図のように点Bを通る平行線（赤）を描いて、辺CAとの交点をDとします。
黒線の傾きにより、点Aの場合もあり点Cの場合もあります。
A、Cの中点をMとした時、D=Mなら完了です（BMは�僊BCの面積を2等分！）。

DがA側に有る時は、求める線は赤破線近辺となり、逆の時は緑破線近辺です。

最初にどの頂点を選ぶか、破線の位置は？・・・これらは試行錯誤になります。

基準線をy=0（図の赤線）とし、中央の正方形の１頂点を原点(0,0)とします。
赤線を(a,b)を中心に90゜回転したのが右の黒先で、直線の方程式はx=a+bになります。
これを(a-b,a+b)を基準に回転したのが緑線、更に点(-b,a)で回転すると左端の空色線になります。
従って、空色線と赤線との交点が、左端の正方形のもう一つの頂点になります。

図で黒枠で囲ったのが直線の方程式。

左の正方形で同様の操作を行うと、軌跡は青線になります。
これを(-b,a)を中心に回転したのが上端の空色線＝この直線と図の黒先の交点も、右端の正方形の頂点の一つ。
但し、作図上は左端の正方形を描く事が出来れば、後は芋蔓式ですね。

これで各正方形の頂点の座標をa,bで表す事が出来ます。

右の正方形の図からはみ出ている頂点の座標も簡単に計算でき、このy座標が緑線のa+3bに等しい時がQ1839の答え＝この時のaとbの関係が判るという事になります（続く）。

Q1839は座標を求めてから結果を定規とコンパスで作図しました（これは作図で求めたというのと少し違うかな？）。
Q1840は普通の（？）面積変換で、簡便を期す為に正方形変換を使いました。

これらは今週中に小生案を掲載する予定です（正解が出た場合も、解く手順が違えば・・・）。

どちらもギブアップです。
1840は頂点移動で何とかならないか考えましたが、ダメでした。
計算しゃコンパス作図は無理だしなぁ…

説明は特にありませんので悪しからず。

＞Q1838 Q1840
Q1838 ---> Q1839かな？
Q1839は単純な座標計算です。

どちらも難しいですねぇ…
糸口無しの状態です。

O、Pと緑の実線が与えられたとして作成しています。
当然乍らP'、P''の位置は決まってしまいます（当たり前！）。
緑実線上に仮の点Qを取ると、Pを中心にQを90゜回転した点Rが決まります。
Qは緑実線上を動く、言い換えると緑実線はQの軌跡とも言えます。
従って、緑実線を上記同様に回転した緑破線がRの軌跡となる訳です。

以下順に、R'、R''（実際はそれらの軌跡）を求め、R''が緑実線上に来た時が求める解。

図の橙色の線は、R''が緑実線上を動くとして逆にR'の軌跡を求めたもので、こちら側から作図すると点Qが決まる事になります。

点Oを原点とし、点Pの座標を(Px, Py)、緑実線をy=0と置けば、全ての点の座標が一義的にP座標で表す事が出来ます＝Q1839のヒント！

おめでとうございます＆お疲れ様でした。
1点を中心に1点を９０度回転した訳ですから。
この辺は図（動画）で改めて説明する予定です。

これが描ければQ1839も近いでしょうね。ヒント：中央の正方形が決まれば周囲の正方形３つも一義的に決まる。

軌跡で描けました。
頂点の動きが直線になるのは意外でした。

時間が取れ次第頑張ってみます。

どんな軌跡か説明しようと図面を作ったら「殆ど」解答図になってしまったので掲載断念しました（これもヒントになるでしょうね）。
尚、Q1839は軌跡で解くのは無理かも知れません。

Q1838は軌跡で解ける問題です。
小生が易しいと言ったのは、小生が軌跡大好き人間だから・・・

1839どころか1838も見当つかずの状態です…orz

一寸サイズが大きいので、小生の解答集２（GeoGebra遊び）にヒント動画をアップしました。
この問題は定規とコンパスで描けます＝確認済み。

お気付きと思いますが、底面（�僊BC）をx-y平面と平行にし、且つ線分ABをx軸と平行にしてからの作図です。

＞かなり手間が掛りました。
そのようですね。
一応小生の作図例を掲載します（説明文は略）。
最後のOXが外接球の半径（Oが中心）です。

仮の中心O1、O2を求めて、それを合成（？）し直しています。

尚O1は�僊BCの外心、O2'は�僊BD'の外心です。

かなり手間が掛りました。
特に半径の割り出しが面倒だったですねぇ〜

赤の正方形の面積を一定とした動画を作りました。

各面でなく二面でＯＫです（４頂点を全て網羅するので）。
これらの垂線が１点で交わることは、手順は面倒ですが簡単な考察で判ります。

各面の外心に垂直な線を引き、その交点が描ければいいのかなぁ？？？
コンパスと定規だとかなり難しそう。
そもそもこの理論で描けるかどうかも怪しいけど…
時間が取れたらチャレンジしてみます。

＞でも、これを考えつくのは無理かも…
理屈の解明だけでなく、問題を解くヒントを得る為にも、GeoGebraには大分お世話になっています。

判りやすい解説でした。
でも、これを考えつくのは無理かも…

確かに簡単ですが…
う〜ん、なぜこうなるのだろう？？？

一応の解説を小生の解答集２のトップに掲載しました（一定期間＝年内？掲載）。

一般に解答は二つあります。
点Aから線分ABに対して60゜の線を引き、直線との交点を求めるだけ。
60゜の線の描き方は簡単過ぎるので略します。
皆さんも、この�僊BCを作って外心・垂心を求めて確かめて下さい。

図で判る通り一般に２点が求められます（線分と直線の成す角が60゜の時のみ一つ）。

＞残念ながら易しい問題しか思い浮かばないですねぇ
解答『図』を掲載する必要も無い問題でした！

球体に映った像という感じだったのを思い出しました。
これを応用していく理論が思い出せない…

もう少し判り易そうな図を考えてみました。
円Oと点Pが与えられています。
�@直線（図では線分ですが）OP（赤線）を引き、円との交点をQとします。
�A点Oを通る適当な（上記と重ならない）緑線を引き、円との交点をRとします。
�B直線PRを引きます（青線）
�C次いで点Qを通り�Bと平行な線を引き（これも青線）、緑点との交点をR'とします。
�D円OR'を描き、�@の赤線との交点P'を求めると、これがPの鏡像になります。

頑張って考えてみます。
以前は理解していたはずなのになぁ…

概念動画を下記にアップしました。

fastpic.jp/images.php?file=0163587336.gif

エイチティーティーピーとワールドワイドウェブを適切に追加して下さい。
黒円Oの中心に近い程、円から遠くになる事は判ると思います。
O、P、Qは同一直線上にあります。

相変わらず凄いですねぇ。
鏡像がなかなか理解できないのが辛いところです。

二直線が平行な時、鏡像の２円は点Ｏで内接又は外接しますが、この点Ｏは除外されているので交点無しとなります。

これは小生の「コンパス作図の部屋」を参照すれば判りますが、少し整理してみました。
円による鏡像の作図法から説明します。

点Ａの円Ｏによる鏡像作図は
�@ＡＯを半径とする円Ａを描き、円Ｏとの交点をＢ、Ｃとする。
�A半径ＢＯの円Ｂと半径ＣＯの円Ｃを描き、Ｏ以外の交点をＰAとする。
ＰAとＡが互いに鏡像になっています。
円Ｏの半径をrとすると、ＯＡ×ＯＰA=r^2（ＯＡ：r＝r：ＯＰA）これを点の鏡像と呼んでいます。

次に直線ABの鏡像は、点Bの鏡像点ＰBを求め、三点Ｏ、ＰA、ＰBを通る円を描きます。
ここから点Ｏを除いたものが直線ＡＢの鏡像になります。

三点を通る円の長さは有限ですが、点Ｏを取り去る事によって長さは無限になりますね。
線分ＡＢから一点Ａ（又はＢ）を取り去ると、長さが無限になるのと同じです。
数直線上などで、x<1の最大値が存在しないのも同じ理屈！（この辺りから数学嫌いが増える？？？）

線分ＡＢの鏡像は円弧になる事は直ぐに判ると思います。

尚、点ＣがＯから直線ＡＢに下ろした垂線の足の場合、点Ｃの鏡像だけ求めると図の赤円を描く事が出来ます。
ＯＰCが『直径』になるので、小生の解答例ではこれを使っています。

三角形の外心は、二辺の垂直二等分線の交点ですから、もう一本の直線の鏡像を描き、２円の交点を求め、その鏡像が外心になる訳です。

円の鏡像はコンパス作図では相当威力を発揮しますが、普通の（？）定規とコンパス作図でも有力な武器ですので（解答例も幾つか有った筈）、この際作図法と原理をマスターしておいて下さい。

何で急に解けたのかと思えば、早とちりでした…orz
やり直しだなぁ〜

問題はAH=AOです、読み違っていませんか？
言い換えると点Aを中心に円を描くと、垂心(H)と外心(O)はその円上にある事が条件です。
この図では１と２の交点が外心ですが、例えばCからABに垂線を下ろし、２との交点を求めると、明らかに違っているようです。

重心だと思って悩んでいたら、垂心でした。orz
外心を求める線と推進を求める線は描けるので両者の交点が外心になりますね。

さすがに、かなり難しいですねぇ…
頑張って原理を理解してみます。

�@ABの中点M、ACの中点Nをコンパス作図します。
�AAを中心に半径ANの円（緑）を描きます。
�BMの緑円に対する鏡像M'を求めます（空色線が補助円）。
�CAN、AM'の中点を求め、直径AN、AM'の円を描きます。
�Dその交点をP'とし、P'の緑円に対する鏡像Pを求めます。
この点Pが�僊BCの外心になります。

説明用の黒線はABの垂直二等分線、青線はACの垂直二等分線。
従って外心はこの2線の交点になります。
直径ANの円、直径AM'の円から点Aを除いたものが、夫々同色の線の鏡像になっています。

詳細作図方法は「コンパス作図の部屋」を参照して下さい（それでも詳細不明の時は質問して下さい・・・この部屋の説明は結構手抜きですので．．．）。

小生の解答集２に「コンパス作図の部屋」へのリンクを設定しました。
こちらでの外心作図は一寸面倒な方法です。
上記の部屋の�@中点作図と�A二直線の交点作図で求める事が出来ます（必要に応じて作図例を掲載します）。

>　これは光の反射と同じです。

ああ・・・
忘れてました。orz

随分難しい描き方ですね。
線分ABと直線が共有点を持たない時、A（又はB）の直線に対する対称点A'を取り、A'とBを結べば直線との交点がP。
これは光の反射と同じです。
出題図を動画にしたので混乱したかなぁ？
ABと直線が１点で交わる時はその交点がP。
ABと直線が重なっている時、直線上のAB間のどの点でも最短（不定）になります。

A・B から斜線上に垂線を引き、交点をC・Dとします。
Cを中心にCAを半径とする円、Dを中心としてDBを半径とする円を描き交点をEとします。
Eを中心にECを半径とする円を描きDEの延長線との交点をFとします。
Eを通りCFに平行な線と斜線との交点がP。
ふと、∠DPBと∠APCが等しければ AP+PB が最短になりそうな気がしたのですが、証明できてません。

1835と勘違いしてました…orz
1834は最短をどう考えていけばいいのかで詰まったまんまです。

Q1834参照：
＞久しぶりに定規とコンパス作図
という事はコンパスだけでも作図可能ですが．．．

　全然解けていない状態です。
　コンパス限定だと難しい…

これは滅茶苦茶易しいので無視されたのだろうか？？？

作図に於いて、中点を求める必要が沢山出てきました。
結構面倒なので、中点だけはCADコマンドでＯＫとします（そうしないと膨大な手順になりますね）。

小生の昔の作品（「コンパス作図の部屋」）でこの円の作図に触れていますが、これは一寸変わった描き方をしています。
もっと簡単に描けますので挑戦してみて下さい。

もっとも、上記の部屋を参照すれば直ぐに判りますが．．．

以前にコンパスだけで線を２等分する問題が有ったような…
あのときも解けなかった記憶が…
難しいですねぇ。

＞異なる３点Ａ、Ｂ、Ｃ
「同一直線上に無い」異なる３点Ａ、Ｂ、Ｃ
当然ですが．．．

＞問題を書き忘れている気が？？？
仰る通りでした！　問題文に追記修正しました（原因＝ボケ＆マゴ）