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スウガクとくガウス FUKUCHANさんの解答集2
No.4579 Q1840:原理追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/22(Thu) 20:31  

添付図左の黒の三角形を赤の三角形と相似で同面積に変える操作と、右の正方形同士の変換が、作図の原理として同じと言っているのです。

a*b ---> kc*kd のkを(実際にはkcとkdを)作図で求める方法(c:d一定)。

No.4578 Re:No.4573  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/22(Thu) 19:09  
Q1844とQ1845(Q1847)は全く同じ発想で描けるということですね♪
但し、正方形 ---> 正三角形と変わったなら、全く別の作図手順を考える・・・こんな努力(?)も必要かも...

No.4575で所謂長方形⇒正方形同面積変換をしていますが、これも別の発想で違った作図法を考えるのも面白い?(別問題で掲載する?)

No.4577 Re:No.4576  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/22(Thu) 19:02  
三角形⇒長方形⇒正方形の同面積変換から、⇒別の比率の長方形⇒三角形に変換するのと基本的には同じです。
従って、N/TさんのNo.4556と全く同じですが、作図工数を減らしただけです。

No.4525を参照して下さい。
sinθが同じなら、S/2=(a*b*sinθ)/4を敢えて同面積にせず、S'=a*b/2としても、元に戻す時にsinθ/2で割る事になるので同値という意味です。

要するに、N/TさんのNo.4556で正解になるのですが、小生例の方が簡便かな?

No.4576 re:4575  投稿者:N/T 投稿日:2015/10/22(Thu) 18:35  
右図のAはBCの延長線上にABを写したということかな?
最終的にはD'を通過して与えられた線と平行な線を描いたら
面積は2等分になってました。
でも、原理を理解するのは時間が掛かりそう…

ちなみに、私は
1 面積半分の三角形→長方形→正方形
2 1つの頂点を通り与えられた線と平行な線で割られた三角形→長方形→正方形
3 2の正方形を4556の方法で1に投影して長方形を拡大縮小
4 サイズ変更した2の長方形を三角形に復元

という方法で描いていて挫折しました。

No.4575 Q1840:小生例  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/22(Thu) 17:34  

先ず準備段階として、三角形の頂点を通り与えられた線と平行な線を引きます。
対辺との交点をDとしますが、交点が無ければ別の頂点を通る平行線を引きます。
数式でなく定規とコンパスの場合、このような一寸した試行錯誤が必要になりますね(見た目でもある程度判りますが)。

点Dが中点Mと一致すればそれで完了♪(なんて僥倖を期待してはいけません)

点DがM、Cの中間にある場合の作図例が図の右です。
@AMを直径とする円を描き、Bを通りAMに垂直な線との交点をEとします。
 この作図は長方形⇒正方形の同面積変換と全く同じです。
A次にADを直径とする円を描き、同様に交点をFとします。
BAF、DFに平行で点Eを通る線を引き、図のようにA'、D'を求めます。
以下は説明不要と思います。

尚、点DがB、Mの中間にある時は、A、B、Mの代わりにA、C、Mを使う事になります(当然乍らBDの代わりにCD)。
また、点DがB又はCと重なる場合も同様の手法で求める事が出来ます。

理屈は「No.4525 Q1840:ヒント画像」を参照して下さい。

又何処かタイプミス、作図ミスしてHIROSHIさんに突っ込まれるかも...

No.4574 Re:No.4573  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/21(Wed) 18:56  
No.4572の動画は計算で出しました。
黒円の半径を1とし、赤円の半径をr、緑円の半径をRとし、k=R/rとおいて計算。
2r/√3+R+2R/√3=r(2/√3+k+2k/√3)=1
整理して:r=√3/(2+k√3+2k)
ここでk=1の時(即ちQ1845)、r=√3/(4+√3)=(4√3-3)/13(検算していませんが)

No.4573 Q1845 1847  投稿者:N/T 投稿日:2015/10/21(Wed) 18:34  
どちらもFUKUCHANさんの4571の描き方で描いてから
元の黒円に投影すれば描き易いですね。

No.4572 Q1847:動画  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/21(Wed) 14:15  

外側の黒円を固定してみました。
赤線分=緑線分の時、HIROSHIさんの問題と同じになります。

GeoGebraでは、拡大・縮小操作が面倒なので、こちらは計算して描いています。

No.4571 Q1845  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/21(Wed) 13:31  

前と同じ手法(No.4565参照)で描いてみました(=長さを計算しない方法)。

@60゜で交わる青線を描きます。
A内接する中心の円を描き、上下同径の円を描きます。
B直交する軸(空色の一点鎖線)と赤円の交点から外側の黒円を求めます。
後は青の正三角形を完成させるだけですね。

No.4570 Q1844 作図例  投稿者:HIROSHI 投稿日:2015/10/21(Wed) 12:07  

@ 半径AOの垂直二等分線をC側に引きます。
  辺ACとの交点をPとし、半径OPの円を描きます。

A 頂点Cから直径ABに平行な半直線を引き、
  @の垂直二等分線との交点をQとします。

B Qと@の円の頂点Sを結び、辺ACとの交点をRとします。

 *この時の線分CRが求める、赤円の半径です。

No.4569 Re:No.4565 4566  投稿者:HIROSHI 投稿日:2015/10/21(Wed) 10:53  
やはり色々な作図方法がありますね。
N/Tさんの方法は思いついていましたが、
FUKUCHANさんの作図法は気が付きませんでした。

昼時間に私の作図例と、Q1844を少し難しくした問題をupいたします。
(昼に急用が無ければですが・・・)

No.4568 Re:No.4564  投稿者:HIROSHI 投稿日:2015/10/21(Wed) 10:48  
αを65°+10°=75°と読み取っておりました。

すみません。・・・

No.4567 Re:No.4566  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/20(Tue) 20:54  
矢張り色々な描き方があるのですね、HIROSHIさんの事例を見てみたいですね。

>作図手数は少ないようです。

小生の描き方は内接円を使っていますので、これだけで作図工数は大きくなっていますね。
No.4565の場合、格子を作るだけでも作図工数は結構多いです。

最短手数に挑戦してみます。

No.4566 Q1844 別解  投稿者:N/T 投稿日:2015/10/20(Tue) 18:12  

赤円の半径をr、黒円の半径をRとすると
R=r+r/√2+r√2+r/√2=r(1+2√2)
  ↓
r:R = 1:1+√8
図の下側で「1:1+√8」の比率を作り、黒円の半径に投影することで
赤円の半径を出しました。
1個描ければあとは配置していくだけなので省略しました。

No.4565 Q1844  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/20(Tue) 16:57  

色々な描き方があるようですが、作図をする人たちが真っ先に浮かぶ方法かも・・・

@等間隔の格子を作る。
A内接円を三つ描く。
B対角線を描き、右上、左下の円との交点を求める。
C青の正方形を描く。
D残りの赤円を描く&必要に応じて外接円を描く。

HIROSHIさんの算額問題としては易しいですよね。
今日一日、二ヶ月の孫と目一杯遊んで疲れましたが、これは余裕でした。
寸法比率が直ぐに判るので、これ以外にも面白い描き方はあるでしょうね。

No.4564 No.4563:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/20(Tue) 16:39  

今度は間違っていませんでした(No.4560の添付図に角度他を追加)。

No.4563 Q4561  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/20(Tue) 16:12  
>辺ABの角度が、0.3217025...°
ABと、どの辺との角度の事でしょうか???
α=65゜、β=80゜になる筈です。
No.4550を参照して下さい・・・もしかして又間違えた?(チェックします)

No.4562 Q1844  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/20(Tue) 16:09  
黒円は不要なようです。
何も考えずに(?)機械的に描くなら拡大・縮小方式ですね。

No.4561 Re:No.4560  投稿者:HIROSHI 投稿日:2015/10/20(Tue) 08:51  
あの〜・・・
辺ABの角度が、0.3217025...°となってしまいますが・・・(汗)


No.4560 Q1841  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/20(Tue) 08:26  

本来出したかった画像は添付の通り、謹んで訂正させて頂きます。

No.4559 orz  投稿者:N/T 投稿日:2015/10/19(Mon) 21:17  
引っかかった…
No.4558 Q1843  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/19(Mon) 21:05  
急カーブでしたので、落としたのはスピードだったとさ、ジャンジャン!
No.4557 Q1842  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/19(Mon) 21:03  
春≒90日、夏≒90日、秋≒90日、冬≒90日、1年≒365日!

従って、春、夏、秋、冬、一年の中では一年が一番♪♪♪

No.4556 re:4548  投稿者:N/T 投稿日:2015/10/19(Mon) 18:57  

2つとも一度正方形に変換し、青い方の図を赤い方に拡大投影しました。
1840は三角→長方形→正方形の変換かなぁ???

No.4555 Q1843  投稿者:N/T 投稿日:2015/10/19(Mon) 18:33  
難しいですねぇ〜
「ゴ」かな???
カタカナで書くとリンゴのゴ以外は文字の急カーブ線の内側だけど
ゴだけがンの曲線の外に有るから。

No.4554 Q1842  投稿者:N/T 投稿日:2015/10/19(Mon) 18:20  
真面目に考えると温暖化の影響で夏が一番多いと思う。
なぞなぞ的回答なら夏は文字の中の目の部分に日が2つ入っていると考えられるから夏かな。

No.4553 Q1839:修正解答例  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/19(Mon) 17:49  

N/Tさんの軌跡で描くしかなかったですね、出題図の値に従えば・・・
角度は整数にはなりませんでした。
また、No.4550 Q1840・・・これもミス=Q1841でした。

No.4552 Re:No.4551  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/19(Mon) 17:11  
出題図でαを間違っていました m(_._)m
No.4543の図もミスでしたね。
きっと、作図の時に孫が泣いていたので気が逸れた???

No.4551 Re:No,4550  投稿者:HIROSHI 投稿日:2015/10/19(Mon) 09:29  
15°?
α+β=155°?
問題はα+β=145°では・・・

No.4550 Q1840:小生例  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/19(Mon) 07:20  

N/Tさん、正解です♪

小生の求めからは以下の通り。

No.4545で述べた通り、10゜、15゜は簡単に計算で判ります。
その図を整理すると、赤辺の上に立つ角度(赤○一つと二つ)が1:2です。
また青辺の上に立つ角度(青○)も1:2になっています。

これは円周角と中心角の関係ですね♪

従って、添付図右のように
@基準線を描く
A20゜の線を引く
B30゜の線を引く
C適当な線を引き、@〜Bの線との交点(赤丸枠)を求めて完成です。

図で僖ACは二等辺三角形ですから(DA=DB=DC)、底角は65゜になり、αは75゜となります。

No.4549 re:4547  投稿者:N/T 投稿日:2015/10/19(Mon) 06:42  
75゜になりました。

No.4548 Q1840:ヒントU  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/18(Sun) 16:35  

No.4529でもヒントを出しましたが、どこかで落とし穴に嵌っているようですので追加ヒントです。

図の赤い長方形と蒼い長方形が与えられている時、赤の長方形の面積を変えずに、青の長方形と相似な長方形を描け!

本質的には同じ問題であり、落とし穴を作った覚えはありません。

No.4547 Re:No.4546  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/18(Sun) 16:17  
最近は手抜きの解答が多いですね、N/Tさん!
これで勿論描けますが角度αは幾つになりましたか?(解答の検証用質問です)

No.4546 Q1841  投稿者:N/T 投稿日:2015/10/18(Sun) 08:52  

結局、軌跡に頼ってしまいました。

No.4545 Q1841:ヒント  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/17(Sat) 18:54  

小生の角度計算は下図の一ヵ所だけです(これは簡単に計算出来たと思います)・・・絵が切れてしまった。
これをベースに定規とコンパスで作図完成しました。

No.4544 Re:No.4543  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/17(Sat) 06:08  
二つの面に平行な方向から考える=基本的な問題でした。
No.4543 re:4540  投稿者:N/T 投稿日:2015/10/16(Fri) 21:24  

面に平行な面に投影すれば球は2面に接するので、接円の中心が来る面を
を3面描いて投影して交点を求めました。

No.4542 Re:No.4541  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/16(Fri) 07:34  

おめでとうございます、正解です。

図を追加して説明すると、左右上部の赤枠内の座標で、y座標が等しい時は??? という問題に還元されます。

即ち、a+3b=3aが成り立つ時ですから、2a=3b、言い換えるとa:b-3:2、以下描き方は略。

No.4541 re:4539  投稿者:N/T 投稿日:2015/10/16(Fri) 06:42  
計算をまとめると、指定の頂点のY座標が一致するのが
2a = 3b になりました。
あとは右正方形の右下頂点が (4a,0) となるのも計算で出ました。

No.4540 Q1837 作図問題  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/15(Thu) 18:49  
外接球の作図は終わっていますが、内接球がまだでしたね⇒投稿宜しく。
No.4539 Re:No.4537 Q1839  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/15(Thu) 18:45  
一応描き方の説明をして下さい。
No.4538 re:4533  投稿者:N/T 投稿日:2015/10/15(Thu) 18:35  
お久しぶり♪
首を長くして待ってましたよ〜

No.4537 Q1839  投稿者:N/T 投稿日:2015/10/15(Thu) 18:34  

ようやく描けました。
計算になると脳が拒否反応を示すなぁ…orz

No.4536 Re:No.4534 Q:No.1841  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/15(Thu) 16:53  
全ての角度が判らなくても、もう一つが判れば作図可能です。
作図し終わると全ての角度が判る仕組み?

No.4535 Re:No.4532 Re:No.4528  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/15(Thu) 16:49  

No.4528 Q1838:詳細に掲載した図面(直線の方程式)の更なる説明です。
全てこれらの直角三角形の短辺2辺から求めています=加減だけ。

残りの直線も同様にして方程式を出しています。

No.4534 Q:No.1841  投稿者:HIROSHI 投稿日:2015/10/15(Thu) 15:03  
各々の角度はわかりましたが、う〜ん・・・際どい。

今晩、試してみます。

No.4533 RE:No.4532 早とちりでし...  投稿者:HIROSHI 投稿日:2015/10/15(Thu) 10:58  
すいません。座標通りでした。
(休憩時間に作図したので・・・)
赤正方形:緑正方形=1:3
X軸上の接点比で作図しました。

No.4532 Re:No.4528  投稿者:HIROSHI 投稿日:2015/10/15(Thu) 10:42  
私の作図方法では、図のような座標になりません・・・

問題を読み間違えてるのかなぁ・・・
(赤正方形は辺の長さを変えないで作図しているんですけど)

No.4531 Re:No.4530 re:4528  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2015/10/14(Wed) 21:37  

>なかなか複雑な式になりそうですねぇ

No.4528の図で判る通り、2点の座標が判ります。
夫々のx、y座標の差を図にしたのが添付図です。

赤◎が二つ判れば、青◎は単に足し算引き算で求められますので、複雑ではないと思います(最初から投げている???)。

No.4530 re:4528  投稿者:N/T 投稿日:2015/10/14(Wed) 18:23  
なかなか複雑な式になりそうですねぇ。
集中力が続かないというか、脳の体力低下が著しいなぁ…


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