図形クイズ解答用掲示板 こちらはネタバレOKです。

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数学の部屋 スウガクとくガウス ようこそ酒転童子の部屋へ FUKUCHANさんの解答集2
No.5144 Q1981  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/21(Fri) 20:56  
これはトレミーの定理でした(見た事ある訳ですね)。
三角関数を使って解けたのですが、所謂図形的に説明出来ないか悩んでいます。

No.5143 Q1981  投稿者:N/T 投稿日:2017/07/19(Wed) 18:38  
直角三角形に変形できないか色々考えてみましたが、
やはり無理でした…

No.5142 re:5141  投稿者:N/T 投稿日:2017/07/15(Sat) 08:08  
相似形からの引き算でしたか。
図形的には無理なのかなぁ???

No.5141 Q1980  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/13(Thu) 21:04  

図の青二重枠の三角形は相似で、相似比は簡単に判ります(僊BD∽僞BC)。
又、辺の長さの比率から、面積比を求める事が出来ます(例:僊BD:僊BC、僞BC:僞BF)。

この辺から計算で説明可能と思いますが、図形的にもっとうまい説明を見付けないと、cad/camらしくない!

もっとも、相似比や面積比での計算は面倒なので手を付けていませんが・・・

No.5140 Q1980  投稿者:N/T 投稿日:2017/07/12(Wed) 19:01  
難しいですねぇ。
BEを対照軸にして黄色を反転したのが△ABCと同面積になればと思ったのですが、
いくら考えても証明が出来ない…orz

No.5139 re:5138  投稿者:N/T 投稿日:2017/07/10(Mon) 06:40  
相似の活用でしたか…
これは全く思いつきませんでした。

No.5138 Q1977:小生の解説例  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/09(Sun) 09:13  

1)No.5137参照:
僊BCの周長をLとすると、CP=c、2*(a+b+c)=Lですから、c=CP=L/2-(a+b)=L/2-AB・・・@

2)No.5136参照:(上記とa、b、cが混乱していますがご容赦を)
ここでは僊BCの傍接円(添付図の緑円)で考えます。
a+b+c+d=L、b+c=a+dですから、b+c=L/2でb=AB、従ってb=AR=L/2-AB・・・A

@Aより、CP=AR(=L/2-AB)となりますが、その前に、点Rが傍接円(緑)との接点となっている事の確認が必要です。

添付図のA'、C'は点Qを通りABに平行な線と辺AB、BC夫々との交点です。
明らかに僊'BC'∽僊BCであり、赤円Oは僊'BC'の傍接円になっています。
題意より点Rは点Qの相似点(こんな言葉があったかな?)ですから、点Rは緑円とACとの接点!

一寸たどたどしいのですが、これが小生の解説です。
もっと判り易い説明が出来ないか?・・・これは当分手を付ける事は無さそうです。

No.5137 Q1977:準備2=内接円  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/08(Sat) 09:01  

三角形の周囲の長さ合計をLとすると:
L=2*(a+b+c)
No.5136同様、証明などという言葉が気恥ずかしくなるような判り易い性質です。

但し、これらは基本的で易しい式ですが、小生は最初にQ1977を解く時には全く浮かびませんでした。
頭が固くなっているのですね・・・「老化」で言い訳していますが...

No.5136 Q1977:説明用準備1=傍...  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/08(Sat) 08:54  

Q1979で使った傍接円の性質:
三角形の辺、又はその一部の長さの関係で、よく使われる性質と思います。
b+c=a+d・・・Q1977の説明で使える性質でしょう。

No.5135 Q1977  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/07(Fri) 13:39  
解けたようです。
Q1979で述べた傍接円が解くカギの一つになりました。
説明図を整理して、日曜日にでも発表します。

No.5134 Q1978  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/06(Thu) 10:21  

∠Bを適当に設定し(赤マーク)、黄色線を引きます。
そこに中点Mから垂線MHを下ろすと、∠M(青マーク)=∠Bになるのは明らかです。
ここで点Mを頂点とする二等辺三角形MBDを描くと、図の∠DMBは赤の2倍。

このDの軌跡は、BCを直径とする円弧になりますから、描き方としてはBからACに垂線を下ろして終わりです。

出題文で:
>まぐれ(?、仮定?)でも描けてしまいます
と言ったのは、作図工程が簡単な為でした。

No.5133 Re:No.5132  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/05(Wed) 20:50  
正解です♪
円周角と中心角でもありますが、軌跡でも見付けられますよね。

出題文で言ったのは、BからCAに垂線を下ろすと、それが答えになってしまうと言う事です。

理屈は合同な三角形になるのかな?

No.5132 Q1978  投稿者:N/T 投稿日:2017/07/05(Wed) 19:41  

説明は省略しますが、円周角と中心角ですねぇ〜♪
なかなか面白い問題でした。

No.5131 Re:No.5130:修正(追記)  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/04(Tue) 18:59  
描き方としては、15:15:6の二等辺三角形を描く・・・こちらの方が判り易かったですね。
No.5130 Re:No.5126:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/03(Mon) 10:34  
ルートを使わない描き方:

15:15:15:21の等脚台形=□ABEDを描けばルート不要ですが、これも計算結果で図形的に求めたものではありません。

No.5129 Re:No.5127  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/07/03(Mon) 10:30  
>Rが他の点と繋がらないんですよねぇ。
B、Q、Rは一直線上にあります。

でもどう解くのが良いのだろう???
これも相似比を使う事になるのかなぁ?

今一つだけ浮かんでいる補助線=点Qを通る線で考えてみます。

No.5128 Q1977  投稿者:moonlight 投稿日:2017/07/01(Sat) 22:55  
なんだか観たことあるようなないような
とにかくあるとしても記憶にない。そして面白い。
図に描いてみました。
まだちゃんと考えてません。
角度でなんとかならんかと思うだけで手と頭が動きません。

No.5127 Q1977  投稿者:N/T 投稿日:2017/07/01(Sat) 19:37  
何の糸口も見つからない…orz
Rが他の点と繋がらないんですよねぇ。
補助線が足りないのでしょうけど、思いつかない。

No.5126 Re:No.5124  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/28(Wed) 07:11  
>ルートも登場しないので何とかならないのかなぁと。
No.5121で発言した通り、ルートは登場しますが(AC=10√10)、平方根は定規とコンパスで作図容易です。
□ABEDが等脚台形であり、BE=21と整数になる点に注目していますが、この値も計算で出しているので・・・

AB=AD=DE=a、BC=CD=bの条件で描く方法を検討中です(やはり軌跡は使えないかも)。

No.5125 re:5124  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/28(Wed) 06:41  
描けそうで描けない、なかなかの難問でした。
No.5124 Q1974:ネタは旧帝戦数学部...  投稿者:moonlight 投稿日:2017/06/27(Tue) 08:26  
何やらレッドブルという謎の飲料企業の企画だったようです。
旧帝国大学の図書館に宝箱と三問の問題が置かれて...という。
ちょっといかにもな問題なのですけど,面白い。
手で適当に三回ほど描き直すとそれらしいものが描けたのですが,
計算なしで正確な図が描けるかなとちょっと思った次第です。
ルートも登場しないので何とかならないのかなぁと。
(それよりもまぁ問題を作る参考になる話が転がっていないかとか)

No.5123 Q1973  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/25(Sun) 19:27  
相似比を使って式の展開を図っていますので、基本的には作図での説明が可能な気がします。
もっとも、判り易い説明が出来るか?と聞かれると...

>1974は図形的に解くのは無理みたいでした。
□ABEDが等脚台形なので、何とかならないか検討してみます(軌跡は無理っぽいです)

残りはQ1970の図形的説明ですね、アポロニウスの円絡みなので、意外と上手い方法があるかも・・・

No.5122 さすが  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/25(Sun) 07:47  
どちらも解けたのですねぇ。
1974は図形的に解くのは無理みたいでした。

No.5121 Q1974:計算式  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/24(Sat) 08:54  
AB=AD、BC=DCですから、図形はACを軸として対称形です。
従って、点Aを原点、点Cをy軸上の点とすると式が簡単になりそうですね(B、Dはy軸に対称)。

A=(0,0)、C=(0,Cy)、B=(Bx,By)、D=(-Bx,By)と置きます(それぞれ正の値とします)。
題意より、Bx^2+By^2=15^2、Bx^2+(Cy-By)^2=25^2
E=(Ex,Ey)とすると、平行の条件から:
(Ey-By)/(Ex-Bx)=-By/Bx
点Eは直線DC上の点である事とDEの長さが15である事で計算すると答えが出てきます(煩雑なので略しますが...)。

結果、Cy=10√10 即ち、ACの長さは10√10・・・これは定規とコンパスで作図容易です。
因みに、Bx=3√15、By=3√10、Ex=-6√5/5、Ey=36√10/5

尚、B=D=(0,15)、C=(0,40)、E=(0,30)でも数式的には条件に適合しますが、一直線に並んでは図形的に×かな?

No.5120 Q1973:計算解  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/24(Sat) 08:17  
内接円Oの半径をrとし、凾`BCの面積をSとすると:
2S=r*(a+b+c)
Aから辺BCに下ろした垂線の長さをhとすると:
2S=a*h ---> r*(a+b+c)=a*h・・・@

一方、凾`BC∽凾`PQですから、
d/a=(h-r)/h=1-r/h ---> r/h=1-d/a ---> r=(a-d)*h/a・・・A

Aを@に代入して:
(a-d)*h*(a+b+c)/a=a*h ---> (a-d)*(a+b+c)=a^2
---> a^2+a*(b+c)-d*(a+b+c)=a^2 ---> a*(b+c)=d*(a+b+c)・・・証明終わり!

図形的な説明は???

No.5119 お久しぶりです  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/23(Fri) 19:25  
描けなかった…orz
計算しないとダメみたいですねぇ。

No.5118 Re:No.5117:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/23(Fri) 17:59  
言い忘れました!
moonlightさん、お久しぶりです♪

No.5117 Q1974  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/23(Fri) 17:55  

これも数式で解く事は出来ました。
問題文からBC=CD=25ですから、それ程難しい式ではありませんでした。
一つの解は添付図のような形です(ACの値は後程掲載します=勿論、作図可能な長さ)。

青線分の長さが15、赤線分の長さが25です、念の為。

もう一つの解はBとDが重なる形状になりますが、AD//BEや四角形と言う条件に適合すると見るか???(広い意味ではOKでしょうが...)

No.5116 Re:No.5115  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/23(Fri) 17:42  
取り敢えず計算で解く事は出来ました。
内接円の半径をr、BCを底辺とした時の高さをhとし、三角形の面積の式+αです。
計算式は別途掲載予定ですが、図形的にはまだ手掛かりが掴めていません。

No.5115 Q1973  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/22(Thu) 20:43  
内心と各辺の比例関係が思い出せない・・・orz
「解く」以前の問題だなぁ。

No.5114 Re:No.5113  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/20(Tue) 21:07  
実は出題図の動画は、点Qを点Aを通り傾き―1の直線上に設定しました(Aを原点といた時、y=-xの直線)。
即ち、N/Tさんの説明は正解で、多分一番判り易いと思います。
図形的には、上記の補助線を引けば判り易いですよね。

矢張り、図形問題は補助線が重要です!(Q1971も同様)

No.5113 Q1972  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/20(Tue) 19:43  
BDとAQはABに対して常に45゜で平行。
△BDQは底辺をDBとすればQは底辺に対して平行移動しているだけなので
高さが変わらず面積は一定。

久しぶりに解けた気がする…

No.5112 re:5111  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/20(Tue) 06:40  
左側の補助線は気づきませんでした…orz
No.5111 Q1971  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/19(Mon) 10:29  

図形的な説明です(エレガントか否かは別として)。

凾`DPを点Pの周りに90゜回転すると、点DはBと重なり、PはP’に移ります。
角度を見ると、点P’は直線BC上にある事は明らかですが、P’は点AからAEに垂直な線を引き、直線BCとの交点にもなっています。
後者の方法でも凾`DP≡凾`BP’の証明は容易ですね(2角1辺が楽かな?)。

ここで凾`EP’に注目すると、凾`FEが二等辺三角形ですから、点FはP’Eの中点になります。
即ち、赤線+青線=緑線・・・大分説明を端折っていますが、これはいつもの(得意な)手抜きです。

少し付け加えると、a=a'(折り返し)、a=a''(回転)、a=b(錯角)・・・これ位で良いかな?

No.5110 Re:No.5109  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/18(Sun) 19:09  
おっ!出来ているようですね。
図を使った説明は、出来るだけ早くアップする予定です。

No.5109 Q1971  投稿者:七十一 投稿日:2017/06/18(Sun) 08:49  
補助線を使って直角三角形!
点Fが斜辺の中点になるのですね(作図ソフトの無い環境より)。
△AFEは意味を持ちますね。

No.5108 re:5107  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/18(Sun) 08:21  
△AFEを使うと思ったのですが、解けそうにない状態です。
別の方法となると、かなりの難問ですねぇ・・・

No.5107 Q1971  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/17(Sat) 17:07  
出来たかも・・・です。
DP=D’Pに眼を向けない方が良さそうです(色々な解き方があるので、絶対駄目ではないでしょうが...)。
二等辺三角形は使いますが、違う角度から解けたかも知れません。

しかしQ1970は、まだ糸口が掴めていません=大分時間が掛かりそう。

No.5106 Q1971  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/17(Sat) 07:46  
二等辺三角形を利用するのだろうなぁとは思うのですが、
そこから全然進まないです。

No.5105 re;5104  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/16(Fri) 06:37  
凄いなぁ。
最近は、正解が出るまで続けられる気力が続かないです。

No.5104 Q1970(比率)  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/15(Thu) 18:07  

結構簡単な式になりました(円の式からではなく、No.5120の完成図からピタゴラスの定理にて)。

b/a=√(((c/a)^2+1)/((d/c)^2+1))
c/a=2、d/c=4/3より:
b/a=√((2^2+1)/((4/3)^2+1))=√(5/(25/9))=3/√5

a〜dについては、出題図(再掲)をご覧下さい。

次は点Pの軌跡が円(弧)になる事の、図形的な説明に挑戦予定ですが、アラコキの脳には厳しいかも...

No.5103 さすがです  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/12(Mon) 05:59  
解けたと思ったのですが、甘かったか…orz
No.5102 Q1968/1970  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/11(Sun) 18:26  

前に、e:fで納得してしまったのですが、eもfも中心は点A、Bではありません。
求めているのは出題図(Q1968)のa:bですから、e:fにはなりません。

小生が計算で求めたのは「円になる」所迄でしたので、更に計算した所a:b=√5:3になりました。

それで描いたのが添付図です(Pは辺AB上にある場合、P'が辺CA上にある場合で、一寸見ずらいですがご容赦を)。

上述の√5:3は共に定規とコンパスで得られる値(比率)ですので、これを何とか図形的に求められないか挑戦してみたいと思います(無理っぽいですが)。

No.5101 Re:No.5098:修正  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/10(Sat) 21:31  
アラコキ反射機能で答えてしまいましたが(No.5099参照)、折れ線同士の比率です。
No.5098の解説は一寸違うのでは???

数式の比率は違っているようで、古惚けた脳をもう一度活性化して考え直さないと・・・(時間が掛かりそうですが、何とか答えを出してみます)

No.5100 re:5099  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/10(Sat) 08:52  
数式で解く精神力は凄いと思う。
No.5099 Re:No.5098  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/10(Sat) 07:27  
小生はアラコキになって、脳が確実に衰えています。
対角線の長さに頭が回らず、数式で(下図の赤円、青円)解いてしまいました。
これで、Q1970は簡単な問題になってしまいました。

因みに、筆者はAB=1、BC=tとして、Pの座標をtを媒介変数として求め、そこからPの軌跡(tに対する)を求めたのでした。
まぁ、気力だけは残っているかな?

No.5098 Q1968  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/09(Fri) 21:25  

1:2の交点の軌跡は赤円
3:4の交点の軌跡は青円
となるので、対角線の長さをgとすると
f=2/3g
e=(4g-4g/7)/2=12/7g
となり、どちらも対角線の長さに比例するからBCの長さが変化しても f:e は同じになるから。

というので良いのかな???

No.5097 re:5096  投稿者:N/T 投稿日:2017/04/26(Wed) 19:36  
やはり、単純に面積を出す問題じゃなかったのですねぇ。
作図しようとするまで気づきませんでした。

No.5096 Re:No.5095  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/04/25(Tue) 18:59  
小生も最初は「この問題は何?!?!」と思いましたが、「マイクロソフト入社問題」がヒントになりました。
図形の基本が身についていないと言われるのかな?

No.5095 re:5094  投稿者:N/T 投稿日:2017/04/24(Mon) 19:03  
「描けない」が正解かな?
AC=100の辺を直径とする円を描いても高さは50までしかならないから、
Bの角は直角にはならないと思う。


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