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No.1006 証明して下さい  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/03(Wed) 12:30  

凾`BCの∠B、∠Cの二等分線を描き、図のようにD、Eとします。
この時、AD=BEならば凾`BCはCを頂点とする二等辺三角形!

角の二等分線でなく、垂線だと超簡単ですね。

No.1005 小生もパクリで  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/02(Tue) 18:34  

Gogeometry Problem 427そのままですが、図形で解いて下さい。
そのためにGgの図を、解き易いように変えてみました。
即ち、@の長方形とAの長方形の合計面積と、Bの正方形の面積が等しい事の証明です。
長方形や正方形の辺の長さは、図を見て貰えれば判ると思います。

簡単な問題ですので、出来るだけエレガントに解いて下さい。

No.1004 作図問題Q1002  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/02(Tue) 18:28  
No.1003の図を参照下さい。
任意の凾`BCにおいて、AD+AE=BCとなるような円を描け!

尚、No.1003の図は、CADでこの条件を満たすように描かれています。

No.1003 Re:No.1002 たまには自分も問題出してみますか  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/03/02(Tue) 18:25  

面白い問題ですね。
判り易いように、図を掲載しておきます。
A、B・・・の場所はuinさんの意図と違うかもしれませんが...

No.1002 たまには自分も問題出してみますか  投稿者:uin 投稿日:2010/03/02(Tue) 17:27  
三角形ABCがある。点B,Cを通る円Oが、線分AB,AC(端点
を含まない)とそれぞれ点D,Eで交わっており,AD+AE=BCが成
り立っている。三角形ABCの内心をIとし,直線BI,CIが円Oと交
わるB,C以外の点をそれぞれP,Qとするとき,A,I,P,Qは同一
円周上にあることを示せ。

完全に数学オリンピックジュニア本戦からのパクリです。
すでに解いてるかもしれませんが一応紹介しときます。

No.1001 Re:No.1000 出題ミスですかね?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/28(Sun) 18:56  
>AB/AD=χの間違いですかね
uinさん、ご指摘の通り、出題でもAC/ADでなく、AB/ADのミスでした。
出題図は訂正しておきます。

No.1000 出題ミスですかね?  投稿者:uin 投稿日:2010/02/28(Sun) 17:53  
AC/AD=χとした時
尚、Gogeometryでは、χ=1(限定)となっています。
とありますが
もとの問題ではABCDは正方形なのでAC/AD=√2のはずです
AB/AD=χの間違いですかね

No.999 比率問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/28(Sun) 15:17  

Gogeometryからパクッテ、修正を加えました。

長方形ABCDとACを半径とする円があります。
円周上に点E、Fを取り、Eは線分ABの延長上に有り(即ち、AE=AC)、
∠EDC=∠FDC。
AB/AD=χとした時、DF/DEをχで表して下さい。
(AC/ADを修正)

尚、Gogeometryでは、χ=1(限定)となっています。

このように一般化すると、図形での説明は難しいかなぁ?

No.997 re:996  投稿者:N/T 投稿日:2010/02/27(Sat) 17:30  
解答用BBSの方に解答しました。
No.996 ひつじ  投稿者:mn 投稿日:2010/02/26(Fri) 21:30  
ヒツジのほうは丸い檻に入れられています。
3本の線を引いて十匹を別々の檻に入れてください。

No.992 似たような問題#4  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/19(Fri) 19:17  

#2、#3の関連で、まだ図形での解答に挑戦中です。
と言う事で、中間的(?)と思われる問題を先ず解いてみましょう・・・と言う問題。

任意の凾`BCの内心Iから辺ABに垂線を下ろし、その足をDとします。
ここまでは前の問題と同じ。
次にCとDを結び、夫々の凾`DCと凾cBCの内心をJ、Kとすると・・・

CD⊥JKを証明せよ。
言い換えれば、凾`DCと凾cBCの内接円は接する!

No.991 正方形と正三角形  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/16(Tue) 12:34  

出題者自身が「図形での解答」がまだ浮かばない問題が続いたので、一気に易しい作図問題。
正方形の辺上に1点が与えられている時、この正方形に内接する正三角形を描いて下さい。
別に正方形でなくても良いのですが...

与えられた点が辺の中点だったり、頂点だった場合は超簡単ですが...

No.990 これで解けるかもしれない問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/15(Mon) 12:21  

「No.987 似たような問題#3」が、この方法から図解で解けるかも...
添付図は少しややこしいですが、作図手順は下記の通りです。
任意の三角形ABCの頂点CからABに垂線を下ろし、その足をDとします。
Dを通り、直行する任意の2線を引き、BC、CAとの交点をそれぞれE、F。
次に@辺ABをCAに対して反転(ヤジロベエみたいなマークは、丸で囲んだ線で反転の意味)。
A同様にBCに対して反転、
B同様にDF(DE)に対して反転し、更にそれをEFに対して反転。
この赤い破線が1点で交わる事が証明出来れば、この一連の問題が解けます。

尚、∠C(∠BCA)がπ/2の時は、@、A、Bは平行になり、交点無し。
添付図では∠Cを鈍角で描いていますが、鋭角の時、交点は辺ABの下になります。

No.987 似たような問題#3  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/12(Fri) 17:24  

Download:987.gc4 987.gc4
No.967 似たような問題#2の拡張です。
三角形の内心Iから垂線を下ろし、その足Dを通る任意の線を描きます。
添付GCのように、それぞれ内接する円を描き、もう一つの共通内接線が頂点Cを通る。
この問題(もしくは前のNo.967)が解ければ、No.965 似たような問題は図形で証明出来るのですが...

No.985 長方形を作る  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/10(Wed) 12:43  

これは「No.984 正方形を作る」の拡張版です。
赤線と青線の説明は前と同じですが、添付図の緑の長方形と相似の長方形を
作図せよ・・・これが解ければ「No.984」も解けますね。

No.984 正方形を作る  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/08(Mon) 09:10  

任意の四辺形の頂点を通り、互いに直行する線を引きます。
添付図の青線や赤線のように、ここに色々な長方形が出来ますが、
その中で正方形になる線を作図せよと言う問題。

前に出題したかなぁ?

No.983 Re:No.982 等しい仰角  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/06(Sat) 19:07  
考えてみれば(考えるまでもなく?)、解が存在しない事もありますね。
解ける場合を想定して(?)点を求めて下さい。

言うなれば「欠陥問題」でした。

No.982 等しい仰角  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/06(Sat) 18:41  

或る草原に高さの異なる煙突が3本立っています。
この3本の煙突の高さが等しく見える場所は?
即ち、3本の煙突のトップの仰角が等しくなる点は?

二次元作図で求められます。

No.978 Re:No.974 円錐  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/03(Wed) 07:56  
要するに、適当な円(底面)を描き、適当な扇型を描いた時、扇型の半径と角度を「定規とコンパスで作図せよ」と言う事ですね。

上記の作図問題と言う事か否か、takkunnさんの確認を得てから解答したいと思います。

尚、扇型の半径でなく、円錐の高さが与えられているとしても同じですね。

No.977 re:円錐  投稿者:N/T 投稿日:2010/02/02(Tue) 23:39  
底面の半径:斜辺長=扇形の中心角:360゜
ですが、既知の比率で2・3・4・6あたりなら簡単ですが
それ以外だとやはり近似になるんじゃないかなぁ???

No.976 re:円錐  投稿者:N/T 投稿日:2010/02/02(Tue) 23:26  
ん〜
私では少し時間がかかりそう…
FUKUCHANさんなら回答が速いかも???

No.974 円錐  投稿者:takkun 投稿日:2010/02/02(Tue) 18:51  
宿題なんですが「コンパスと定規を用いて、円錐の展開図を作図してみよう!」ただし長さを測ってはいけません、角度を測ってはいけません。というような感じの問題なのですが・・・・・。ご教授頂けると有り難いです。
No.973 re:教えて下さい  投稿者:N/T 投稿日:2010/02/02(Tue) 18:23  
どういう円錐を描きたいのでしょうか?
斜め上から見た図だと、楕円が含まれますからコンパスでの作図は
近似的なものになります。

No.972 教えて下さい  投稿者:takkun 投稿日:2010/02/02(Tue) 16:45  
定規とコンパスで円錐を作図する方法を教えて頂けませんでしょうか?長さと角度は計らずに・・・・、宜しくお願いします。
No.971 平行四辺形  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/02/01(Mon) 07:46  

図の説明が少しややこしいのですが...
任意の線(折れ線?)ABCDに於いて、AB、BC、CDを使って、
正三角形ABE、BCF、CDGを作ります。
次にこのE、Gを使って正三角形EGHを作ると・・・

四辺形AHDFが平行四辺形となる事を示して下さい。

正三角形の向きによっては×ですが。

No.968 No.967:補足  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/29(Fri) 08:16  

Download:968.gc4 968.gc4 問題図のGC化です。

点Aを動かしてみて下さい。

No.967 似たような問題#2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/29(Fri) 08:14  

任意の凾`BCで、内心Pから垂線を下ろし、その足をD、Eとします。
線分DEを使って、図のように二つの内接円を描きます。
この時、DE以外の共通内接線は、点Aを通る事を証明して下さい。

No.964、965を色々いじっていて見つけました。

No.966 正三角形  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/28(Thu) 18:50  

何か怪しげな問題が続いたので、今度は易しい問題です。

正三角形ABCと外接円があり、その円上に点Dを取り凾`BDを作ります。
AD、BD上に任意の点P、Qを取り、図のように3つの正三角形を作ると・・・
点C、D、E、F、Gが同一線上にあることを示して下さい。

No.965 似たような問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/28(Thu) 12:41  

Q964は難しいので(上手く描けるか???)、似たような問題です。
図のような二等辺三角形で、円O、Pが同半径となる場合、
AB:BCの比率はどうなりますか?

このような(円O≡P)の図形を作図して下さい。

No.964 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/25(Mon) 17:40  

図のように凾`BCの2辺に内接する「同半径」の円があります。
この円の共通接線が頂点Aを通るようにするって、描ける?

因みに、添付図は定規とコンパスで作図してあります。
(CADの特殊機能は使っていません)
何故か?・・・後から三角形を作ったから♪

No.963 実はパクリですが...  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/23(Sat) 19:21  

Download:963.gc4 963.gc4 凾`BCは直角二等辺三角形。
凾`BDはABを斜辺とする直角三角形。
AD=DEの時、青い正方形の面積+水色の正方形の面積が、
赤い正方形の面積に等しい事を証明して下さい。

点Dは色々動かして遊べます。

小さくて見ずらい場合、ウィンドウ拡大⇒F3キー(2倍ズーム)にて!

No.962 息抜き其の弐:またも三手詰め  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/23(Sat) 09:00  

N/Tさんに簡単に答えられてしまったので別問題。
持ち駒は飛車です。
王様が二つあるので注意して下さい。

これは結構有名な詰将棋です(大道詰将棋の一種)♪

No.959 息抜き:三手詰め  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/22(Fri) 17:43  

易しいか横道に入り込むか・・・気付くか否かですかね!
もちろん、持ち駒はありません。

No.958 合同分割  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/20(Wed) 08:41  

図の赤い山形(?)は、正方形を合同な図形に2分割したものです。
これを更に合同な形に2分割して下さい。

易しい問題ですので、CADらしい「エレガント」な解答をお願いします。

No.957 三角形に内接する2円  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/18(Mon) 12:16  

添付図のように、三角形の2辺に接し、かつお互いに接する2円があります。
この円A、Bの半径比を(例えば)1:2にせよというのは簡単ですが...

三角形と任意の円Aが与えられている時、もう一つの円Bを作図して下さい。

数式を作図で解く方法は出来たのですが、いかにも作図的な解法はまだ挑戦中。
すなわち、出題と言うよりは、解答募集といった感じですね。

尚、円は三角形からはみ出すこともあります。

No.954 軌跡は?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2010/01/13(Wed) 12:14  

直径ABの円が、2倍の直径の円に内接しています。
この円が「滑らずに(空回りせず)」接しながら、大きな円内で回転する時、点A、Bの軌跡は?
また何故でしょうか?

No.947 久しぶりにパズルです  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/29(Tue) 18:14  

図は、正方形から直角二等辺三角形を取り除いたもの。
これを合同な4つの図形に分割して下さい。
二つや三つなら簡単ですが...(これもそれ程難しくないか)。

No.946 No.932 同半径作図:別問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/28(Mon) 08:34  

Download:946.gc4 946.gc4 添付GCで、軌跡ボタンから軌跡をOnにして下さい。
点Pを動かすと赤い見た目直線の軌跡が現れます。これは2円の中心の中点位置の軌跡です。

これが直線になることを、図形で証明して下さい。

解答用BBS「No.1019 Re:No.1018 re:Re:No.1014 Q932」で触れた事柄です。

No.944 Re:No.941 二等辺三角形の復元  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/26(Sat) 10:01  
訂正というか追記です。
飽く迄復元ですので、これでは自由な点、2線では二等辺三角形は(必ずしも)出来ません。

頂角の二等分線が点Pを通るとすれば一般的でしたね。
欠陥問題でした(反省)

No.943 Re:No.932 同半径作図  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/24(Thu) 18:30  

Gogeometry に似た問題がありました。 AH=4rとなるそうです(添付図参照)。
図を見て判る通り、incircle=内接円、excircle=傍接円です。
ex と言うと一見外接円みたいですが、外接円は:circumcircle!

数式では解けたのですが、図形的に解くには???(苦戦が予想されます)
CADで作図して測定すると、誤差の範囲で正しい事が判りますが...

数式での解き方は(小生流):
底角を「2θ」、A、Bを原点から±1とし、Aの座標を(Ax,Ay)のように表すと、
Ax = -1, Ay = 0
Cx = 1, Cy = 0
Bx = 0, By = tan(2θ)
円の半径をrとして、
・・・(中略)

全てrとθのみで表現出来、式を追っていくと答えが出ます。
しかし、平行線なども無く、どうやって図形的に解くのかなぁ(頑張らねば)。

No.942 ありがとうございます!  投稿者:uin 投稿日:2009/12/23(Wed) 14:48  
見れるようになりました。
早速解いてみますね。

No.941 二等辺三角形の復元  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/23(Wed) 08:47  

No.939の図を作っていて浮かびました。

1点Pと、平行でない2線m、nが有る時、1線が内角の、もう1線が
外角の二等分線となるような、Pを頂角とする二等辺三角形(図の薄い
点線)を復元(?)して下さい。

一寸易しかったかな?

No.940 Re:あ、  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/23(Wed) 08:39  
本当だ!!!
N/Tさんより、少〜〜し早かったようですね♪

尚、このサイトの上段の「GC/Java」から、Java版がDL出来ます。

No.939 Re:936:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/23(Wed) 08:36  

これだけでは不十分ですね。
図を掲載します。
この2円の径が等しくなる点Pの求め方(と理由)。

No.938 あ、  投稿者:N/T 投稿日:2009/12/23(Wed) 08:32  
FUKUCHANさんと同時の投稿になっちゃいました。
No.937 uinさん  投稿者:N/T 投稿日:2009/12/23(Wed) 08:30  
作図ソフトのGCをインストールする必要が有ります。
愛知教育大学のサイト↓で「GC/WIN」を入手できます。
http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/gc/test-gcwin/download.htm

No.936 Re:No.935  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/23(Wed) 08:30  
uinさん、ごめんなさい。
始めての人は知らなかったのですね。
クリップマークをクリックすると開くデータですが、GCのフリーソフトが必要です。
GC/Win、又は GC/Java を検索エンジンで探して下さい。
No.932 のデータでは、点Pを動かす事が出来ます。

No.935 No.932  投稿者:uin 投稿日:2009/12/22(Tue) 23:28  
932の画像が見れないです。
こっちの環境の問題なんでしょうか?

No.932 同半径作図  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/21(Mon) 12:38  

Download:932.gc4 932.gc4 添付の凾`BCは点Cを頂点とする二等辺三角形です。
点Pは辺AB上の点で、凾`PCの内接円、凾oBCの傍接円を描きます。

その時に、両方の円の半径が等しくなるように作図して下さい。

勿論、作図理由があればベストです。

No.929 出題No.875の別問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/12/16(Wed) 17:58  

前の折り紙問題から、別の問題を考えました。
添付図の等式を証明して下さい(図形で!)。


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