１：１なら点Ｐは何処にあっても簡単にＡ、Ｂが求まりますね！①円の中心と点Ｐを結び②点Ｐを通り①に垂直な線を描けば終わり！この描き方はヒントにはならないでしょう！
考えられてません・・・ヒント・・・ですよね。確かに。
これは殆どヒントだったのですね、発言には気をつけねば．．．
言い忘れていたことがありました。点Ｐの位置によっては（例えば円の中心とか）、求める直線は描けません。描けない場合の点の領域も求めてみて下さい（これは簡単ですが）。
期待されていましたか・・・。いろいろ尋ねっ放しでは・・・なんですものね。覗いて見てはいたのですが・・・。何分余裕がないものでして・・・。ちょっくら考えてみます。（多分）
moonlightさんの「明晰な」解答に期待しているのですが．．．まだかなぁ？？？
完璧に脳から消えている…
又、古い問題の焼き直し・・・忘れている人も多いだろうから．．．添付図のように円Ｏと、その内部に点Ｐが与えられています。点Ｐを通る直線と円との交点をそれぞれＡ、Ｂとした時、ＡＰ：ＰＢ＝√３：１となるような直線を描いて下さい。
＞頭が固くなってしまってる。いぇいぇとんでもない！これは小生のチョットした「イタズラ（？）」です。図形では解けないと思います--->方程式を解く必要が．．．
手掛かりが無い…２時間考えてこの有様ではなぁ～頭が固くなってしまってる。
を少し変形してみました。昔と言っても、この図形クイズ掲示板が出来るキッカケとなったと記憶しています。早速問題です。添付図の通り、長方形ＡＢＣＤに長方形ＥＦＧＨが内接しています。ＡＢ＝２６０、ＢＣ＝３００、ＥＦ＝１００の時、ＦＧは幾つになるでしょうか？今仕事中（忙中閑有り！）
「それぞれの内の一つずつが、斜辺以外を共有すると言う条件に」なりますか？そこが問題なんです。うーん。何故だろうか。何か見落としてる？・・・・ってそっかあ。見落としていました。なある。やはり図が無いと！ですね。しょーもない質問で申し訳ありませんでした。みなさま佳いお年を！
と言うか攻め方を変えた問題です。任意の三角形ＡＢＣと、点Ａを通り∠Ａの二等分線に直行する線Ｌがあります。この時、線分ＢＣの垂直二等分線とＬとの交点をＰとすると、∠Ｐ＝∠Ａとなる事を示せ！（当然三角形ＰＢＣは二等辺三角形）
図形的に単純化すると、斜辺を共有する合同な直角三角形が２組あり、それぞれの内の一つずつが、斜辺以外を共有すると言う条件になりますね！当然ながら１点で交わります。交点Ｐと各接点の距離は同じになりますね♪
今年最後の？問題です。外接する2つの円がもう一つの円に内接しています。接点は計3つ。それぞれでの共通接線は1点で交わります・・・か？（そんな「気」がするのですが，今一つ確信が持てません。共通接線がすべて平行になる場合は「無限遠点」で交わるなどという屁理屈を捏ねれば例外なく？）
菱形に引っ掛かった人が、少なくとももう一人居た～～～っ！
> 正方形ＡＢＣＤと菱形ＣＤＥＦがある時、∠ＣＥＡは何度？頭の体操にはちょうど良いかも？難しい問題の後だと引っ掛かり易いし♪
＞作図というのはアルゴリズムでは？ＣＡＤからドンドン離れるなぁ。＞ちなみに僕らの年代は高校では複素数平面は外されました・・・お若いのですね♪ 我々の頃は複素平面でしたが．．．
作図というのはアルゴリズムでは？などと考えるのは素人でしょうか。正n角形の場合の対角線の積がｎになることがわかるようなアルゴリズム，あるいはｎが奇数と偶数の場合，などに分けてのそれぞれの見方が判ると面白いなあと思いました。エレガントというか当たり前だなあと判るのは複素数（平面）を用いた説明なんですが・・・。＜ちなみに僕らの年代は高校では複素数平面は外されました・・・＞＜その代わり行列が導入された・・・歳がばれますネ。＞GoGeometryは日本のサイトではありませんからなかなか比較して面白いものです。725の問題なんかも楽しい！です。「決まってないっていうことは勝手に決めればよい？！」となれば答えはすぐ判ります。でも理屈は？っていうとまた別の話ですよね。「決まってないなら勝手に決めれば？！」という志向の思考は僕らが学生の頃も苦手な人が多かったのですが昨今増加の一途を辿っているような・・・気もします。菱形は，混乱よりも説明が楽だからかも。四辺形で統一されて綺麗だし？二等辺三角形でも良いですものね。何が見えるかが楽しいところです。
gogeometry の中には、こんなお馬鹿な（と言っては言い過ぎですが）問題もありました。正方形ＡＢＣＤと菱形ＣＤＥＦがある時、∠ＣＥＡは何度？余分な線を加える事で、チョット混乱させようとの意図かな？しかし、お受験詰め込み勉強をしている子供達には難しいのかも♪
＞初等幾何や作図的にＮ角形の場合の説明（証明？）をせよと言われれば、何とかなると思いますが、一般解を求めるのには、数学的帰納法などを併用しなければ無理では？作図でいえば、Ａ×Ｂを矩形で表し、それと同じ面積を持つ１×Ｃの矩形を作ることで、Ｃ＝Ａ×Ｂと順番に求めていく事が必要です。これは初等幾何ではなく、普通に初等数学（中学若しくは高校迄の数学）で解くことになりそうですね。例えばＮ角形のｒ番目の線分の長さを、２×sin（π×r/N）で表す方式！
半径１の円に内接する正n角形を考えます。1つの頂点を選び残りのn-1の頂点に線分を引きます。そのn-1本の線分の長さをすべて掛けるとnになるのですが・・・これって初等幾何や作図的に説明できるでしょうか？例えば，正２角形！の場合，直径になるので２です。正三角形の場合は，２辺と言う事になり，辺の長さがルート３ですから３正方形の場合は，２辺と1つの対角線で，ルート２×２×ルート２で４となります。このさきもずっと成り立ちます。面白い。簡単。でも説明がねえ・・・。
たくさんあるでしょう？GoGeometry。アルキメデスが気になって探している時に見つけてずっと観ています。とっても精力的。あまりまとまっていないけど・・・。Proposed Problemもそろそろまとめ時なのかも。再編集してくれるのを愉しみに待つか，さっさと全部解いてみて，こちらで私的にまとめちゃうか。幾何好きにはワクワク刺激的です。
小生も「gogeometry」ドットコムを覗いて見ました。No.702の問題も出ていましたし、見たことのある問題も結構有りました。そこで小生もパクリです。角度を求めて下さい（基本的にNo.702と同じですが、出題の仕方を変えると大分違って見える？？？）。
＞６５度は頂角５０度の二等辺三角形の底角＝６５＋５０＋６５＝１８０．．．これは消し忘れ！ 但し敢えて下記を修正しませんでした。
３点Ａ、Ｂ、Ｄを固定してやると、点Ｃが何処にあってもｘ一定！Ｃを限りなくＡに近づけると・・・（作図問題で極限は使えなかったっけ？）極限の考えを使わない場合、６５度は頂角５０度の二等辺三角形の底角＝６５＋５０＋６５＝１８０．．．点Ｃを、一番解き易い位置に移動すれば良い訳か！と言う事は∠ＡＤＣを××度にしたら・・・簡単に出来たけど駄目？
先の問題が解けてから今度はこちらで悩んで？楽しんでいます。
エレガントっぽい解答を見付けたと思って作図を始めたら・・・思い込みが有ったと言うか、ＣＡＤで作図した為に求めなければいけない角度や長さが「規定値」らしく出てきて、それを使って解答を作ろうとしていた事に気が付きました。紙と鉛筆でやり直しです！
そうですね！角度をゼロにすると、120°の補角（って名前だったか）が60°で、正三角形が見付けやすくなるんですね。ここに気が付けば、角度がゼロでなくても正三角形が見えてきます。しかし、エレガントな証明がまだ出て来ない⇒思い違いがあるかも．．．
702の謎は判明しました。やはり正三角形が味噌でした。それにしても見えないものです。お騒がせしました。
極限を考えるなら0でもオッケー？それより180度も駄目とか？関数に持っていくと話はまた更にややこしや。
＞アルファは何でも佳い？ゼロにすると描けません！ 数学的には極限の観念ですね♪凄いヒント？？？？？？？？？？？？？？？？（？＝∞）
アルファは何でも佳い？ので，例えば15度ぐらいにすると明々白々。でもわかんない。何処をどう見ればよいのだろう。描き方も簡単だけど・・・。これだから目が離せません。
∠ＢＡＤが常に３０°と言うのは解き方のヒントになるのかなぁ？しかし、上記の角度はバッドとも読めますねぇ♪
moonlightさん、今晩は！描き方としては、点Ｐを通り（例えば）下の線と交わる直線を引きます。交点をＱとして、ＰＱを一辺とする相似の三角形を描く事から始めます（相似の三角形の描き方は色々有ると思いますが・・・）。もう一つは、例えば点Ａが点Ｐと重なるように三角形を移動し、ＡＣやＢＣ（若しくはその延長）と交わる点を使って、相似の三角形を描く等々ですね！
30°になる事を、キチンと証明すれば良いんですね♪時間が出来たら（気が向いたら？？？）解答用ＢＢＳに掲載したいと思います。もっとも、例によって単純な思い込みがあるかも知れませんので、注意をしないと．．．
これも感覚では判るけど、解けそうで解けない…
解答用の方も観ました。699の図では，三角形のどの頂点も二本の直線上に無いので，まずは，どちらか一方を直線上に持って行けば佳いのでしょうか・・・。まだ眺めているだけで，考えてられていません。702の答えが判る（し，作図も出来る）のだけど，よく判らない問題で悩んでいます。
如何？
moonlightさん、今晩は！＞数学科って実験はもとより製図も無かったのです製図以前に、中学校の数学で解きました。小生の好きな軌跡絡みです。これって大ヒントでしょ♪GCを使うともっと判り易いかも．．．（解答には載せようかなと思っていますが、例によって無精ですのでどうなる事やら）
No.697を更に一般化しました。添付図で、点Ｐを共有し、残りの２頂点が線分ｍ、ｎ上にあるような、⊿ＡＢＣと「相似」な三角形を作図しなさい（幾つか描けます）。こらが出来れば（解き方の基本が判れば）、正方形の作図も簡単♪
大丈夫です。ちゃんと読み取って下さっています。やっぱり簡単に描けるのですか！そうですか。うーむ。数学科って実験はもとより製図も無かったのです。初等幾何なんて趣味の世界だし・・・ってなわけで本当にノウハウを知らないのです。やはり基本ですか？さてさて，もう少し考えてみます。
696の小生発言（二直線と一点）を図に整理してみました。直線ｍ、ｎと点Ｐを使った作図問題です（緑の線が正方形）。別にｍとｎは平行でも構わないし、点Ｐは二直線の外側にあっても作図可能です。moonlightさん、題意を読み違っていますか？
moonlightさん、お久し振りです。一つだけ確認ですが、AC側の正方形のAの対角をＲとした時、□ＡＣＲＱ以外の正方形を作図せよと言う事ですか？この問題って、言い換えると「平行でない二本の直線と、その間に一点が与えられた時、この一点を頂点とし、二直線上に他の頂点を持つ正方形の作図」と考えて良いのでしょうね。
（とりあえず鋭角な）三角形ABCを用意します。念のためAB>ACとし，底辺ACは直線として十分延ばしておきます。さて，辺ABを一辺とする正方形を，辺ABに関して，Cとは反対側に作図します。正方形のBの対角をPとします。同様に，辺ACを一辺とする正方形を，辺ACに関して，Bとは反対側に作図します。正方形のCの対角をQとします。で，直線PQを十分な長さで引きましょう。さあて，この状況でよく知られているのは，「2つのそれぞれの正方形の中心（対角線の交点）とBC，PQの中点の４点を結ぶと正方形」なのです。で，ちょこっと遊んでみようと，その「続き」が描けないか・・・。と思った次第です。つまり，直線PQ，AC上に2つの頂点を持ち，AC側の正方形のAの対角も頂点とする正方形を描けないかと。文章ばかりでややこしいですが，是非教えて下さい。
両辺を伸ばして繋ぐと、大きな二等辺三角形が出来ますが、その中に更に二等辺三角形が二つ出来るのですね！補助線は最低２本かな？左辺を使って正三角形を作ると、その頂点は右辺上に来る（別途証明が必要ですが）ので解き易い♪この手の問題は二等辺三角形を作っていき、そこで正三角形が出来たら殆ど完了みたいですね！
補助線が難しい！！！私じゃ自力では無理だなぁ～ (T_T)
リンデンさん、だけでは判らなかったかも！解答用ＢＢＳの「スウガクとくガウス」ですが、久し振りに覗いてみたら、最初のページが「正に」この問題でした♪彼（リンデンさん）によると「ラングレーの問題」と呼ぶそうです（こういう名付け方は好みでは有りませんが）。
これは、20+60°、30+50°で、頂角20°の二等辺三角形が出来ますが、この頂角と、出題図の20°で又二等辺三角形が出来ます．．．このようにして解いて行くのが「一般的な」解き方です。これに気が付けば簡単なのですが．．．ヒントになったか、混乱させたか・・・記憶によればリンデンさんの得意技の筈です←解答用ＢＢＳから参照して下さい！
１２０゜の三角形が２等辺三角形になる証明が不足している気が？？？
[直接移動] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30]
- Joyful Note -
本音のCAD･CAM http://amaterus.jp/
を少し変形してみました。