> 突拍子もない図形を作ってみたいですね♪

楽しみにしてます。

Acrobat 3D で検索すると出てきますが、これで作成したＰＤＦファイルを開くと、３Ｄものさしと言うツールが出ます（アドビーの説明では、作成者がこの許可を与えないと駄目で、小生のソフトでは指定出来ません）。
このツールを使うと距離とか半径とか面積とかが判るようです。

次回は無料お試し版で（フル機能３０日らしい）何か作成してみます。
でも詳しい３Ｄデータは、版権の問題で発表できないので、突拍子もない図形を作ってみたいですね♪

入るのなら用途は広いですねぇ〜♪

最近徐々に見かけるようになりましたね。
きちんとした（？）ＰＤＦ作成ソフトを使うと、寸法なども伝えられるらしいですけど．．．高いです！

これ、面白いですね。
知らなかったです。

592.pdf ３Ｄでヘンテコ４角柱を作りました。
上下の面がその答えの形をしていますので、参考として下さい。

３Ｄ−ＰＤＦですので、フリーソフトのアクロバットリーダーで読めますよ！

うまく読めると良いのですが．．．

moonlightさんの問題を少し変形してみました。
添付図の四辺形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝７、ＢＣ＝５、ＣＤ＝６で、対角線ＡＣとＢＤの長さは等しくなっています。
更に、ＤＡの中点Ｍを通り、ＢＣに垂直な線を描きます。
対角線ＡＣとＢＤの交点をＰとした時、点Ｐが上記の垂直な線と重なる図は、定規とコンパスで描けますか？

２つ描けると思いますが．．．

久しぶりに酒転童子さんの部屋を覗き、ピタゴラス数の表を見ました。
３：４：５は良く知られていますが、その他のピタゴラス数って、なぜ二等辺三角形に近いものが多いんだろう？

５：１２：１３とか、７：２４：２５とか...
その他でも図形を描くと二等辺三角形に近くなりますし...

まぁ、無限に存在するはずなので、必ずしも大半を占めるとは言えないでしょうが、何か説明は出来るのでしょうか？

クイズのページも面白いです。
あっという間に時間が・・・

殆ど紹介されないし知らないようです。
これほどネットが広がり便利なのに勿体無いことですね。

とはいえ，これほどのところは他にはあまり知りません。
日本の「私的数学塾」の私の備忘録の幾何学分野の「基本の作図」
なんかは面白いです。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/

＞既にご存知だったのでしょうか。

いえいえ、Antonio Gutierrez で検索したのです♪
この手のサイトは殆ど始めてです、仕事とは全くの畑違いですし．．．

今後、面白いサイトがあったら、アドレス付で紹介して下さい。
もっとも、アドレス添付は色々問題がありそうですが．．．

三角形の合同から、ＡＨ＝ＣＤとなるのですね。
従って、ＡＢ＝sqrt(7)、ＢＣ＝sqrt(6)とすれば、ＭＢの延長は、ＡＣを1.85:3.15に分ける訳！！！

既にご存知だったのでしょうか。
面白いし，よく纏まっていて，頻繁に更新されています。
算額の問題の紹介も愉しい。です。まだまだ考え中です。

このページは面白いですね♪
マルファッティの問題も掲載されていました→この問題については、酒転童子さんの部屋を参照下さい：
http://www.k3.dion.ne.jp/~edo-cad/malfatti.html

又、SANGAKU なんて言うのも有りました。
一瞬「山岳」かと思ったのですが、「算額」だったようです。
「産額」については、宮部みゆきの「震える岩」で教わりました。

直線（線分）になることは判りました。なるほどねえ。
でもまだ計算だけ。初等幾何的には，もう少し考えてみます。
で．そこからの作図が・・・，やはり難しい。

時間は確かに消費されますけど，
いろいろと知らなかった（あるいは忘れた？）図形の性質なんかが
沢山掘り出されてその1つ1つが結構面白かったりします。

ちなみに，海外のサイトで
Squares ABDE and BCGH are constructed on the sides AB and BC of a triangle ABC. Prove the following:
1. The median BM of the triangle formed externally between the squares is also the altitude of triangle ABC.
2. BM = AC/2.
という問題／性質が掲載されています。（証明は各自で）
この問題の正方形ABDEとBCGHの部分を，
相似な菱形ABDEとCBHGとすれば，CDの中点の軌跡の話になったりします。
ふむふむ。
（図は無断借用）

時間だけがどんどん消費されてしまう〜

午前中に内科検診を受ける為に、昨晩からアルコールを抜いたので、１年ぶりの素面状態♪
そこで朝から見直していたのですが、ＢＤじゃなくＣＤの中点が１直線上を動くのは確かなのですが、では描けるかとなると・・・

大体、４つの円が接するなんて描き方自体が可笑しいですよね！

実は或方法で描けたと思った図を添付します（もう一本の作図補助線は隠してありますが）。
対角線の長さはＣＡＤの誤差範囲と「勝手に」思いこんでいたのですね！（注釈忘れですが、上の線の長さは８です）

少なくとも、昼飯でビールを飲むのは止めておこう。

さぁ、検診、検診．．．

BDじゃなくて，CDの中点ですね！

中点の軌跡は，アポロニウスの円ですね。
で，条件AC=BDはその円周の限られた部分になるという条件でしょうか？
きっとそうですね。

「ニュートンの定理」（色々ありますけど，ここでは
円に外接する四辺形の対角線の中点と外心は一直線上にある，というもの）
は使えそうなんですけど・・・，

垂線の足はAB上を動き回るわけですね。
で，その中でも特にCD=9となるものを探す・・・
じゃなくて，円に外接するような上手い条件があるわけか・・・なあ。うーん。

四辺形ＡＢＣＤに於いて、ＡＢ：ＢＣ：ＤＡ＝５：６：７、またＡＣ＝ＢＤとなるものを考えます。
この時辺ＢＤの中点はどんな位置に有るでしょうか？

所謂軌跡の考え方ですが、その中点から辺ＡＢに垂線を下ろすと、その足は・・・

尚、４つの接円を描くと前に言いましたが、勿論これだけでは描けません。

今はもっと簡単な作図法を模索中です。

酒転童子さんのページも拝見させてもらいました・・・わかりません。
もう少しヒントを下さい（ペコリ）。
色々描いてみた図と疑問点は解答用の方に上げます。

＞これは触れてはいけない難問なのでしょうか？

酒転童子さんの部屋を、詳細に覗いてみる事をお勧めします♪

例えば，半径3,4,6,5の4つの円を順に隣同士が接して半径3と6の円も接するように描け。
※ただし，お互いに接していない円の中心間の距離は等しくなるように。

という作図題になります。

これが描ければ，
辺の長さ（の比）が，7,10,11,8の四辺形で
対角線の長さが相等かつ円に外接する四辺形が描けたことになりますね。
でもねえ，判らない。
これは触れてはいけない難問なのでしょうか？

補助円なのですね？合計5・・・
辺の端点を中心とする内接円の接点を通る円の半径ではないし・・・。
何ですか？うーん。

おっと，半径の比(値)が決まる!のですか!
読み飛ばした！なんでなんで？しかもそれが補助円って，

これは、半径の比が決まっている４円を、お互いに接するように描けと言う事！
酒転童子さんや小生の解答集にヒントがありそうですね！

勿論、コンパスと定規では描けないと言う答えも有りそうですが。

最初の問題に限って言えば、５の辺に対して１．８５、３．１５の円を描くのが基本です（後の円は決まってしまいます）。
それらを個々に接する描き方ですね・・・これは回答欄にて発言すべき？？？

こういう作図です。

辺の長さで円に外接していることは確定しているので，

「4辺の長さが与えられた対角線の長さが等しい四辺形を描きなさい」

という問題になりますね。それでも暗中模索ですけど。

でも良いです。（丸二日？ぼちぼち考えてもまだわかりません。）
図学を知ってる人なら朝飯前なのでしょうか？

無理矢理それらしい絵を計算ずくで描いては見ましたが・・・。

の方ですね。「一般的な」四辺形を描きましょうってことです。

どこから描くのか，円からなのか，辺（あるいは線なのか）は
この際どうでも良い（っていうぐらい僕には難しいのです。
ちなみに何人か同僚に訊いてみましたが，いずれも面白いなあ，わからん！です。）

たとえば，ある長さの線分がある。
それに接した円も描いてある。
では，その線分をひとつの辺とし，
円に外接し，なおかつ，対角線の長さが等しいような
四辺形を作図せよ！って言う話になると，
まず「描けるかどうか」（線分の長さと円の大きさの比率や接点の位置などの条件）
が五月蝿い問題になりませんか？

そこで，「具体的」でもよいので！って言う意味で５−６−８−７を設定してみました。
できれば「一般的」な作図法を。

これも二つの問題に分けるべきですね！

�@対角線の長さが等しい四辺形の作図法
　先ず浮かぶのは正方形！！！凧形など、判りやすい図形は「無限に」描けます。。

�A辺の長さの比が５：６：８：７で、対角線の長さが等しい凸四角形を描け！

後者は円に外接しますが、何故かと言う問題なのかな？
単に、このような四角形を描けと言う問題なのでしょうか？？？


では、小生からパクリ問題です：
・６：７：９．８の凸四辺形を作図せよ！
　勿論、対角線の長さは等しく、円に外接すること（って描けますか？）

�Aの問題が解ければ簡単かな？
出来上がった四辺形の頂点と、円との接点の位置関係等々、ヒントは出さない方が良さそうですね！

円は先に描くのかな、それとも後でもいいのかな？

ではまた，別の御題です。
きっと他の方とは違って，僕の出題は，「答えを知りません」です。
だからといってクレクレ君というわけでもないのですが・・・。

さて，本題。
（円に外接し，）対角線の長さが等しい四辺形の作図法

具体的には例えば，凸四辺形ABCDで
AB=5,BC=6,CD=8,DA=7でAC=BDとなるような四辺形。
※計算でACを求めるのは，（作図のヒントを得る為の裏作業はともかく）御法度とします。

moonlightさんの出題です（解答用ＢＢＳのNo.565添付のｐｄｆ参照）

定点ＰとＰを通らない定直線Ｌ（出題では筆記体の小文字Ｌ）が与えられたとき，定直線上に
２点Ａ，Ｂをとり，三点ＰＡＢ が正三角形をなすように点Ａ，Ｂを作図しなさい。
注意　作図問題なので，直定規とコンパスのみ使用可とします。
また，定規の目盛を使うことは厳禁です。定規はあくまで直線を描く為にだけ用います。

下図で、点Ｐが正方形の辺上を動くとき、正三角形の中心（重心・内心・外心・垂心）はどんな軌跡を描くでしょうか？
ＣＡＤで作図すると答えが浮かんできますが、証明は面倒？？？

下図に「ａ」とか「Ｐ」とか書いてありますが、これは接点指定、角度指定で正三角形を描けと言う問題を作った（それを流用した）ものです。
これにも挑戦して下さい・・・やさしいっす♪

下のNo.539で：
＞最大の長さを持つ辺と、正三角形の１辺が共有される場合と思います
と直感的な発言をしましたが、これは間違っている公算が大です。
四辺形の特殊例として正方形を使ってみて、間違いに気が付きました。
そこで問題です。
図のように正方形に内接する正三角形が有る時、面積が最大となるものと
最小となる正三角形を描いて下さい。

証明はちょっとややこしいかも知れません（幾何的には）。

そうなんです。描いてみると簡単で美しい。
三つの正三角形からならとても簡単です。

でもそっか，それで上手く元の三つの三角形と大きな三角形の辺の長さを1:2:3:5
にするには？って問題なんですね。
へえぇ！どうするのだろう？

考えてみないと！

moonlightさんの問題を少し変えてみました。
頂点を共有する三つの正三角形があり、それぞれの辺の長さの比率は１：２：３で、２と３の三角形のなす角は、図のように１５°。
出来上がった正三角形の変の長さの比が５となるようにして下さい。

もちろん、定規とコンパスでの作図ですが（コンパスだけでも出来ますが）、描いて見たら「超」簡単だった！

整理できたら解答用ＢＢＳに掲載します。
ヒントは１２０°回転ですね！（別に回転しなくても良いのですが）
幾何的な解答を作成しますが、出来上がった図はベクトルで考えた方が理解しやすいかも．．．

まだ（平日なので・・・言い訳）証明できた訳では有りませんが、
添付図が解法のヒントになると思います。
ａｂｃとかαβγとか書き入れてありますが、幾何的証明には図の
赤い線同士が同じ長さで角度が６０°
同様に青い線同士、緑の線同士も同様になります。

実際に証明した訳ではないので、出来るとは言いませんが．．．

ベクトルでも証明は出来るのですが（まぁ、複素数と同じ？）、幾何的に証明しようとすると、一寸面倒みたいですね。
コロンブスの卵を、如何に見つけるかでしょうが．．．

習ったはずなのに、全然思い出せない…
やはり使わないと頭から消えるなぁ〜

何故（菱形の頂点が）正三角形になるのかは解決。
複素数を使えば（昔の方や最近の方なら複素平面を高校で教わっているのでしょうか）簡単でした。
三つの正三角形も同じ大きさでなくても大丈夫です。
（ただしその場合は菱形ではなく平行四辺形で！）

色々と図を描いて楽しむには恰好の問題ですね。

図の中に正三角形が多数できますね。
出来そうでなかなか出来ないから、ついつい熱中してしまいます。

542.pdf っていうのは，「出題に無理がある。」っていうのと
「お馬鹿な投稿が」っていうのと両方ですが。

さて，ではネタ明しというか，なんというか・・・
（というのも解けていないので・・・）

同じ大きさの正三角形を3つ，一つの頂点を共有するように描きます。
正三角形を（頂点の名前の付け方は左回りで）
OAB，OCD，OEFとでもしましょう。（つまり，Oが共有する頂点）
このとき，
三つの菱形OBPC，ODQE，OFRAを描けば，
PQRは正三角形（1点になることもありますが）になります。
何故でしょう？

っていう問題を考えているのですが，

この話を裏返すと，
正三角形PQRと点Oに対して，
上のような関係の3つの正三角形OAB，OCD，OEFが描けるか？
っていうことも考えてみようかと・・・

ところが上手く描けないので皆さんのお知恵拝借と思い立ったわけです。

元の話（三つの正方形が成す三つの菱形の頂点が正三角形を成す）
っていうのは皆さんご存知でしょうか？
手慰みしていれば，小学生でも気がつきそうなのですが，
寡聞にしてお目にかかったことがありません。

pdfファイルですが添付しますのでごらん下さい。

解答用の方にも書かれてたし、愚痴愚痴にも書かれてた。
手作業で投稿しなければ出来ないようにしてあるのだけど、もう少しセキュリティー強化しないといけないかなぁ…

>　それにしても、又お馬鹿な投稿が有りますね！N/Tさん！

>　それにしても、お馬鹿な投稿には困ったものです。

気付かなかった…(^_^;)
あの手のアダルト投稿は阻止するのが難しいんですよ〜

N/Tさん、こんばんは。

＞両側の２辺の長さの和が最長となる頂点
これは最大の長さを持つ辺と、正三角形の１辺が共有される場合と思います。

それにしても、お馬鹿な投稿には困ったものです。

＞最低一つ重なる（共有される）とした方が良いでしょう。
最大の面積を持つ正三角形は、必ず四角形と頂点を共有しそうです。
勿論、最低一つですが．．．

moonlightさん、お久しぶりです。

出題に無理？があるようですね。
�@内部にある最大の正三角形を描け
�A＞そうではなくて，正三角形APQの点PやQが，
　＞辺BCやCD上にあるような場合の作図法です。
上記の�@と�Aは必ずしも（殆どの場合）一致しません。
�Aの条件では三角形が四角形から飛び出すか（辺の延長上に頂点がくる）、
全く描けないか（頂点Ｃ＝Ａの対角が１２０°とか）、又描ける場合には
たった一つしか描けません（追って解答用ＢＢＳに記載予定）。
�@の場合でも、点Ａと決めないで、正三角形と四角形のそれぞれの頂点が
最低一つ重なる（共有される）とした方が良いでしょう。

�A（出題No.534）の場合のヒント：
任意の１点Ａと１直線Ｌがある場合、点Ａを頂点とし、点Ｂが直線Ｌ上に
ある正三角形の点Ｃ（残りの点）の軌跡はどうなるか考えてみましょう。

それにしても、又お馬鹿な投稿が有りますね！N/Tさん！