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No.1028 IMOより#4  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/15(Mon) 12:17  
正三角形ABCに於いて、辺BC上に点A1、A2、辺CA上に点B1、B2、辺AB上にC1、C2をとります。
この6点は凸六辺形A1A2B1B2C1C2の頂点であり、これらの辺の長さは等しい(注:正六角形ではない)。

直線A1B2、B1C2、C1A2は一点で交わる事を証明せよ。

※図形的に解いて下さい。

これはIMO2005からの引用ですが、図形絡みの問題は当時は易しかった???
それとも原文の翻訳ミス???

No.1027 関連作図問題(IMOより#3)  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/14(Sun) 18:09  

添付図青線のように、平行な二線とその線上に端点を持つ線分があります。
この線分を対角線とする等脚台形は無限に描けますが、内接円を持つものは?

定規とコンパスで作図して下さい。

No.1026 Q1021:追記の追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/14(Sun) 08:30  
2Dで描けることは描けるのは判明(奥歯に何か挟まっている?)。

但し、内接円がある等脚台形が「必ずしも」描けるとは言えないようですが...
翻訳ミスがあるのか? ご指摘下さい。

No.1024 Q1021:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/13(Sat) 19:28  

「立体作図問題?」としましたが、まだ手掛かりが掴めていません。
小生が描こうとしている基本図を掲載します(全く参考にならないと思いますが)。

No.1023 Re:No.1022 無題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/13(Sat) 14:42  
>うーん今いち問題の意味が掴めない…
原文を見て判る通り、情報はこれだけです。ここから意味を読み取る能力も問われる???
直角三角形と言うところから、斜辺への中線とは直角となる頂点からでしょう。

幾何(相乗)平均は、ヤホーなどで調べられますよ。
算術(相加)平均や調和平均等と合わせ、小生の時代は中学校で習いました。

尚、Q1020は三角関数を使うと馬鹿みたいに簡単です。
是非、図形的に解いて下さい。

注)小生の英文解釈に間違いがない場合に限る!!!

No.1022 無題  投稿者:uin 投稿日:2010/03/13(Sat) 13:57  
うーん今いち問題の意味が掴めない…
斜辺cへの中線の長さとありますがどっからの長さなんでしょうか?
そもそも幾何(相乗)平均とか初耳なんで僕には解けなさそう。

No.1021 IMOより#3・・・立体作図問題?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/13(Sat) 11:51  
直線pで交わっている二つの平面P、Qがある。
平面P上に点A、Q上に点Cがあり、これらは直線p上にはない。
この時、AB//CDで内接円を有する等脚台形を描け。
但し、頂点B、Dは夫々平面P、Q上にあるものとする。

原文:
Two planes, P and Q; intersect along the line p: The point A is given in the
plane P; and the point C in the plane Q; neither of these points lies on the
straight line p: Construct an isosceles trapezoid ABCD (with AB parallel to
CD) in which a circle can be inscribed, and with vertices B and D lying in
the planes P and Q respectively.

No.1020 IMOより#2・・・作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/13(Sat) 11:48  
斜辺cへの中線の長さが、他の2辺a、bの幾何(相乗)平均となる直角三角形を描け。

※これは原文を正しく訳しているか不安あり・・・文句を加えたりしています。
Construct a right triangle with given hypotenuse c such that the median
drawn to the hypotenuse is the geometric mean of the two legs of the triangle.

No.1019 IMOとは無関係な軌跡問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/12(Fri) 18:45  
Aを頂点とする二等辺三角形と、その平面上に1点Pがあります。

∠APB=∠APCとなるような点Pの軌跡は?

昔出した問題だったかも知れませんが...

No.1018 軌跡の問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/12(Fri) 18:30  
間接的に Q1015(a)、(b) に繋がる問題です(Q1015 の条件を参照下さい)。

点Mが線分AB間を動く時、点Nの軌跡はどうなりますか?

この解 and/or 証明過程を応用すれば、Q1015(a)、(b) は証明出来る筈です。

No.1016 簡単な問題#1  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/11(Thu) 18:56  

uinさんから「偉い簡単な気がする…」とお叱りを受けそうですが...

錯角の等しい二本の直線a、b は(互いに?)平行である事を証明せよ。

たまにはこんな問題も良いでしょう♪

No.1015 IMOより#1  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/11(Thu) 18:18  
線分AB上に任意の点Mを取り、線分AM、BMを一辺とする正方形AMCDと
MBEFを、線分ABに対して同じ側に作る。
これらの正方形の外接円(中心P、Q)のM以外の交点をNとする。
直線AFとBCの交点をN'とした時:
(a) NとN'は同一であることを証明せよ
(b) 直線MNは、Mの位置に関わらず定点Sを通る事を証明せよ
(c) MがAB間で位置を変える時、線分PQの中点の軌跡を求めよ

☆出来るだけ「図形クイズ」として解いて下さいね!

尚、原文を下記しますので、誤訳や曖昧な所があれば指摘して下さい。

An arbitrary point M is selected in the interior of the segment AB: The
squares AMCD and MBEF are constructed on the same side of AB; with
the segments AM and MB as their respective bases. The circles circumscribed
about these squares, with centers P and Q; intersect at M and also
at another point N: Let N' denote the point of intersection of the straight
lines AF and BC:
(a) Prove that the points N and N' coincide.
(b) Prove that the straight lines MN pass through a fixed point S independent
of the choice of M:
(c) Find the locus of the midpoints of the segments PQ as M varies between
A and B:
(出典:http://www.imo-official.org/problems.aspx

No.1013 JJMOより#2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/10(Wed) 19:08  

大分変形してありますが...

長方形ABCDとADを直径とする円(弧)があります。
点Eは辺AB上の点で、CEはこの円と接しています。

凾aCEの面積が長方形の1/6、AB=1の時、BCの長さは?

No.1012 JJMOより#1  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/09(Tue) 12:45  

正四面体ABCDがあり、4頂点を通る球の中心をPとする。
(添付図の二点鎖線が球のイメージ)

この正四面体を次の三つの平面で順に切る。
@2辺BC、ADに平行で点Pを通る平面
A2辺CA、BDに平行で点Pを通る平面
B2辺AB、CDに平行で点Pを通る平面
この時、正四面体は複数の立体に分かれますが、点Aを含む
立体の三面図とアイソメ(等角投影)図を描きなさい。

JJMOでは、1辺の長さを1として、この立体の体積を求める問題。

本音のCAD・CAMらしく作図問題に変更しました♪
図面から体積を求めて見ましょう。

しかし、昼休みに見付けた問題、殆どその儘なので易し過ぎたか!

No.1011 五角形(完全パクリ)  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/07(Sun) 21:28  

円に外接、内接する五角形があり、内接する五角形の頂点から、辺に垂直な線を
引いて小さな五角形を作ります(図から判ると思います)。

この時、a^2=b^2+c^2 となりますが、これを証明せよ!

六角形、七角形・・・でも成り立ちますので、五角形の特性を使わないで。
と言う事は、n角形の一般解で証明できれば最高ですね。

当然ながら、図形での証明がウルトラ・スーパー・ベストです。

No.1009 息抜き=謎々  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/05(Fri) 21:21  
実は今日の昼休みの馬鹿話から...

・ナポレオンはイタリア遠征の時、赤いサスペンダー(ズボン吊り)をしていましたが、
・それは何故でしょうか?

若い子の正解率の低さにビックリした次第!
勿論、お判りの通り「図形問題」ではありません(言うだけ野暮か!)
答えを知っている人は、遅めに(?)解答を出して下さい。

No.1008 Q1006の為に...  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/05(Fri) 07:47  

添付図の二つの三角形で、a=a、b=b、α=α(記号から見て当然ですが)。
ここでb≧aであればこれらの三角形は合同です。

これを証明すれば、Q1006が解ける筈です。

と言う事で、補助問題としてみました。

No.1006 証明して下さい  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/03(Wed) 12:30  

凾`BCの∠B、∠Cの二等分線を描き、図のようにD、Eとします。
この時、AD=BEならば凾`BCはCを頂点とする二等辺三角形!

角の二等分線でなく、垂線だと超簡単ですね。

No.1005 小生もパクリで  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/02(Tue) 18:34  

Gogeometry Problem 427そのままですが、図形で解いて下さい。
そのためにGgの図を、解き易いように変えてみました。
即ち、@の長方形とAの長方形の合計面積と、Bの正方形の面積が等しい事の証明です。
長方形や正方形の辺の長さは、図を見て貰えれば判ると思います。

簡単な問題ですので、出来るだけエレガントに解いて下さい。

No.1004 作図問題Q1002  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/02(Tue) 18:28  
No.1003の図を参照下さい。
任意の凾`BCにおいて、AD+AE=BCとなるような円を描け!

尚、No.1003の図は、CADでこの条件を満たすように描かれています。

No.1003 Re:No.1002 たまには自分も問題出してみますか  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/02(Tue) 18:25  

面白い問題ですね。
判り易いように、図を掲載しておきます。
A、B・・・の場所はuinさんの意図と違うかもしれませんが...

No.1002 たまには自分も問題出してみますか  投稿者:uin 投稿日:2010/03/02(Tue) 17:27  
三角形ABCがある。点B,Cを通る円Oが、線分AB,AC(端点
を含まない)とそれぞれ点D,Eで交わっており,AD+AE=BCが成
り立っている。三角形ABCの内心をIとし,直線BI,CIが円Oと交
わるB,C以外の点をそれぞれP,Qとするとき,A,I,P,Qは同一
円周上にあることを示せ。

完全に数学オリンピックジュニア本戦からのパクリです。
すでに解いてるかもしれませんが一応紹介しときます。

No.1001 Re:No.1000 出題ミスですかね?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/28(Sun) 18:56  
>AB/AD=χの間違いですかね
uinさん、ご指摘の通り、出題でもAC/ADでなく、AB/ADのミスでした。
出題図は訂正しておきます。

No.1000 出題ミスですかね?  投稿者:uin 投稿日:2010/02/28(Sun) 17:53  
AC/AD=χとした時
尚、Gogeometryでは、χ=1(限定)となっています。
とありますが
もとの問題ではABCDは正方形なのでAC/AD=√2のはずです
AB/AD=χの間違いですかね

No.999 比率問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/28(Sun) 15:17  

Gogeometryからパクッテ、修正を加えました。

長方形ABCDとACを半径とする円があります。
円周上に点E、Fを取り、Eは線分ABの延長上に有り(即ち、AE=AC)、
∠EDC=∠FDC。
AB/AD=χとした時、DF/DEをχで表して下さい。
(AC/ADを修正)

尚、Gogeometryでは、χ=1(限定)となっています。

このように一般化すると、図形での説明は難しいかなぁ?

No.997 re:996  投稿者:N/T 投稿日:2010/02/27(Sat) 17:30  
解答用BBSの方に解答しました。
No.996 ひつじ  投稿者:mn 投稿日:2010/02/26(Fri) 21:30  
ヒツジのほうは丸い檻に入れられています。
3本の線を引いて十匹を別々の檻に入れてください。

No.992 似たような問題#4  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/19(Fri) 19:17  

#2、#3の関連で、まだ図形での解答に挑戦中です。
と言う事で、中間的(?)と思われる問題を先ず解いてみましょう・・・と言う問題。

任意の凾`BCの内心Iから辺ABに垂線を下ろし、その足をDとします。
ここまでは前の問題と同じ。
次にCとDを結び、夫々の凾`DCと凾cBCの内心をJ、Kとすると・・・

CD⊥JKを証明せよ。
言い換えれば、凾`DCと凾cBCの内接円は接する!

No.991 正方形と正三角形  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/16(Tue) 12:34  

出題者自身が「図形での解答」がまだ浮かばない問題が続いたので、一気に易しい作図問題。
正方形の辺上に1点が与えられている時、この正方形に内接する正三角形を描いて下さい。
別に正方形でなくても良いのですが...

与えられた点が辺の中点だったり、頂点だった場合は超簡単ですが...

No.990 これで解けるかもしれない問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/15(Mon) 12:21  

「No.987 似たような問題#3」が、この方法から図解で解けるかも...
添付図は少しややこしいですが、作図手順は下記の通りです。
任意の三角形ABCの頂点CからABに垂線を下ろし、その足をDとします。
Dを通り、直行する任意の2線を引き、BC、CAとの交点をそれぞれE、F。
次に@辺ABをCAに対して反転(ヤジロベエみたいなマークは、丸で囲んだ線で反転の意味)。
A同様にBCに対して反転、
B同様にDF(DE)に対して反転し、更にそれをEFに対して反転。
この赤い破線が1点で交わる事が証明出来れば、この一連の問題が解けます。

尚、∠C(∠BCA)がπ/2の時は、@、A、Bは平行になり、交点無し。
添付図では∠Cを鈍角で描いていますが、鋭角の時、交点は辺ABの下になります。

No.987 似たような問題#3  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/12(Fri) 17:24  

Download:987.gc4 987.gc4
No.967 似たような問題#2の拡張です。
三角形の内心Iから垂線を下ろし、その足Dを通る任意の線を描きます。
添付GCのように、それぞれ内接する円を描き、もう一つの共通内接線が頂点Cを通る。
この問題(もしくは前のNo.967)が解ければ、No.965 似たような問題は図形で証明出来るのですが...

No.985 長方形を作る  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/10(Wed) 12:43  

これは「No.984 正方形を作る」の拡張版です。
赤線と青線の説明は前と同じですが、添付図の緑の長方形と相似の長方形を
作図せよ・・・これが解ければ「No.984」も解けますね。

No.984 正方形を作る  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/08(Mon) 09:10  

任意の四辺形の頂点を通り、互いに直行する線を引きます。
添付図の青線や赤線のように、ここに色々な長方形が出来ますが、
その中で正方形になる線を作図せよと言う問題。

前に出題したかなぁ?

No.983 Re:No.982 等しい仰角  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/06(Sat) 19:07  
考えてみれば(考えるまでもなく?)、解が存在しない事もありますね。
解ける場合を想定して(?)点を求めて下さい。

言うなれば「欠陥問題」でした。

No.982 等しい仰角  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/06(Sat) 18:41  

或る草原に高さの異なる煙突が3本立っています。
この3本の煙突の高さが等しく見える場所は?
即ち、3本の煙突のトップの仰角が等しくなる点は?

二次元作図で求められます。

No.978 Re:No.974 円錐  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/03(Wed) 07:56  
要するに、適当な円(底面)を描き、適当な扇型を描いた時、扇型の半径と角度を「定規とコンパスで作図せよ」と言う事ですね。

上記の作図問題と言う事か否か、takkunnさんの確認を得てから解答したいと思います。

尚、扇型の半径でなく、円錐の高さが与えられているとしても同じですね。

No.977 re:円錐  投稿者:N/T 投稿日:2010/02/02(Tue) 23:39  
底面の半径:斜辺長=扇形の中心角:360゜
ですが、既知の比率で2・3・4・6あたりなら簡単ですが
それ以外だとやはり近似になるんじゃないかなぁ???

No.976 re:円錐  投稿者:N/T 投稿日:2010/02/02(Tue) 23:26  
ん〜
私では少し時間がかかりそう…
FUKUCHANさんなら回答が速いかも???

No.974 円錐  投稿者:takkun 投稿日:2010/02/02(Tue) 18:51  
宿題なんですが「コンパスと定規を用いて、円錐の展開図を作図してみよう!」ただし長さを測ってはいけません、角度を測ってはいけません。というような感じの問題なのですが・・・・・。ご教授頂けると有り難いです。
No.973 re:教えて下さい  投稿者:N/T 投稿日:2010/02/02(Tue) 18:23  
どういう円錐を描きたいのでしょうか?
斜め上から見た図だと、楕円が含まれますからコンパスでの作図は
近似的なものになります。

No.972 教えて下さい  投稿者:takkun 投稿日:2010/02/02(Tue) 16:45  
定規とコンパスで円錐を作図する方法を教えて頂けませんでしょうか?長さと角度は計らずに・・・・、宜しくお願いします。
No.971 平行四辺形  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/01(Mon) 07:46  

図の説明が少しややこしいのですが...
任意の線(折れ線?)ABCDに於いて、AB、BC、CDを使って、
正三角形ABE、BCF、CDGを作ります。
次にこのE、Gを使って正三角形EGHを作ると・・・

四辺形AHDFが平行四辺形となる事を示して下さい。

正三角形の向きによっては×ですが。

No.968 No.967:補足  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/29(Fri) 08:16  

Download:968.gc4 968.gc4 問題図のGC化です。

点Aを動かしてみて下さい。

No.967 似たような問題#2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/29(Fri) 08:14  

任意の凾`BCで、内心Pから垂線を下ろし、その足をD、Eとします。
線分DEを使って、図のように二つの内接円を描きます。
この時、DE以外の共通内接線は、点Aを通る事を証明して下さい。

No.964、965を色々いじっていて見つけました。

No.966 正三角形  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/28(Thu) 18:50  

何か怪しげな問題が続いたので、今度は易しい問題です。

正三角形ABCと外接円があり、その円上に点Dを取り凾`BDを作ります。
AD、BD上に任意の点P、Qを取り、図のように3つの正三角形を作ると・・・
点C、D、E、F、Gが同一線上にあることを示して下さい。

No.965 似たような問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/28(Thu) 12:41  

Q964は難しいので(上手く描けるか???)、似たような問題です。
図のような二等辺三角形で、円O、Pが同半径となる場合、
AB:BCの比率はどうなりますか?

このような(円O≡P)の図形を作図して下さい。

No.964 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/25(Mon) 17:40  

図のように凾`BCの2辺に内接する「同半径」の円があります。
この円の共通接線が頂点Aを通るようにするって、描ける?

因みに、添付図は定規とコンパスで作図してあります。
(CADの特殊機能は使っていません)
何故か?・・・後から三角形を作ったから♪

No.963 実はパクリですが...  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/23(Sat) 19:21  

Download:963.gc4 963.gc4 凾`BCは直角二等辺三角形。
凾`BDはABを斜辺とする直角三角形。
AD=DEの時、青い正方形の面積+水色の正方形の面積が、
赤い正方形の面積に等しい事を証明して下さい。

点Dは色々動かして遊べます。

小さくて見ずらい場合、ウィンドウ拡大⇒F3キー(2倍ズーム)にて!

No.962 息抜き其の弐:またも三手詰め  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/23(Sat) 09:00  

N/Tさんに簡単に答えられてしまったので別問題。
持ち駒は飛車です。
王様が二つあるので注意して下さい。

これは結構有名な詰将棋です(大道詰将棋の一種)♪

No.959 息抜き:三手詰め  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/22(Fri) 17:43  

易しいか横道に入り込むか・・・気付くか否かですかね!
もちろん、持ち駒はありません。


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