１／４円で考えれば済む問題ですね。
作図原理等は、追って整理して掲載予定ですが、明日から碁会合宿があります。

掲載は来週以降になりますので、HIROSHIさんの解説が先になりそうですね。

小生の罠に引っ掛かりました（嬉し涙にくれています）。

S1:S2:S3:S4
を
1:2:2:4
で仮定して描いたら描けました。
計算で検証したら合致したのですが、
偶然掛けただけなので解けたとは言い難いなぁ…

実際に小学生がどうやって解いたのか是非聞いてみたいですが、受験の秘訣で教えてくれないだろうなぁ。

これが解ける小学生、順調に育てば将来は凄いことになりそうですね。

前の動画（No.4875）を参照下さい。回転が終わった時の形状を図の左に描きました。
これだけでは直ぐに判らないと思いますので、正方形DEFGを消して、四角形AFHDだけ残しました（図右）。

そうすると、�僊FH、�僊DHは共に直角三角形で、短辺の長さは判っています。

従って、四角形AFHDの面積は：7×6÷2＋9×2÷2＝30・・・これが�@＋�A＋�Bの面積。
夫々の面積比は、No.4874で記載した通りですから、正方形DEFGの面積は「27.2」

そうすると正方形の対角線FDの長さが√(27.2×2）＝√54.4、これで三角形AFDが定規とコンパスで描けますね。

小学生の描き方なら、軌跡でなくこちらが正道なのかも知れません。それにしても、小学生でも解ける問題でこんなに苦労するとは・・・

小生も頓智的に解いただけです。
面白いと思うかどうかは人夫々、これも小生案を後程アップします。

面積計算では私も答が出ましたが、図形的に解くとなると
まだ答えは見つかっていません。
最初はピタゴラスの定理で解こうとしたら迷路にハマってしまうし…

やはり難しいですね。
原理を見てもなかなか解けそうにありません…orz

面積計算は小生に取って難問でした（これが小学生向けか！と何度叫んだことか）。

最初は�@と�Aの三角形を、正方形の辺に対して折り返してみました・・・手掛かり無し。
次にこの折り返した三角形を、FD（正方形の対角線）に対して折り返してみると・・・いけるかも！

2回の折り返し＝夫々90゜回転・・・それで出来上がったのが添付動画です。
∠G'＋∠G''=90゜、青破線の長さが等しい事から、ぴったりと合わさる事は判ると思います。

ここから面積計算が出来ましたので、もう少し詳しい説明は追って掲載します。

次に、正方形DEFGを図のように対角線で二つに分けてみます。
そうすると緑枠の�僊FDの面積は、全体の7/13×9/11＝63/143である事は直ぐに計算出来ます。
これが�B＋�C/2ですね。
従って、残りの�@＋�A＋�C/2＝80/143。
前の計算で�@＝3/13、�A＝1/11ですから、�C/2=34/143 ---> �B＝29/143、�C＝68/143。

これで全ての部位の面積「比率」を求める事が出来ましたが、それでは面積は？？？⇒新しい画像を使って別途解説します。

一寸面白そうなテクニックを使いましたので、乞う御期待。

動画の青破線円は、下図の青円（中心A、半径AC）を点Bを中心に1/2に縮小したものです。
赤破線円は赤円（半径AD）を点Fを中心に1/√2に縮小し、且つ時計回りに45゜回転したもの。

その交点（緑矢印）が求める点Gになっています。

しかし、ここから正方形DEFGの面積を求めるのは大変で、No.4872以降の考察が必要になります。

出来上がった（と仮定した）図面で、�@、�A、�B、�Cに分けて面積を考えます。

先ず�僊BCの面積を１とした比率を出します。
�@＝3/13、�A＝1/11
ここまでは易しいのですが、�Bと�Cは少々厄介です＝ヒント２以降で説明予定です。

ここまでのヒントで判った方は、自分で計算してみて下さい（投稿宜しく）。

正方形の頂点（赤×印）と辺の中点（青◆印）の軌跡＝赤破線円＆青破線円をご参考迄。
夫々の軌跡は、別の点の軌跡を「或る比率で縮小」＆回転してもので、解説は後程。

これを解く小学生は、間違いなく進学塾で「テクニック」を学んでいるのでしょうね。
小生も小学生レベルで解こうとして苦労しました。

結構悩んで「中学生レベル」の軌跡で描いたのですが、その結果から面積で求めるらしいと気が付きました。

しかし、当図形クイズでは軌跡が正解と思います＝物凄いヒントですね。
土日に回答が無ければ、小生の描き方をアップします。

小学生用の問題が何日も考えて糸口すら見つからない…orz
これ、かなりの難問ですねぇ。

模範解答ですね♪

孫には、辺ACをずらして点AとDが重なるようにすると、点Cは点D'に移るよと説明（感覚的？）。
移動距離から、このように動かすと常にAD=CD'・・・GeoGebraで見せるべきか？

それにしても、孫は色々は所の角度を書き込んで、完全に迷路に落ち込んでいました。

∠BAD = ∠ADB = 80
∠BDD' = 100
AD = CD' から　AC = DD'
よって
BA = BD = DD'
△DBD' は二等辺三角形となるので
(180 - 100)/2 = 40

なかなか面白いです。

4848の投稿の式の部分はメモ書きしたまま消し忘れです。
結果として途中挫折で解けませんでした。

No.4855、小生一般解（長方形の場合）の説明を参照して下さい。
正方形でも中点であることに変わりはないので、N/Tさんの描き方は正解です。

あれ？翻弄に上手くいってますか？（何か勘違いしているだろうか？）

円に内接させれば EG の円周角から必ず長方形になると考えたのですが、
AD = EH　にするのが上手く行きませんでした。
軌跡使っても二次曲線が出てしまうんですよねぇ…

与えられた長方形を１：ａとして、図の位置をｘとして考えます。
図中のx3は参考で、計算では使っていません。
x⇒x1⇒x2と計算してx2をxで表し、x+x2=aに当て嵌めます。

式を整理すると、4x^3-4ax^2+(a^2-3)x+2a=0 が得られますが三次方程式になってしまいます。
従って任意のaでは定規とコンパスで作図する事は出来ません。

前の作図(No.4859)では、a=1となりますから、上記の式にこれを代入して：
4x^3-4x^2-2x+2=0 ---> 2x^3-2x^2-x+1=0 ---> (2x^2-1)(x-1)=0
0<x<a ですから、x=√2/2が得られた訳です。

他にも特定のaで解ける＝定規とコンパスで描ける値はあるでしょうが、任意の一般解は・・・

尚、aが1.18に近付いていくと上記の式では解が得られません。
例えば、a=1.25の場合は、横向きにしてa=0.8(=1/1.25)として描く事になるのでしょうね（定規とコンパスでは無理ですが）。

＞???　内部形状を決めてから外部長方形の作図?
外部が最初に与えられているというのが条件です。

No.4856でHIROSHIさんが「内部長方形の傾斜が30°のようなものは云々」に対して答えたものです。

＞内部の形状を決めれば、難しい作図ではありませんね。

???　内部形状を決めてから外部長方形の作図?

与えられた長方形が正方形だった場合の作図例です。

作図手順は図を見て貰えれば判ると思います。
一辺の長さを１とした時、斜辺が１の直角二等辺三角形を作っています（言い換えると傾斜は45゜）。
作図原理等は追って報告予定です。

投稿画面を間違えてました。

何故かN/Tさんのコメントが問題用BBSに掲載されていますが、軌跡では難しいでしょうね。

添付動画の軌跡は放物線の一部に見えますが、多分楕円の一部（？未検証・・・追って報告）。

正方形に内接する場合は定規とコンパスで描けます。これは明日にでも掲載予定です。

＞30゜のようなものは作図可能
内部の形状を決めれば、難しい作図ではありませんね。
例えば、内部に出来た長方形が１：３なら・・・拡大・縮小で簡単に描けます。

内部長方形の傾斜が30°のようなものは
作図可能ですが、一般化するまではまだ時間が必要です。

N/Tさんの円と円周角も用いてます。

作図手順
�@ABの中点Mを中心に、赤線の長さの円を描く。
�A辺DAとの交点をPとする。
�B点PからMPに垂直な線を引き、CDとの交点をQとする・・・以下略

作図原理
ピタゴラスの定理と直角三角形の相似で式を立てると、図中の式のようになります。
即ち、任意の長方形で点Mは中点となります。

私は円と円周角で解けないか考えていましたが、赤線の長さを
同一にするネタが思いつけませんでした。
これはかなりの難問ですねぇ。

GeoGebraでは（比較的）簡単に描く事が出来ます。
また、与えられた長方形が「正方形の時」は定規とコンパスで描く事が出来ました（後程アップ）。

しかし、一般の長方形だと、描けるのはHIROSHIさんだけかも知れませんね。

>　a,b,・・・を図に書き込んで欲しいですね。

すみませんでした。
実は式の方が消し忘れで、そのままコピペ投稿してしまいました。
投降後には気づいていたのですが、「まあいいか」で手抜きしてしまいました。

例によって説明不足で、a,b,・・・を図に書き込んで欲しいですね。

＞変数での計算は挫折したので・・・
大きさが決まってい無い時は、どれか一つの変数を１とすると結構簡便に解けると思います。

これは出来上がりを見ると判りますが、30゜、60゜になっているのですね。
まだ挑戦していませんが、図形的に正三角形を使う方法がありそうですので、面白そうな原理説明を見付けてみようと思います。

描けた！と仮定して法則を見つける・・・設計でも似たような所がありますね。
作図原理を整理しておくと、次の問題を解くのに役立つでしょう。

ちゃんと解けてるのですねぇ。
凄いです。
私なんか、解説を見ても理解に時間がかかりそうです…

a:c=d:f
a-f=b
a:d=b:e=c:f

e+c+d=a
b^2+c^2=a^2
e^2+f^2=d^2


変数での計算は挫折したので解けたとは言いがたいのですが、数値をあてはめて計算したら
1:2:√3 なら計算が成立しました。

作図原理と言えるのかどうか・・・

元々は、Q1911の時の相似と内接円を利用しています。
（Q1911を考えている時に用いました。）

添付図んの赤点部の角度はすべて同じで、
各々が干渉していますので、それを利用しました。
Q1913も二等辺三角形ABDと内接円を用いています。
（その内接円（空円)に同じく相似の二等辺三角形を合わせました）

関係を調べて行くうちに、直線Lと点Dからの直線Lと平行な線が
必要となり、直径DBの円を用いました。

確かに、FUKUCHANさんが仰るように、△3,4,5が出て来たので、
作図可能なように思いました。

ＯＰ（HIROSHIさんのＭＤ）を１とすると、菱形の辺の長さ＝(4*(5+√7))/9
こちらを使った方が作図工数が少し減ります。

菱形の中心Ｏと頂点の一つＰを決めます。
図のように点Ｑ、Ｒを求めてから点Ｓを作図します。
この青の直角三角形は斜辺４、短辺３ですから、もう一つの短辺ＯＳ＝√7
これを５倍し、ＯＰの１６倍を足して９で割る・・・これで菱形のもう一つの頂点を求める。

作図原理が判り易いですが、HIROSHIさんの簡便さには遠く及びませんね。
HIROSHIさんの作図原理（←小生は今の所解明出来ていません）は？？？

＞A4で５枚もの計算が続けられる精神力は凄いの一言です。
眼が悪くなり、結果として文字が大きくなった為です。
６月中に手術の予定＝成功すればA4で１枚に収まるかも・・・

A4で５枚もの計算が続けられる精神力は凄いの一言です。
私だと０．５枚でギブアップしそう…

＞原理の解明

原理でなく、座標で頑張った結果⇒(16+5√(7))/9（A4レポート用紙5枚消費）
根号の中の7=16-9=4^2-3^2、そして係数5
意味があるかまだ不明ですが、HIROSHIさんの好きな、３、４、５に関連しています。
この値がNo.4839の図中で記した比率（約3.25）になります。

従って、この式は定規とコンパスで作図可能＝色々な描き方がありますね。

手順は簡単ですねぇ。
原理の解明はFUKUCHANさんに任そう…orz

No.4836の続きです。

�C　直径がDBとなる黄円を直線L、
　　線分DBと接するように描き、
　　桃円との交点をP、線分DBとの
　　接点をMとします。

�D　点Dと点Pを結び、また点Mから直線Lに平行な半直線を引き、
　　その2線の交点をAとします。

＊これで、求めるひし形の対角線、1辺が求められたので
　ひし形を仕上げ、青円・赤円・緑円を作図していけば完了です。
　　

途中で面倒になり（粘りが無くなった？）概算数値で「JW-Win的には」描く事が出来てきます。
菱形の比率を図中に記載しました（高級なCADでは駄目でしょうが・・・）。

＞さすがにもう少し解説が無いと無理かなぁ。

実は、あと一手、図形1つを描き足すとひし形を
求める事ができるのでここまでの掲示としました。

ちなみに図形は、おる大きさの円1つです。

う〜ん・・・
さすがにもう少し解説が無いと無理かなぁ。

目を盗んで・・・

私の作図例の取掛りを添付します。
（参考になるかなぁ〜?)

�@　直線Lを引きます。

�A　直線Lから垂線BDを立ち上げます。

�B　点Dを中心に半径DBの円を描きます。

※後はひし形・青円・赤円・緑円を求めていきます。
　

時間の都合で作図例は後日となりますが、

どうにか出来たようです。