図形クイズ解答用掲示板 こちらはネタバレOKです。

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数学の部屋 スウガクとくガウス ようこそ酒転童子の部屋へ FUKUCHANさんの解答集2
No.5157 凄いです  投稿者:N/T 投稿日:2017/09/01(Fri) 17:35  
楕円の性質を完全に理解していないとできない作図ですねぇ。
凄いとしか言いようがありません。

No.5156 8角形の内接楕円 追伸  投稿者:hidemaru 投稿日:2017/08/28(Mon) 18:15  

手順4)以降を示した図を貼っておきます。
5角形以上は内接楕円を描く手間よりも内接条件を満たす多角形を準備する方がめんどいです。

No.5155 8角形の内接楕円  投稿者:hidemaru 投稿日:2017/08/28(Mon) 18:13  

FUKUCHANさんの方針で正解です。

「全て同じ手順で描ける」と述べたのは語弊がありました。実は内・外接楕円には属性が2種類あるのです。そして5角形以上の内外接楕円は任意の接点を取れませんので、属性にあわせた手順が必要となります。

属性1.正多角形に内・外接する円を変換した図形

多角形のもっとも離れた頂点同士を結ぶ対角線は1店で交わります。この場合、IJKLとMNOPの内接楕円は合同となり4角形の手法を使うことができます。透視図と考えればもっともなことです。奇数角形については後述します。

属性2.一般的な凸他型多角形に内・外接する楕円を変換した図形

対角線は1点で交わりません。1.と同じ手法で描くとIJKLとMNOPの内接楕円は合同にならず、どちらもABCDEFGHには内接できません。以下の手順で接点を求めます。

1) 8角形ABCDEFGHから5角形IBCKLを作る 頂点の組み合わせは任意
2) 対角線IC, BK, CL を引く
3) 頂点と対角線の交点から接点Q, R, S を得る
4) 極線QR, RSの中点と頂点B, C から楕円の中心X を得る

以下、4角形の内接楕円に準する

奇数の正多角形を変換した図形では、頂点と対辺にもっとも近い対角線の交点とを結ぶ線が1点で交わります。添付の五角形IBCKLではIS, KQ, LRに相当します。見辛いですがこの図では3線が一点で交わっていません。従いこの図形は正5角形の変換図ではありません。2.の手順を使うことになります。

No.5154 Re:No.5153:補足  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/08/25(Fri) 17:29  

8角形の例です。
赤の辺4つ、又は青の辺4つを選択して、4角形を作れば・・・

No.5153 Re:No.5150  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/08/25(Fri) 09:58  
暫く覗いていなかったのですが、凄いですねぇ(まだ作図でフォローする気力が湧きませんが・・・)。

>上記は正方形と内接円を投影したときの図形です。
小生の考え方が正しかったらしいのが嬉しいです♪

>小生は7角形までしか試していませんが、
内接円が存在する多角形なら、任意の4辺を選択し、同じ要領で描けば良いと思います(これも作図フォローしていませんが)。

No.5152 これは凄そう♬  投稿者:moonlight 投稿日:2017/08/20(Sun) 22:14  
じっくり読まないと分からない。
いや読むよりは手を動かさないと!か

No.5151 re:5150  投稿者:N/T 投稿日:2017/08/18(Fri) 06:45  
かなり複雑ですねぇ。
考え方はFUKUCHANさんのNo.5146と同じみたいですが、
この手順を考えるのは凄いと思う。

No.5150 Q1982 凸型四角形の内接...  投稿者:hidemaru 投稿日:2017/08/17(Thu) 13:04  

凸型四角形の内接楕円の作図法はたしかにネット上でも見当たりません。小生が使っているやり方を紹介します。
「平行四辺形に内接する楕円」の機能があれば描けます。

ABCD: 凸型四角形
O: 対角線の交点
U: ABとCDの交点
V: BCとDAの交点
E: UOとADの交点
F: UOとBCの交点
G: VOとCDの交点
H: FGの中点
I: EGの中点
Q: CHとIDの交点=楕円の中心
PQ=EQ, QS//PR//ED
IQ:JQ=JQ:DQ, JQ=√(DQ*IQ) JQはIQとDQの幾何平均
JK//EQ
JL//EG
KQ:MQ=MQ:LQ, MQ=√(KQ*LQ) MQはKQとLQの幾何平均
QM=QW, MN//WX//EQ
線分AD, MN, PR, WXを辺とする平行四辺形に内接する楕円
=四角形ABCDに内接する楕円

上記は正方形と内接円を投影したときの図形です。任意の接点を与えれば、「やつれた楕円」も描けます。
ABCDが台形の場合は、RPが底辺と一致します。凧形の場合はMWが楕円の軸と一致するので、軸長と周上点からでも作図できます。
小生は7角形までしか試していませんが、内接円が存在する多角形なら全て同じ手順で描けるはずです。しかし実用性は…?今時はプログラミングで片付けてしまうのでしょうね。

No.5149 Q1982:自問自答の疑問  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/08/03(Thu) 19:21  
この変形をした時に、円は楕円に変形できるのだろうか???(タマゴ型とか・・・)
No.5148 Re:No.5147  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/08/02(Wed) 19:16  
適切な復元方法がまだ浮かんでいません。
パラメトリック機能等を持ったCADなら問題無いと思いますが、安いCADでは???

No.5147 re:5145  投稿者:N/T 投稿日:2017/08/01(Tue) 19:07  
相変わらず着眼というか発想が凄いですね。
どうやればそういう柔軟な発想が維持出来るのだろう???
私なんかは頭が固くなってしまって何も思いつきませんでした。

No.5146 Re:No.5145:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/08/01(Tue) 10:44  
2点でなく3点透視図と考えても同じでしょうね。
また、元の図形が立方体ではなく、赤線を復元した時長方形でもOKと思います。

No.5145 Q1982:考え方???  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/08/01(Tue) 10:31  

出来た訳では無く、この考え方が正しいかは別として・・・

与えられた凸四辺形(添付図赤線)が立方体の2点透視図だとしたら?
(向かい合う2辺が平行なら、1点透視図)
立方体(の一面)を復元出来れば、内接円を求めて添付の2点透視図を再現すれば出来る???
建築関係の設計をしている人には易しい???(どうやって立方体を復元?)

No.5144 Q1981  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/21(Fri) 20:56  
これはトレミーの定理でした(見た事ある訳ですね)。
三角関数を使って解けたのですが、所謂図形的に説明出来ないか悩んでいます。

No.5143 Q1981  投稿者:N/T 投稿日:2017/07/19(Wed) 18:38  
直角三角形に変形できないか色々考えてみましたが、
やはり無理でした…

No.5142 re:5141  投稿者:N/T 投稿日:2017/07/15(Sat) 08:08  
相似形からの引き算でしたか。
図形的には無理なのかなぁ???

No.5141 Q1980  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/13(Thu) 21:04  

図の青二重枠の三角形は相似で、相似比は簡単に判ります(僊BD∽僞BC)。
又、辺の長さの比率から、面積比を求める事が出来ます(例:僊BD:僊BC、僞BC:僞BF)。

この辺から計算で説明可能と思いますが、図形的にもっとうまい説明を見付けないと、cad/camらしくない!

もっとも、相似比や面積比での計算は面倒なので手を付けていませんが・・・

No.5140 Q1980  投稿者:N/T 投稿日:2017/07/12(Wed) 19:01  
難しいですねぇ。
BEを対照軸にして黄色を反転したのが△ABCと同面積になればと思ったのですが、
いくら考えても証明が出来ない…orz

No.5139 re:5138  投稿者:N/T 投稿日:2017/07/10(Mon) 06:40  
相似の活用でしたか…
これは全く思いつきませんでした。

No.5138 Q1977:小生の解説例  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/09(Sun) 09:13  

1)No.5137参照:
僊BCの周長をLとすると、CP=c、2*(a+b+c)=Lですから、c=CP=L/2-(a+b)=L/2-AB・・・@

2)No.5136参照:(上記とa、b、cが混乱していますがご容赦を)
ここでは僊BCの傍接円(添付図の緑円)で考えます。
a+b+c+d=L、b+c=a+dですから、b+c=L/2でb=AB、従ってb=AR=L/2-AB・・・A

@Aより、CP=AR(=L/2-AB)となりますが、その前に、点Rが傍接円(緑)との接点となっている事の確認が必要です。

添付図のA'、C'は点Qを通りABに平行な線と辺AB、BC夫々との交点です。
明らかに僊'BC'∽僊BCであり、赤円Oは僊'BC'の傍接円になっています。
題意より点Rは点Qの相似点(こんな言葉があったかな?)ですから、点Rは緑円とACとの接点!

一寸たどたどしいのですが、これが小生の解説です。
もっと判り易い説明が出来ないか?・・・これは当分手を付ける事は無さそうです。

No.5137 Q1977:準備2=内接円  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/08(Sat) 09:01  

三角形の周囲の長さ合計をLとすると:
L=2*(a+b+c)
No.5136同様、証明などという言葉が気恥ずかしくなるような判り易い性質です。

但し、これらは基本的で易しい式ですが、小生は最初にQ1977を解く時には全く浮かびませんでした。
頭が固くなっているのですね・・・「老化」で言い訳していますが...

No.5136 Q1977:説明用準備1=傍...  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/08(Sat) 08:54  

Q1979で使った傍接円の性質:
三角形の辺、又はその一部の長さの関係で、よく使われる性質と思います。
b+c=a+d・・・Q1977の説明で使える性質でしょう。

No.5135 Q1977  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/07(Fri) 13:39  
解けたようです。
Q1979で述べた傍接円が解くカギの一つになりました。
説明図を整理して、日曜日にでも発表します。

No.5134 Q1978  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/06(Thu) 10:21  

∠Bを適当に設定し(赤マーク)、黄色線を引きます。
そこに中点Mから垂線MHを下ろすと、∠M(青マーク)=∠Bになるのは明らかです。
ここで点Mを頂点とする二等辺三角形MBDを描くと、図の∠DMBは赤の2倍。

このDの軌跡は、BCを直径とする円弧になりますから、描き方としてはBからACに垂線を下ろして終わりです。

出題文で:
>まぐれ(?、仮定?)でも描けてしまいます
と言ったのは、作図工程が簡単な為でした。

No.5133 Re:No.5132  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/05(Wed) 20:50  
正解です♪
円周角と中心角でもありますが、軌跡でも見付けられますよね。

出題文で言ったのは、BからCAに垂線を下ろすと、それが答えになってしまうと言う事です。

理屈は合同な三角形になるのかな?

No.5132 Q1978  投稿者:N/T 投稿日:2017/07/05(Wed) 19:41  

説明は省略しますが、円周角と中心角ですねぇ〜♪
なかなか面白い問題でした。

No.5131 Re:No.5130:修正(追記)  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/04(Tue) 18:59  
描き方としては、15:15:6の二等辺三角形を描く・・・こちらの方が判り易かったですね。
No.5130 Re:No.5126:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/03(Mon) 10:34  
ルートを使わない描き方:

15:15:15:21の等脚台形=□ABEDを描けばルート不要ですが、これも計算結果で図形的に求めたものではありません。

No.5129 Re:No.5127  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/03(Mon) 10:30  
>Rが他の点と繋がらないんですよねぇ。
B、Q、Rは一直線上にあります。

でもどう解くのが良いのだろう???
これも相似比を使う事になるのかなぁ?

今一つだけ浮かんでいる補助線=点Qを通る線で考えてみます。

No.5128 Q1977  投稿者:moonlight 投稿日:2017/07/01(Sat) 22:55  
なんだか観たことあるようなないような
とにかくあるとしても記憶にない。そして面白い。
図に描いてみました。
まだちゃんと考えてません。
角度でなんとかならんかと思うだけで手と頭が動きません。

No.5127 Q1977  投稿者:N/T 投稿日:2017/07/01(Sat) 19:37  
何の糸口も見つからない…orz
Rが他の点と繋がらないんですよねぇ。
補助線が足りないのでしょうけど、思いつかない。

No.5126 Re:No.5124  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/28(Wed) 07:11  
>ルートも登場しないので何とかならないのかなぁと。
No.5121で発言した通り、ルートは登場しますが(AC=10√10)、平方根は定規とコンパスで作図容易です。
□ABEDが等脚台形であり、BE=21と整数になる点に注目していますが、この値も計算で出しているので・・・

AB=AD=DE=a、BC=CD=bの条件で描く方法を検討中です(やはり軌跡は使えないかも)。

No.5125 re:5124  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/28(Wed) 06:41  
描けそうで描けない、なかなかの難問でした。
No.5124 Q1974:ネタは旧帝戦数学部...  投稿者:moonlight 投稿日:2017/06/27(Tue) 08:26  
何やらレッドブルという謎の飲料企業の企画だったようです。
旧帝国大学の図書館に宝箱と三問の問題が置かれて...という。
ちょっといかにもな問題なのですけど,面白い。
手で適当に三回ほど描き直すとそれらしいものが描けたのですが,
計算なしで正確な図が描けるかなとちょっと思った次第です。
ルートも登場しないので何とかならないのかなぁと。
(それよりもまぁ問題を作る参考になる話が転がっていないかとか)

No.5123 Q1973  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/25(Sun) 19:27  
相似比を使って式の展開を図っていますので、基本的には作図での説明が可能な気がします。
もっとも、判り易い説明が出来るか?と聞かれると...

>1974は図形的に解くのは無理みたいでした。
□ABEDが等脚台形なので、何とかならないか検討してみます(軌跡は無理っぽいです)

残りはQ1970の図形的説明ですね、アポロニウスの円絡みなので、意外と上手い方法があるかも・・・

No.5122 さすが  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/25(Sun) 07:47  
どちらも解けたのですねぇ。
1974は図形的に解くのは無理みたいでした。

No.5121 Q1974:計算式  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/24(Sat) 08:54  
AB=AD、BC=DCですから、図形はACを軸として対称形です。
従って、点Aを原点、点Cをy軸上の点とすると式が簡単になりそうですね(B、Dはy軸に対称)。

A=(0,0)、C=(0,Cy)、B=(Bx,By)、D=(-Bx,By)と置きます(それぞれ正の値とします)。
題意より、Bx^2+By^2=15^2、Bx^2+(Cy-By)^2=25^2
E=(Ex,Ey)とすると、平行の条件から:
(Ey-By)/(Ex-Bx)=-By/Bx
点Eは直線DC上の点である事とDEの長さが15である事で計算すると答えが出てきます(煩雑なので略しますが...)。

結果、Cy=10√10 即ち、ACの長さは10√10・・・これは定規とコンパスで作図容易です。
因みに、Bx=3√15、By=3√10、Ex=-6√5/5、Ey=36√10/5

尚、B=D=(0,15)、C=(0,40)、E=(0,30)でも数式的には条件に適合しますが、一直線に並んでは図形的に×かな?

No.5120 Q1973:計算解  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/24(Sat) 08:17  
内接円Oの半径をrとし、凾`BCの面積をSとすると:
2S=r*(a+b+c)
Aから辺BCに下ろした垂線の長さをhとすると:
2S=a*h ---> r*(a+b+c)=a*h・・・@

一方、凾`BC∽凾`PQですから、
d/a=(h-r)/h=1-r/h ---> r/h=1-d/a ---> r=(a-d)*h/a・・・A

Aを@に代入して:
(a-d)*h*(a+b+c)/a=a*h ---> (a-d)*(a+b+c)=a^2
---> a^2+a*(b+c)-d*(a+b+c)=a^2 ---> a*(b+c)=d*(a+b+c)・・・証明終わり!

図形的な説明は???

No.5119 お久しぶりです  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/23(Fri) 19:25  
描けなかった…orz
計算しないとダメみたいですねぇ。

No.5118 Re:No.5117:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/23(Fri) 17:59  
言い忘れました!
moonlightさん、お久しぶりです♪

No.5117 Q1974  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/23(Fri) 17:55  

これも数式で解く事は出来ました。
問題文からBC=CD=25ですから、それ程難しい式ではありませんでした。
一つの解は添付図のような形です(ACの値は後程掲載します=勿論、作図可能な長さ)。

青線分の長さが15、赤線分の長さが25です、念の為。

もう一つの解はBとDが重なる形状になりますが、AD//BEや四角形と言う条件に適合すると見るか???(広い意味ではOKでしょうが...)

No.5116 Re:No.5115  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/23(Fri) 17:42  
取り敢えず計算で解く事は出来ました。
内接円の半径をr、BCを底辺とした時の高さをhとし、三角形の面積の式+αです。
計算式は別途掲載予定ですが、図形的にはまだ手掛かりが掴めていません。

No.5115 Q1973  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/22(Thu) 20:43  
内心と各辺の比例関係が思い出せない・・・orz
「解く」以前の問題だなぁ。

No.5114 Re:No.5113  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/20(Tue) 21:07  
実は出題図の動画は、点Qを点Aを通り傾き―1の直線上に設定しました(Aを原点といた時、y=-xの直線)。
即ち、N/Tさんの説明は正解で、多分一番判り易いと思います。
図形的には、上記の補助線を引けば判り易いですよね。

矢張り、図形問題は補助線が重要です!(Q1971も同様)

No.5113 Q1972  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/20(Tue) 19:43  
BDとAQはABに対して常に45゜で平行。
△BDQは底辺をDBとすればQは底辺に対して平行移動しているだけなので
高さが変わらず面積は一定。

久しぶりに解けた気がする…

No.5112 re:5111  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/20(Tue) 06:40  
左側の補助線は気づきませんでした…orz
No.5111 Q1971  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/19(Mon) 10:29  

図形的な説明です(エレガントか否かは別として)。

凾`DPを点Pの周りに90゜回転すると、点DはBと重なり、PはP’に移ります。
角度を見ると、点P’は直線BC上にある事は明らかですが、P’は点AからAEに垂直な線を引き、直線BCとの交点にもなっています。
後者の方法でも凾`DP≡凾`BP’の証明は容易ですね(2角1辺が楽かな?)。

ここで凾`EP’に注目すると、凾`FEが二等辺三角形ですから、点FはP’Eの中点になります。
即ち、赤線+青線=緑線・・・大分説明を端折っていますが、これはいつもの(得意な)手抜きです。

少し付け加えると、a=a'(折り返し)、a=a''(回転)、a=b(錯角)・・・これ位で良いかな?

No.5110 Re:No.5109  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/18(Sun) 19:09  
おっ!出来ているようですね。
図を使った説明は、出来るだけ早くアップする予定です。

No.5109 Q1971  投稿者:七十一 投稿日:2017/06/18(Sun) 08:49  
補助線を使って直角三角形!
点Fが斜辺の中点になるのですね(作図ソフトの無い環境より)。
△AFEは意味を持ちますね。

No.5108 re:5107  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/18(Sun) 08:21  
△AFEを使うと思ったのですが、解けそうにない状態です。
別の方法となると、かなりの難問ですねぇ・・・


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