/T 投稿日:2017/02/07(Tue) 18:05  
滑らかな面になってますね。
フリーでもなかなかの機能を持ってますねぇ。

No.5087 Q1964:体積測定  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/02/07(Tue) 10:15  

フリーの3Dソフト「PTC Creo Element/Direct Modeling Express」で描いて測定出来ました。

描きやすくする為に、一辺の長さを100倍しましたので、体積=416666.666667 となりました=5/12*(100^3)

フリーなのに結構使い易いですからDLして試してみては如何でしょうか。
但し、読み書き出来るファイル形式が限られています(3D−PDF不可)。

No.5085 re:5084  投稿者:N/T 投稿日:2017/02/03(Fri) 18:11  
さすが、上手くできてますねぇ。
これなら形状が判りやすいですね。

No.5084 Q1964:3D-PDF(修正)  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/02/02(Thu) 19:39  

Download:5084.pdf 5084.pdf ロフト機能による3D化の限界か、体積は0.42でした=誤差範囲ですが、0.417を期待していました。

No.5083 再計算  投稿者:N/T 投稿日:2017/01/31(Tue) 18:16  
私の方はやはり致命的なミスが有りました。
計算し直したところ

三角形の面積
  √3・(x^2-x+1)/2
Δxに対する三角形の厚み
  √2 /(2・√3) dx
Δxに対する三角形の体積
  √2・(x^2-x+1) /4 dx
∫[0→1]√2・(x^2-x+1) /4 dx
= √2・5/24

となりました。
今度は√2が不足しているかも…orz

No.5082 Re:No.5077:3D-PDF  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/30(Mon) 05:23  
ヒドイ間違いをしていましたね。
稜線は全て直線(線分)でなければなりませんでした(GeoGebraで描いたNo.5076が正しい形状)。
即ち、正三角形の辺の長さが√2、残りの三本の稜線の長さは1ですね。

機械系の設計では殆ど現れない形状なので、頭の中が整理されていませんでした。
有償の3D−CADで再挑戦します。

No.5081 Re:No.5080  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/29(Sun) 19:22  
出題図の点Pの位置を考えます。
AからBに(0→1)に変化する時、立体の高さ(正三角形に垂直方向)は0→1/√3
この高さをhとして、正三角形の面積を変形したのが、No.5076の「V=」以下の式になりました。

No.5080 re:5079  投稿者:N/T 投稿日:2017/01/29(Sun) 09:32  
私の方法だと各点の移動量をxとしたので0→1の変化にしたのですが、
何か間違っていたのでしょうねぇ…orz

No.5079 Re:No.5078  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/26(Thu) 20:58  
>私は√3が残ってしまいました。
今日「晴れて?」手書きで式を作り、積分してみました。

多分、積分範囲を間違っているのではないでしょうか?
小生は簡略化し、0--->1/√3で積分した結果、√3が綺麗に消えてくれたのを確認しました。

No.5078 re:5076  投稿者:N/T 投稿日:2017/01/22(Sun) 09:09  
私は√3が残ってしまいました。
やはり積分を忘れてしまっているのかなぁ…

No.5077 Q1964:3D-PDF  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/21(Sat) 16:20  

Download:5077.pdf 5077.pdf
フリーソフトを使って「それらしい」形状を作ってみました。
PDF出力が出来る「DesignSpart Mechanical(DSM)」にはロフト押し出し機能がありません。
従ってPTCのフリーソフト「Creo Element Direct Modeling Express」という長ったらしい名前のソフトで作成してみました。
これをSTL形式でDSMに移しPDF化しましたので、面が三角形で構成されています。

グルグル回して「それらしい」形状を確認して下さい。
尚、どちらも体積計算が出来ませんでしたので、No.5076の検証はこれでは無理でした。

No.5076 Re:No.5075:続き  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/21(Sat) 09:17  

AP=xと置くと、正三角形PQRの一辺の長さ:a(x)=√2*(1-x+x^2)
その時の面積:s(x)=(a(x))^2*(√3)/4
出来上がる立体の底面を僊CIとし、高さをhとすると:
h=0 ---> 1/√3 ⇒ x=0 ---> 1 ですから:

V=∫[0 ---> 1/√3]{(√2*(1-√3h+3h^2))^2*(√3)/4}dh=5/12

No.5070の図で、赤と青の三角錐を取り除いた体積は2/3ですから、これの5/8になったのですね。
数値的には簡素な値ですので、積分を使わなくても「頓智(?)」で解けそうな気になりました(自信はゼロ)。

一応形状的な画像を掲載しました・・・次は3Dで描いてPDFに変換してみようかな?(ロフト機能を使うしか無さそうですが)

No.5075 Q1964:体積  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/17(Tue) 18:51  
5/12になるようですね。
キチンとした式は、今週中に掲載予定です(熱はないが何となくダルイので不安)。

No.5074 Re:No.5070:訂正  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/14(Sat) 05:33  
矢張りボォーッとしてましたね。
>同時に立方体の体積も3等分されます。
ウソばっかり!⇒1:4:1
赤、青の三角錐の体積は1/6ですので、1/6:4/6:1/6。
従って、求める体積は2/3以下。

No.5073 Re:No.5071  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/13(Fri) 19:17  
インフルではないのですが、鼻風邪をひいてぼやぁっとしています。
解答はuinさんにお任せですね。

No.5072 う〜ん  投稿者:N/T 投稿日:2017/01/13(Fri) 18:12  
三角形の面積計算ですでに間違えてました…orz

> カヴァリエリの原理

情報ありがとうございます。
色々な公式の元になっている原理なのですねぇ。

No.5071 無題  投稿者:uin 投稿日:2017/01/12(Thu) 21:33  
カヴァリエリの原理
No.5070 Q1964-3  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/12(Thu) 18:20  

計算が簡単に出来ると思ったら、筆算しないと混乱しそうです。

取り敢えずの考察ですが、スタート時の正三角形(赤)と最終の正三角形(青)と添付図に示しました。

この赤面と青面により、対角線FDは3等分され、同時に立方体の体積も3等分されます。
求める立体はこれより小さいですから、体積は1/3以下!
近い打ちに筆算して数値をアップしたいとおもいます(1/6なんて単純な数値になるのか???)。

No.5069 Re:No.5068 Q1964-2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/11(Wed) 18:59  

APの長さをxとすると、その時の正三角形の一辺の長さは√(2(1-x+x^2))。
この時の面積は:(1-x+x^2)*(√3)/2(明日再確認しますが・・・)
これで積分すれば良いと思います=捻じれているのは無関係。

確か矢野健太郎氏の本で見たのですが、添付図の図形の面積は同じ。
同じ高さの線分の長さが等しければ、面積は等しいという事を誰か(?)が証明した筈です。
これは体積でも同じで、同じ高さの面積が等しければ体積も等しい!!!

この立体の高さは判りますので、後は計算だけでしょうね(面倒臭いですが)。
それにしても、この定理の名前を忘れた Orz
酒転童子さんならご存知かも...

いずれにしても整理して再度発表予定です。

尚、>体積は5/6になるのかなぁ???
全体の立方体の体積が1ですから、こんなには大きくない筈でしょう。

No.5068 Q1964-2  投稿者:N/T 投稿日:2017/01/11(Wed) 18:19  
三角の面積が
1 + x^2 -x
かな?
積分は長く使ってなかったので自信はありませんが、
体積は5/6になるのかなぁ???

No.5066 Re:No.5065 Q1964  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/05(Thu) 20:57  
なんとなく(?)積分問題っぽいのだが、視点を変えると「頓智」で解けるのかなぁ?
今年いっぱい時間が潰れそうな予感がします。

No.5065 Q1964  投稿者:N/T 投稿日:2017/01/04(Wed) 18:19  
う〜ん、中央が細めのねじれた三角柱になるのかな???
形を考えるだけでもかなりの難度かも・・・

No.5064 Re:No.5063  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/11/15(Tue) 05:13  
二等辺三角形に気が付けば(この場合凾bAE)、基本的な性質で解く事が出来る問題でした。
尚、点Eは辺AB上にAC=AEとしても説明出来ます。

>一本では少し難しい???
これは、辺ADをA側に延長するという意味で、判り難い説明だったかな?

No.5063 解けました  投稿者:N/T 投稿日:2016/11/14(Mon) 18:12  

ABとECが平行になるのですね。
三角の外側ばかりに補助線引いていたので気づきませんでした。

No.5062 Re:No.5061  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/11/13(Sun) 15:57  
補助線を見つける問題!(かな?) 一本では少し難しい???
No.5061 Q1959  投稿者:N/T 投稿日:2016/11/13(Sun) 08:04  
比率だから相似から求められると思ったのですけどねぇ…
相似形が見つけられない…orz

No.5060 なるほど  投稿者:N/T 投稿日:2016/10/20(Thu) 18:11  
三角の相似比になるのですねぇ。
スッキリしました。

No.5059 Re:No.5054:作図原理  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/10/20(Thu) 07:47  

直角三角形の相似とその相似比から原理説明は容易でした。
添付図では細かい計算は省いてありますが、ご理解いただけると思います。

図の緑円は、小生のNo.5053の緑円を参照して下さい。

No.5058 re:5056  投稿者:N/T 投稿日:2016/10/19(Wed) 18:15  
式の不明点を判り易くするために、図では接点からの垂直距離で法線の中心を
求めた式になってますが、実際に求めた法線の中心は楕円中心からの距離で
h(b/a)^2-h
です。
従って円の場合は0となり、円の中心が法線と縦中心線の交点になります。

No.5057 re:5055  投稿者:N/T 投稿日:2016/10/19(Wed) 18:08  
hは楕円の中心から指定点までの垂直高さです。
扁平率から求める方法を考えましたが、結果は謎だらけになにってしまいました。

No.5056 Re:5054  投稿者:Mac 投稿日:2016/10/19(Wed) 14:41  
a=b(円)の時はどう作図するのかな?
No.5055 Re:No.5054  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/10/19(Wed) 10:58  
h(a/b)^2 のhが良く判りませんので、説明宜しくお願いします。
h=h(a/b)^2/9(図より判断)??? それとも、h=(a/b)^2/9???

No.5054 re:5053  投稿者:N/T 投稿日:2016/10/18(Tue) 18:12  

さすが、スッキリ描けてますね。
私は試行錯誤の結果、図のようになりましたが、なんで扁平比の
二乗になるのかが判らず考えてました。

No.5053 Q1958:描き方例  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/10/18(Tue) 10:08  

@半径OAの円を描き、
A点Pを通りY軸と平行な線を引く
B@の円との交点をQとし
C接線を引いてX軸との交点Rを求める。
DRとPを通る直線が楕円(長円)の点Pに於ける接線。

これは緑円OBを使っても同様に求める事が出来ます。

これは楕円(長円)が、円OAをOB/OAの比率で縦に潰した、又は円OBをOA/OBの比率で横に引き伸ばしたものですから理屈は判り易いですね。

No.5052 Q1958  投稿者:N/T 投稿日:2016/10/15(Sat) 07:02  
実は私も接線の書き方で困りました。
結局は解らずじまいでコマンドを使ってました。

No.5051 Q1957  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/10/14(Fri) 19:14  
PQの最短長さは、長径÷短径≧√2の時:

PQmin=(√27)*a^2*b^2/√((a^2+b^2))^3
2乗も3乗も、平方根も定規とコンパスで作図可能ですので、実際の作図手順はサボります。

これは楕円(長円)上の点の座標を、(a*cosθ、b*sinθ)として計算したものですので、興味のある方は計算してみて下さい。

No.5050 re:5049  投稿者:N/T 投稿日:2016/10/13(Thu) 06:35  
しっかりと頭を使うことが衰えないための秘訣なのでしょうねぇ。
No.5049 Re:No.5048  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/10/12(Wed) 18:58  
OA=a、OB=bとし、楕円上の点の座標をP(a*cosθ、b*sinθ)として求めました。
No.5047の条件であれば、a、bから作図で最短値を求める事が出来る筈です(まだ実際には描いていません)。

No.5048 re:5047  投稿者:N/T 投稿日:2016/10/12(Wed) 17:28  
計算で求めたのですねぇ。
気力と能力が凄すぎる。

No.5047 Q1957  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/10/12(Wed) 11:32  

楕円の扁平率により答えが分かれることに気が付きました。
長径÷短径=√2の時がこの分かれ目でした。
取り敢えず長径÷短径≧√2の場合の解を(作図法でなく)近い打ちに掲載します。

扁平率が大きい時、最短長さが短径とは一致しない実例動画をアップしました。

長径=短径の場合は真円ですから、最短値が直径に等しいのは明らかですね。

No.5046 Q1957  投稿者:N/T 投稿日:2016/09/24(Sat) 08:05  
かなり難しいですねぇ。
法線の動きが複雑で軌跡が取れないし、計算はさらに複雑そうだし…
早くも行き詰りました。

No.5045 Re:No.5044  投稿者:East 投稿日:2016/09/03(Sat) 10:38  
円による反転・・・色々使えそう!
No.5044 Re:No.5043  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/09/01(Thu) 18:47  
HIROSHIさんの出題図の、円による反転です(これは過去に説明済み)。

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