半円（直径ＡＢ）に円が内接しています。
円弧との接点をＣ、直径との接点をＤとした時、∠ＢＣＤは？

と言うよりは、∠ＢＣＤ＝π／４を証明せよですが、易しい問題♪

半円（黒）に内接する最大の円（青）があります。
青破線ＡＣ、ＢＤはこの円の接線です。
線分ＡＤ、ＢＣ（赤破線）及び半円と接する二つの円（赤）を描きます。

これらの円の大きさの比率はどうなりますか？

ＣＡＤで描いて導いても良いですが．．．

尚、これは群馬と長野の県境にある熊野神社の算額です。

ＧＷなので解く時間は少ないでしょう・・・そこで易しい問題。
�凾`ＢＣと内心Ｉがあり、Ｐ、Ｑ、Ｒは内接円と三角形との接点です。

ＣＩの延長とＱＲとの交点をＳとした時、図の角αとβの比率は？

GoGeometry からのパクリ（少し変形）です。

添付図の矢印のように線を引くと、二つの赤枠三角形は合同になる。

これを証明しても、Q1055の証明は面倒くさいのですが．．．

＞格好良く証明して下さい。
数式を使わないで、図形的に証明して下さいと言う意味です。
Q1049のN/Tさんの解答のように．．．

と書きましたが、なかなか綺麗な証明が出来ていない。
幾つか図形を描いても、結局説明文が長くなってしまう（2010/04/21現在）。

No.1049の応用問題２で、Q1053よりちょっと難しい問題です。
図は、折り紙の頂点が辺に重なるように折ったイメージ。
この右上の三角形の内接円の径が、左上の三角形の一辺（図示）の長さが等しい。

格好良く証明して下さい。

読んでも良く判らないですが、要するに各円の比率を求めよと言う事らしい。

まぁ、易しい問題ですかね（読み違えてなければ）

No.1049の答えが出たところで、まず易しい問題。
正方形の中に同じ径の円が５つあります。

定規とコンパスで作図して下さい。

尚、空色の線はそれぞれ直交しています。

図のように１／４円の円周上と辺上に、それぞれ点Ａ、Ｂがあります。
それぞれの点で円又は辺に接する、図のような内接円を描け。

点Ａの方は簡単ですが、点Ｂは少し考えました。

直角三角形と内接円があります。
この円の直径Ｒと、各辺の長さa、b、cとの間に：
a+b-c＝Rの関係があるのは有名（？）

式で解くと簡単なんですが、なんとか図形で説明出来ませんか？

定規とコンパスで描いて下さい。
今回は「図形的」と言う条件は外します（まだ見つかってない！）。

青円の径は同じで、図のように接しています。

1046.gc4
GCを使った図です、参考迄。
２点Ａ、Ｂは固定、Ｃ、Ｄは動かせます。又、点Ｑは点Ｐに連動します（単独では動かせません）。
このGCデータをどうやって作ったか解析すると、図解証明のヒントになるかも．．．

易しい問題：Go Geometry からのパクリです。
任意の四角形ＡＢＣＤがあり、２点Ｐ、Ｑが夫々辺ＤＡ、ＢＣ上にあります。
ＰとＱの関係は、ＡＰ：ＰＤ＝ＣＱ：ＱＢです。
この時の面積が�凾aＰＣ＝�凾aＡＱ＋�凾bＤＱとなる事を証明して下さい。

勿論、図形的に！

定規とコンパスで描けますか？

黒線の三角形は正三角形、４つの青○は同径で、黒線、空色線に接しています。

答：描けない・・・これは無し！

赤点で示した角度は１５度です。
三角関数などを使うと易し過ぎますので、図形的に解いて下さい。

「図形的」でも易し過ぎるか．．．

図のように�凾`ＢＣの内部に正方形ＭＰＱＲが３点Ｐ、Ｑ、Ｒで
接しており、点Ｍは辺ＢＣの中点です。
算数オリンピックではこの正方形の面積を求めよとしています。

しかし、本音のＣＡＤ・ＣＡＭですので、当然作図問題に変更！

即ち、このような三角形と正方形を作図せよ。

作図してみると判りますが、条件である長さ：７、６、９、２と
Ｍ（中点）は条件が一つ多いようです。

言い換えると、例えば４つの長さが決まると、必ず中点を通る！
又、７、９、２、中点と指定すると長さ２が決まってしまう！

数学オリンピックだと、中点という条件は外されるかも．．．

今回は「早とちり」ミスの無いことを祈りつつ・・・

あっそうそう、時間があれば正方形ＭＰＱＲの面積も求めてみて下さい。
ＣＡＤで求めても良いですけど．．．

�凾`ＢＣがあり、その内心をＩとします。
�凾aＣＩの外心をＪとした時、３点Ａ、Ｉ、Ｊは同一直線上にある事を証明せよ。

※これはＩＭＯの問題を一部抜粋＆変形したものです。易しくなり過ぎ？
元の出題文は↓・・・こちらを解いても良いですよ。

Let ABC be a triangle with incentre I. A point P in the interior of the
triangle satisfies
∠PBA + ∠PCA = ∠PBC + ∠PCB.
Show that AP ≧ AI, and that equality holds if and only if P = I.

添付図はある立体の展開図で、�@、�Aは正三角形、�Aの面積は�@の４倍、
�Bは等脚台形、�Cは正方形です。
正方形の面積が７２ｃ�uのとき、立体の体積は？

しかし、展開図がおかしくありませんか？（広い意味では展開図ですが）

そこで小生からの問題。
立体の三面図＋アイソメを作成して下さい＆展開図修正！

三面図では、�Aを底面とし、向きは展開図と同じとする！
勿論、体積も求めて下さい。

点Ａと線分ＢＣが与えられている。１辺がＡを通り、他辺が線分ＢＣと交わる
直角の頂点の空間での軌跡を求めよ。

※何とも判り難い出題ですが、原文を参考にして題意を読み取って下さい。
　ＩＭＯの問題を見ていると、題意を汲み取る能力も求められているらしい！
　理解し易いように「意訳」しようすると、解答手順をばらしそうです。

※三面図＆アイソメで上手く表示出来れば「Gold Medal」でしょう！
（数式で示しても「本音のＣＡＤ・ＣＡＭ」的に面白くない問題です。）
（と言うか、どうやって表すのかなぁ・・・これが本音！）

※＃５と合わせ、これで三連休が潰れるかな？

（原文）
Point A and segment BC are given. Determine the locus of points in space
which are vertices of right angles with one side passing through A; and the
other side intersecting the segment BC.

No.1030のように変形したのは間違いだったようです。
或る意味「復元」出来るのですが．．．

矢張りNo.1029の条件で、三角形を描く事、但し描けない場合の条件を明記せよとした方が正しいでしょうね。ＩＭＯ的には．．．

以下のように変形してみました（題意が似ているか否か不安）。
即ち、�凾`ＢＣでＡ、Ｂから対辺に垂線を下ろし、それぞれha、hbとする。
またＡからの中線をmaとし、元の三角形を消去。
ha、hb、maの長さだけを残して、元の三角形を復元せよ！

これは普通の図形問題です。挑戦して下さい。

ＩＭＯの問題では、三角形が存在しない場合も説明する？
垂線が三角形の「内部に存在」と言う条件を付けると、結構説明が面倒かな？？？

※これはちょっと題意が読み取れないのですが．．．
�凾`ＢＣのＡからの垂線ha、Ｂからの垂線hb、及びＡからの中線maがある時、�凾`ＢＣを作図せよ。

これで良い？？？ ---> uinさん、上手く（正しい）日本語にして下さい。

（原文）
Construct triangle ABC; given ha; hb (the altitudes from A and B) and ma,
the median from vertex A.

正三角形ＡＢＣに於いて、辺ＢＣ上に点A1、A2、辺ＣＡ上に点B1、B2、辺ＡＢ上にC1、C2をとります。
この６点は凸六辺形A1A2B1B2C1C2の頂点であり、これらの辺の長さは等しい（注：正六角形ではない）。

直線A1B2、B1C2、C1A2は一点で交わる事を証明せよ。

※図形的に解いて下さい。

これはIMO2005からの引用ですが、図形絡みの問題は当時は易しかった？？？
それとも原文の翻訳ミス？？？

添付図青線のように、平行な二線とその線上に端点を持つ線分があります。
この線分を対角線とする等脚台形は無限に描けますが、内接円を持つものは？

定規とコンパスで作図して下さい。

２Ｄで描けることは描けるのは判明（奥歯に何か挟まっている？）。

但し、内接円がある等脚台形が「必ずしも」描けるとは言えないようですが．．．
翻訳ミスがあるのか？　ご指摘下さい。

「立体作図問題？」としましたが、まだ手掛かりが掴めていません。
小生が描こうとしている基本図を掲載します（全く参考にならないと思いますが）。

＞うーん今いち問題の意味が掴めない…
原文を見て判る通り、情報はこれだけです。ここから意味を読み取る能力も問われる？？？
直角三角形と言うところから、斜辺への中線とは直角となる頂点からでしょう。

幾何（相乗）平均は、ヤホーなどで調べられますよ。
算術（相加）平均や調和平均等と合わせ、小生の時代は中学校で習いました。

尚、Q1020は三角関数を使うと馬鹿みたいに簡単です。
是非、図形的に解いて下さい。

注）小生の英文解釈に間違いがない場合に限る！！！

うーん今いち問題の意味が掴めない…
斜辺ｃへの中線の長さとありますがどっからの長さなんでしょうか？
そもそも幾何（相乗）平均とか初耳なんで僕には解けなさそう。

直線ｐで交わっている二つの平面Ｐ、Ｑがある。
平面Ｐ上に点Ａ、Ｑ上に点Ｃがあり、これらは直線ｐ上にはない。
この時、ＡＢ//ＣＤで内接円を有する等脚台形を描け。
但し、頂点Ｂ、Ｄは夫々平面Ｐ、Ｑ上にあるものとする。

原文：
Two planes, P and Q; intersect along the line p: The point A is given in the
plane P; and the point C in the plane Q; neither of these points lies on the
straight line p: Construct an isosceles trapezoid ABCD (with AB parallel to
CD) in which a circle can be inscribed, and with vertices B and D lying in
the planes P and Q respectively.

斜辺ｃへの中線の長さが、他の２辺ａ、ｂの幾何（相乗）平均となる直角三角形を描け。

※これは原文を正しく訳しているか不安あり・・・文句を加えたりしています。
Construct a right triangle with given hypotenuse c such that the median
drawn to the hypotenuse is the geometric mean of the two legs of the triangle.

Ａを頂点とする二等辺三角形と、その平面上に１点Ｐがあります。

∠ＡＰＢ＝∠ＡＰＣとなるような点Ｐの軌跡は？

昔出した問題だったかも知れませんが．．．

間接的に Q1015(a)、(b) に繋がる問題です（Q1015 の条件を参照下さい）。

点Ｍが線分ＡＢ間を動く時、点Ｎの軌跡はどうなりますか？

この解 and/or 証明過程を応用すれば、Q1015(a)、(b) は証明出来る筈です。

uinさんから「偉い簡単な気がする…」とお叱りを受けそうですが．．．

錯角の等しい二本の直線a、b は（互いに？）平行である事を証明せよ。

たまにはこんな問題も良いでしょう♪

線分ＡＢ上に任意の点Ｍを取り、線分ＡＭ、ＢＭを一辺とする正方形ＡＭＣＤと
ＭＢＥＦを、線分ＡＢに対して同じ側に作る。
これらの正方形の外接円（中心Ｐ、Ｑ）のＭ以外の交点をＮとする。
直線ＡＦとＢＣの交点をＮ'とした時：
(a) ＮとＮ'は同一であることを証明せよ
(b) 直線ＭＮは、Ｍの位置に関わらず定点Ｓを通る事を証明せよ
(c) ＭがＡＢ間で位置を変える時、線分ＰＱの中点の軌跡を求めよ

☆出来るだけ「図形クイズ」として解いて下さいね！

尚、原文を下記しますので、誤訳や曖昧な所があれば指摘して下さい。

An arbitrary point M is selected in the interior of the segment AB: The
squares AMCD and MBEF are constructed on the same side of AB; with
the segments AM and MB as their respective bases. The circles circumscribed
about these squares, with centers P and Q; intersect at M and also
at another point N: Let N' denote the point of intersection of the straight
lines AF and BC:
(a) Prove that the points N and N' coincide.
(b) Prove that the straight lines MN pass through a fixed point S independent
of the choice of M:
(c) Find the locus of the midpoints of the segments PQ as M varies between
A and B:
（出典：http://www.imo-official.org/problems.aspx）

大分変形してありますが．．．

長方形ＡＢＣＤとＡＤを直径とする円（弧）があります。
点Ｅは辺ＡＢ上の点で、ＣＥはこの円と接しています。

�凾aＣＥの面積が長方形の１／６、ＡＢ＝１の時、ＢＣの長さは？

正四面体ＡＢＣＤがあり、４頂点を通る球の中心をＰとする。
（添付図の二点鎖線が球のイメージ）

この正四面体を次の三つの平面で順に切る。
�@２辺ＢＣ、ＡＤに平行で点Ｐを通る平面
�A２辺ＣＡ、ＢＤに平行で点Ｐを通る平面
�B２辺ＡＢ、ＣＤに平行で点Ｐを通る平面
この時、正四面体は複数の立体に分かれますが、点Ａを含む
立体の三面図とアイソメ（等角投影）図を描きなさい。

JJMOでは、１辺の長さを１として、この立体の体積を求める問題。

本音のＣＡＤ・ＣＡＭらしく作図問題に変更しました♪
図面から体積を求めて見ましょう。

しかし、昼休みに見付けた問題、殆どその儘なので易し過ぎたか！

円に外接、内接する五角形があり、内接する五角形の頂点から、辺に垂直な線を
引いて小さな五角形を作ります（図から判ると思います）。

この時、a^2＝b^2＋c^2 となりますが、これを証明せよ！

六角形、七角形・・・でも成り立ちますので、五角形の特性を使わないで。
と言う事は、ｎ角形の一般解で証明できれば最高ですね。

当然ながら、図形での証明がウルトラ・スーパー・ベストです。

実は今日の昼休みの馬鹿話から．．．

・ナポレオンはイタリア遠征の時、赤いサスペンダー（ズボン吊り）をしていましたが、
・それは何故でしょうか？

若い子の正解率の低さにビックリした次第！
勿論、お判りの通り「図形問題」ではありません（言うだけ野暮か！）
答えを知っている人は、遅めに（？）解答を出して下さい。

添付図の二つの三角形で、a=a、b=b、α=α（記号から見て当然ですが）。
ここでｂ≧ａであればこれらの三角形は合同です。

これを証明すれば、Q1006が解ける筈です。

と言う事で、補助問題としてみました。

�凾`ＢＣの∠Ｂ、∠Ｃの二等分線を描き、図のようにＤ、Ｅとします。
この時、ＡＤ＝ＢＥならば�凾`ＢＣはＣを頂点とする二等辺三角形！

角の二等分線でなく、垂線だと超簡単ですね。

Gogeometry Problem 427そのままですが、図形で解いて下さい。
そのためにＧｇの図を、解き易いように変えてみました。
即ち、�@の長方形と�Aの長方形の合計面積と、�Bの正方形の面積が等しい事の証明です。
長方形や正方形の辺の長さは、図を見て貰えれば判ると思います。

簡単な問題ですので、出来るだけエレガントに解いて下さい。

No.1003の図を参照下さい。
任意の�凾`ＢＣにおいて、ＡＤ＋ＡＥ＝ＢＣとなるような円を描け！

尚、No.1003の図は、ＣＡＤでこの条件を満たすように描かれています。

面白い問題ですね。
判り易いように、図を掲載しておきます。
Ａ、Ｂ・・・の場所はuinさんの意図と違うかもしれませんが．．．

三角形ＡＢＣがある。点Ｂ，Ｃを通る円Ｏが、線分ＡＢ，ＡＣ（端点
を含まない）とそれぞれ点Ｄ，Ｅで交わっており，ＡＤ＋ＡＥ＝ＢＣが成
り立っている。三角形ＡＢＣの内心をＩとし，直線ＢＩ，ＣＩが円Ｏと交
わるＢ，Ｃ以外の点をそれぞれＰ，Ｑとするとき，Ａ，Ｉ，Ｐ，Ｑは同一
円周上にあることを示せ。

完全に数学オリンピックジュニア本戦からのパクリです。
すでに解いてるかもしれませんが一応紹介しときます。

＞ＡＢ／ＡＤ＝χの間違いですかね
uinさん、ご指摘の通り、出題でもＡＣ／ＡＤでなく、ＡＢ／ＡＤのミスでした。
出題図は訂正しておきます。

ＡＣ／ＡＤ＝χとした時
尚、Gogeometryでは、χ＝１（限定）となっています。
とありますが
もとの問題ではABCDは正方形なのでＡＣ／ＡＤ＝√2のはずです
ＡＢ／ＡＤ＝χの間違いですかね

Gogeometryからパクッテ、修正を加えました。

長方形ＡＢＣＤとＡＣを半径とする円があります。
円周上に点Ｅ、Ｆを取り、Ｅは線分ＡＢの延長上に有り（即ち、ＡＥ＝ＡＣ）、
∠ＥＤＣ＝∠ＦＤＣ。
ＡＢ／ＡＤ＝χとした時、ＤＦ／ＤＥをχで表して下さい。
（ＡＣ／ＡＤを修正）

尚、Gogeometryでは、χ＝１（限定）となっています。

このように一般化すると、図形での説明は難しいかなぁ？

解答用BBSの方に解答しました。

ヒツジのほうは丸い檻に入れられています。
３本の線を引いて十匹を別々の檻に入れてください。

＃２、＃３の関連で、まだ図形での解答に挑戦中です。
と言う事で、中間的（？）と思われる問題を先ず解いてみましょう・・・と言う問題。

任意の�凾`ＢＣの内心Ｉから辺ＡＢに垂線を下ろし、その足をＤとします。
ここまでは前の問題と同じ。
次にＣとＤを結び、夫々の�凾`ＤＣと�凾cＢＣの内心をＪ、Ｋとすると・・・

ＣＤ⊥ＪＫを証明せよ。
言い換えれば、�凾`ＤＣと�凾cＢＣの内接円は接する！