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No.797 いやはや続けざまに面白い!  投稿者:moonlight 投稿日:2009/06/07(Sun) 21:11  
で,今楽しんでる問題を私も。

三角形ABCと内部に点Dがあり,
AD=BC
角DBC=2α
角DCB=90°-3α
角ADC=150°-α
が成り立っている時に,角ACDを求めなさい。

です。図もありませんが,楽しい問題です。
やはりお聞きしたいのはどのように作図されるかです。
裏に潜んだ幾何の法則をどの程度使うのか。あるいは使わないのか。
αが具体的に数値で与えられていない場合なら
(例えば,「図の角αに対して・・・」のように図示された角αに対して作図する場合など)
どのように作図なさるのか興味があります。

No.796 続けざま  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/06/07(Sun) 11:59  

円Oと円Qが2点A、Bで交わっています。
今度は円Qの中心が「必ずしも」円Oの円周上には有りません。
円Oの円周上に点Pを取り、APと円Qとの交点をC!
BPと円Qとの交点をDとします。
この時、OP⊥CDとなることを証明して下さい。

こちらの方が難しいかな?

No.795 re:794  投稿者:N/T 投稿日:2009/06/07(Sun) 08:09  
なかなか難問ですね。
面白い事は色々見つかるけど、
2円の関連付けが上手く出来ない・・・

No.794 証明問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/06/06(Sat) 12:05  

添付図を参照下さい。
円Oと円Oの円周上に中心を持つ円Qとの交点をA、Bとします。
円Qの円周上に任意の点Pを取り、APと円Oとの交点をC、BPと円Oとの交点をDとします。
この時、CD⊥QPとなることを証明して下さい。

No.789 RE:う〜む  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/05/20(Wed) 09:25  
ヒントを解答用BBSにアップしました。文章だけですが...
しかし、N/Tさんが読んだら、直ぐに答えが判ってしまうかも。

No.788 う〜む  投稿者:N/T 投稿日:2009/05/19(Tue) 19:08  
786が解ければ783も解けるのは判るけど・・・
解けそうで解けない〜

No.787 RE:No.786  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/05/19(Tue) 13:48  

>比較的簡単に描ける場合と、結構煩雑な場合がありそうです。

小生の勘違い!
面倒臭いけど、それ程難しい作図ではありませんでした。

JW-Winでの作図例を添付します(勿論、手順は無し)。

No.786 三角形の面積分割#2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/05/19(Tue) 12:10  

今度は三角形ABCと一直線(青)が与えられています。
この直線と平行な線で、面積を三等分して下さい。
(添付図の空色の点線のように)

比較的簡単に描ける場合と、結構煩雑な場合がありそうです。

No.785 RE:No.784 これは・・・  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/05/18(Mon) 21:54  
>かなり難しいかも・・・

チョットした発想の転換と、後は根気でしょうか?
掲載図は実際に3等分したCAD図面です。

No.784 これは・・・  投稿者:N/T 投稿日:2009/05/18(Mon) 18:09  
かなり難しいかも・・・
No.783 No.782拡張  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/05/18(Mon) 12:11  

四角形ではどうでしょうか?

添付図の通り、任意の四角形ABCDの辺AB上に一点Pが
ある時、Pを通り四角形の面積を1:2に分割する直線は?

No.782 三角形の面積分割  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/05/16(Sat) 18:03  

凾`BCの辺AB上に1点Pがあります。
このPを通る直線で、凾`BCの面積を1:2に分割して下さい。

(孫の「算数」の教科書を見ていて思い付いた問題ですので、易し過ぎる?)

どのように1:2にするかで、二通りの答えが出ますね。
一応参考までに図を添付しました。

No.780 RE:No.779  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/05/11(Mon) 12:23  
点Oが垂心になるのは「感覚的」には了解出来た。
一辺を固定して考えると、その時に高さが最高になるのは、中心Oを通り、その辺に垂直な直線状に一点が来る場合なので...

文章のみで判り難いかも知れませんが、前の問題で「二等辺三角形」になると説明した事と同じ理由です。

No.779 作図にトライしてみて下さい  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/05/10(Sun) 17:28  
小生はまだ出来ていないのですが・・・

>定点Oからの距離が4,√6,√6である三点A,B,Cについて
点Oが凾`BCの垂心となるような三角形を描いて下さい。
これが描ければ、最大面積の三角形作図が可能な筈です(って、例によって充分検証していませんが...)。

これが(最大面積となる事が)証明され、垂心となる作図が出来れば、小生としてみればもの凄い発見!
拘束が扱えるCADなら作図出来ますが、多分作図不能問題かも知れません。

これは、3点A、B、Cが等距離なら、正三角形で簡単だなぁと考えていて、チョット閃いたアイデアです(正三角形なら、点Oは垂心・内心・外心・重心となるなぁと気が付いた次第)。
4,√6,√6の場合、CAD的には垂心が証明されました。

No.776 Re:No.771  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/04/26(Sun) 13:33  
解答用BBSを参照下さい。

>三角形の向きはどうでもよいので条件を満たすものを作図
と言うのが「問題」ならば、普通の2D−CADで作図可能です!

しかし、これが最大と言う証明は、作図問題では不可能(と思う)

No.775 良く考えれば  投稿者:N/T 投稿日:2009/04/26(Sun) 09:02  
私の閃いた方法じゃ駄目だなぁ…
No.774 Re:解決はしたのですが・・・作図問題としては?  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/04/25(Sat) 18:27  
左右対称で考えても良いので、解答用にヒント図を載せましたが、二次方程式を解く事になるので、適切な作図方法を捜すのは大変そう。
閃きが必要?

No.772 re:解決はしたのですが・・・  投稿者:N/T 投稿日:2009/04/24(Fri) 18:42  
感覚的にはすぐに閃くので描けますが、
理由の正確な説明が難しいかも?

No.771 解決はしたのですが・・・作図問題としてはどうでし...  投稿者:moonlight 投稿日:2009/04/24(Fri) 10:03  
定点Oからの距離が4,√6,√6である三点A,B,Cについて
面積が最大になる場合を作図しなさい。
(つまり,三角形の向きはどうでもよいので条件を満たすものを作図)
という問題です。どんなものでしょう。

No.765 re:又 PrimMath  投稿者:N/T 投稿日:2009/03/27(Fri) 19:03  
> しかし、2D作図で「正確に」描こうとしたら、どんな曲線が出てくるのか

実際には何点か求めておいて近似曲線でしょうねぇ〜

No.764 re^2:TORUS  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/03/27(Fri) 18:18  

レイトレなら簡単に出来るのだが...
添付図はアイソメですが、視点を変えれば断面を真上(?)から見ることが出来ますね。

これもフリーソフト(POV-Ray)

No.763 又 PrimMath  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/03/27(Fri) 12:35  

まだ「AND」などの使い方が判らない(と言うか使えるのかどうかも判らない)。
取り敢えず、トーラスと切断面を描いて見ました。

Shift+矢印キーで、色々な角度から眺める事が出来ますので、作図のヒントとして使えそうですね♪

しかし、2D作図で「正確に」描こうとしたら、どんな曲線が出てくるのか、数学的に計算する必要があります(とすると、結構難しい問題だったりして)。

あっ、昼休みが無くなってしまう!!!

No.762 re:TORUS  投稿者:N/T 投稿日:2009/03/27(Fri) 00:38  
断面ができれば用途が広がりそうですね♪
No.761 RE:No.759 TORUS  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/03/26(Thu) 16:09  

PrimMathでトーラスを描いてみました。
すごい機能です。

まだ良く使いこなせませんが、ANDとかORとかNOTが使えそうな予感!
そうすると切断図面も出来るかな???

No.760 むむむ  投稿者:N/T 投稿日:2009/03/25(Wed) 18:22  
これは製図の練習に凄く良い問題ですねぇ〜♪
No.759 断面図を描いて下さい  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/03/25(Wed) 14:32  

添付図はR=4、r=1のドーナツ(トーラス)です。
このA−A断面を描いて下さい。

尚、この切断線はr=1の円に(二次元的に)接しています。

No.755 クイズでは無いのですが...  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/03/03(Tue) 13:27  

Download:755.pdf 755.pdf こんな問題を出しても良いのだろうか?
と言いつつ問題です:添付PDFの側面の面積は幾つになりますか?

側面以外は簡単ですので、計算してみては...

寸法は、ここのトップページから【CAD利用技術者試験⇒練習問題 基礎⇒立体図形⇒問題11】を参照下さい。

No.752 RE:No.744 いつでも描ける場合  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/02/14(Sat) 11:08  

1:1なら点Pは何処にあっても簡単にA、Bが求まりますね!
@円の中心と点Pを結び
A点Pを通り@に垂直な線を描けば終わり!
この描き方はヒントにはならないでしょう!

No.751 ほんと忙しくて  投稿者:moonlight 投稿日:2009/02/13(Fri) 14:27  
考えられてません・・・ヒント・・・ですよね。確かに。
No.750 言い忘れって  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/02/12(Thu) 21:26  
これは殆どヒントだったのですね、発言には気をつけねば...
No.749 RE:No.744 √3:1  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/02/11(Wed) 17:15  
言い忘れていたことがありました。
点Pの位置によっては(例えば円の中心とか)、求める直線は描けません。

描けない場合の点の領域も求めてみて下さい(これは簡単ですが)。

No.748 いやあ済みません  投稿者:moonlight 投稿日:2009/02/11(Wed) 13:37  
期待されていましたか・・・。いろいろ尋ねっ放しでは・・・なんですものね。
覗いて見てはいたのですが・・・。何分余裕がないものでして・・・。
ちょっくら考えてみます。(多分)

No.747 あれっ  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/02/09(Mon) 21:12  
moonlightさんの「明晰な」解答に期待しているのですが...まだかなぁ???
No.745 むむむ  投稿者:N/T 投稿日:2009/02/02(Mon) 20:08  
完璧に脳から消えている…
No.744 √3:1  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/02/02(Mon) 17:25  

又、古い問題の焼き直し・・・忘れている人も多いだろうから...

添付図のように円Oと、その内部に点Pが与えられています。
点Pを通る直線と円との交点をそれぞれA、Bとした時、AP:PB=
√3:1となるような直線を描いて下さい。

No.741 RE:No.739 う〜ん  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/01/24(Sat) 17:15  
>頭が固くなってしまってる。

いぇいぇとんでもない!
これは小生のチョットした「イタズラ(?)」です。
図形では解けないと思います--->方程式を解く必要が...

No.739 う〜ん  投稿者:N/T 投稿日:2009/01/19(Mon) 21:29  
手掛かりが無い…
2時間考えてこの有様ではなぁ〜
頭が固くなってしまってる。

No.738 昔の問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2009/01/19(Mon) 14:04  

を少し変形してみました。
昔と言っても、この図形クイズ掲示板が出来るキッカケとなったと記憶しています。

早速問題です。
添付図の通り、長方形ABCDに長方形EFGHが内接しています。
AB=260、BC=300、EF=100の時、FGは幾つになるでしょうか?

今仕事中(忙中閑有り!)

No.734 Re:370  投稿者:moonlight 投稿日:2008/12/26(Fri) 17:44  
「それぞれの内の一つずつが、斜辺以外を共有すると言う条件に」なりますか?
そこが問題なんです。うーん。何故だろうか。何か見落としてる?
・・・・
ってそっかあ。見落としていました。なある。やはり図が無いと!ですね。
しょーもない質問で申し訳ありませんでした。
みなさま佳いお年を!


No.733 No.716の変形  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2008/12/26(Fri) 15:17  

と言うか攻め方を変えた問題です。

任意の三角形ABCと、点Aを通り∠Aの二等分線に直行する線Lがあります。
この時、線分BCの垂直二等分線とLとの交点をPとすると、∠P=∠Aとなる事を示せ!(当然三角形PBCは二等辺三角形)

No.731 RE:No.730  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2008/12/26(Fri) 14:03  

図形的に単純化すると、斜辺を共有する合同な直角三角形が2組あり、それぞれの内の一つずつが、斜辺以外を共有すると言う条件になりますね!
当然ながら1点で交わります。

交点Pと各接点の距離は同じになりますね♪

No.730 良いお年を,というわけで  投稿者:moonlight 投稿日:2008/12/26(Fri) 08:34  
今年最後の?問題です。
外接する2つの円がもう一つの円に内接しています。
接点は計3つ。それぞれでの共通接線は1点で交わります・・・か?
(そんな「気」がするのですが,今一つ確信が持てません。共通接線がすべて平行になる場合は「無限遠点」で交わるなどという屁理屈を捏ねれば例外なく?)

No.729 良かった!  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2008/12/22(Mon) 21:32  
菱形に引っ掛かった人が、少なくとももう一人居た〜〜〜っ!
No.728 無題  投稿者:N/T 投稿日:2008/12/22(Mon) 18:22  
> 正方形ABCDと菱形CDEFがある時、∠CEAは何度?

頭の体操にはちょうど良いかも?
難しい問題の後だと引っ掛かり易いし♪

No.727 無題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2008/12/21(Sun) 12:07  
>作図というのはアルゴリズムでは?
CADからドンドン離れるなぁ。

>ちなみに僕らの年代は高校では複素数平面は外されました・・・
お若いのですね♪ 我々の頃は複素平面でしたが...

No.726 帰納法でなくてもアルゴリズムで  投稿者:moonlight 投稿日:2008/12/21(Sun) 10:24  
作図というのはアルゴリズムでは?などと考えるのは素人でしょうか。
正n角形の場合の対角線の積がnになることがわかるようなアルゴリズム,
あるいはnが奇数と偶数の場合,などに分けてのそれぞれの見方
が判ると面白いなあと思いました。
エレガントというか当たり前だなあと判るのは
複素数(平面)を用いた説明なんですが・・・。
<ちなみに僕らの年代は高校では複素数平面は外されました・・・>
<その代わり行列が導入された・・・歳がばれますネ。>

GoGeometryは日本のサイトではありませんから
なかなか比較して面白いものです。
725の問題なんかも楽しい!です。
「決まってないっていうことは勝手に決めればよい?!」
となれば答えはすぐ判ります。
でも理屈は?っていうとまた別の話ですよね。
「決まってないなら勝手に決めれば?!」
という志向の思考は僕らが学生の頃も苦手な人が多かったのですが
昨今増加の一途を辿っているような・・・気もします。

菱形は,混乱よりも説明が楽だからかも。四辺形で統一されて綺麗だし?
二等辺三角形でも良いですものね。何が見えるかが楽しいところです。

No.725 No.722 楽しい話が  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2008/12/21(Sun) 07:41  

gogeometry の中には、こんなお馬鹿な(と言っては言い過ぎですが)問題もありました。

正方形ABCDと菱形CDEFがある時、∠CEAは何度?

余分な線を加える事で、チョット混乱させようとの意図かな?

しかし、お受験詰め込み勉強をしている子供達には難しいのかも♪

No.724 RE:No.723  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2008/12/21(Sun) 07:35  
>初等幾何や作図的に

N角形の場合の説明(証明?)をせよと言われれば、何とかなると思いますが、一般解を求めるのには、数学的帰納法などを併用しなければ無理では?
作図でいえば、A×Bを矩形で表し、それと同じ面積を持つ1×Cの矩形を作ることで、C=A×Bと順番に求めていく事が必要です。

これは初等幾何ではなく、普通に初等数学(中学若しくは高校迄の数学)で解くことになりそうですね。

例えばN角形のr番目の線分の長さを、2×sin(π×r/N)で表す方式!

No.723 ここでは既にお尋ねしたでしょうか?  投稿者:moonlight 投稿日:2008/12/21(Sun) 00:15  
半径1の円に内接する正n角形を考えます。
1つの頂点を選び残りのn-1の頂点に線分を引きます。
そのn-1本の線分の長さをすべて掛けるとnになるのですが・・・
これって初等幾何や作図的に説明できるでしょうか?

例えば,正2角形!の場合,直径になるので2です。
正三角形の場合は,2辺と言う事になり,辺の長さがルート3ですから3
正方形の場合は,2辺と1つの対角線で,ルート2×2×ルート2で4となります。
このさきもずっと成り立ちます。面白い。簡単。でも説明がねえ・・・。

No.722 楽しい話が  投稿者:moonlight 投稿日:2008/12/21(Sun) 00:10  
たくさんあるでしょう?GoGeometry。
アルキメデスが気になって探している時に見つけて
ずっと観ています。とっても精力的。
あまりまとまっていないけど・・・。
Proposed Problemもそろそろまとめ時なのかも。
再編集してくれるのを愉しみに待つか,
さっさと全部解いてみて,こちらで私的にまとめちゃうか。
幾何好きにはワクワク刺激的です。


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