流石です！見事に描けましたね。
これを応用すれば、平行線だけでなく垂線も描けるのですね。

これでQ1883は二つとも解けました、ありがとうございます。

円の外の線は平行線が描けました。

円を利用してABと交わる平行線を作る。
平行線を利用して△ABCからADの中点Mを求める。
△ADCとMから平行線を求める。

手間を掛ければ任意の距離の平行線が描けますね。

２点A、Bと、直線ABに平行な線が与えられている時、No.4724のN/Tさん解説の通り中点が求められます。
直線ABが赤円と２点で交わり、且つ赤円の中心を通らない時、No.4727のように平行線を引く事が出来ます。

適当な所に点Cを取り（図参照）、AC、BCとこの平行線（No.4727の方法で作図）との交点をD、Eとします。
次にAEとCDとの交点をGとした時、直線CGとABとの交点が、中点Mになります。

従って、Q1883�@で上述のような線が引ければ、その中点を定規のみで描く事が出来ます。

では、ABが円と交わらない時や円の中心を通ってしまう時・・・これが悩みなんですねぇ。
moonlightさんから適切な解答が出るのでは？と期待している今日この頃です。

尚、面積での説明を明日以降に掲載と言いましたが、添付図の�僊DB＝�僊EB（面積）から導き出せるでしょう！（段々面倒臭くなったので、これで説明を終わってしまうかも・・・）。

正解ですね、これも色々な求め方がありますが・・・

これは最初の問題と似ています。
即ち２点の中点を求める時、２点を結ぶ線と平行な線が与えられていれば、定規のみで中点を求められるのです。

証明は三角形の面積を使います。
詳細は明日以降に、図面付きで説明予定です。

左右の両辺を適当に延長した線と長方形底辺の反対側の頂点を結んで２つの三角形を作る。
三角形の斜辺と長方形の上辺の交点を長方形の頂点と長方形底辺の頂点を結ぶ。
それぞれの線の交点を結んで延長すれば底辺との交点が底辺の中央。

証明はできてません。
なんとなくそうなりそうな感じがしたのでサイズを変えて試してみたところ、
全て中点で交差しました。

円とその中心が与えられていると、定規のみでなにが出来るかを考えてみました。

赤円の中心を通る適当な２線（図の黒円と青線）を引くと、緑の長方形が得られます（辺の比率は決められませんが）。
この辺の中点は、赤円、赤中心の力を借りなくても、定規のみで作図可能！という所から出題した次第です。

＞力を借りなくても　⇒　変な表現ですが・・・

出題図の青線が赤円と交わり（２点）、且つ赤円の中心を通らない場合は楽に描けました。
これを拡張（応用）すれば何とかなるのか？

Q1883はQ1884が出来れば簡単なので、Q1884を考えたが、これはQ1883（中点作図）が出来れば容易・・・堂々巡りですねぇ。

１点と１直線が与えられた時（勿論、円とその中心有り）、１点を通る平行線を引け！
これがもしかすると、定規（のみ）作図の基本になるのかもしれませんね。

�@の方は「定規で平行線を引ける」とするなら簡単に解けるけど、
平行線を引く方法が見当つかずです。

なかなか面白い問題でした。
解答を見れば簡単ですが、考える方向性を違えると難問でした。

実は最初ロクに記事を読んでなくて，
何で直角三角形が？とか思っていました。
皆さんには基本的な作図なのかと思っていましたそうでもないようで
面白いなぁというのと，紹介してよかったなぁと。
自分で描いてからもう一度見に行くと確かに簡潔に答えが…。いやはや面目ない。

凄く判り易い解答ですねぇ。
なんか悔しい気がする…orz

解答を見ました、こちらの方が簡単ですね・・・一応紹介します。

図の赤線分⊥青線分で長さが等しい点Eを取り、EとDを結んで後は容易です。
これを見て判る通り、点D＝点Eの時に不定（無限に作図可能）となります。

私的数学塾のトップページ右の方に
「更新記録」の入り口があります。
これを踏んでもらって、更新記録を見ると、
今年の元旦のところで
5084 ２０１６．　１．　１・・・私の備忘録　「基本の作図」（正方形の復元）
とあります。
これです。リンクを踏むと該当箇所に飛びます。
作図の方は、垂線を何度か引けば出来上がりました。
取り敢えず

図を入れる件，申し訳ないことです。入れるようにします

＞私ではなかなか考えつけないですねぇ…
ここでもGeoGebraが活躍してくれました。
一つの点（Pを使用）を動かして、他の点の動きを見る方法（残像表示や軌跡描画機能）から青円を推定したのです。
理屈付けはそこからスタートしています。

私的学習塾を覗いてみましたが、この問題を見付ける事はまだ出来ていません⇒moonlightさん、この問題はどこに？

なお、ここには共感出来る文章が出ていましたので以下引用：
作図題の完全解は、解析・作図・証明・吟味 の４つの事項を備えていなければならない。

解説ありがとうございます。
私ではなかなか考えつけないですねぇ…

点P、P'から図の青枠、赤枠の三角形が出来ます。
BEは二つの円の弦ですから、円周角からa同士、b同士が等しい事が判ります。
従ってこの枠付きの三角形は相似。

次に青○と青◎、赤○と赤◎は等しいので、青○：赤○＝青◎：赤◎（上記の相似比）。
又同様に青●と赤●の比率も同じになります。

一方c=90゜-aで等しいので、左の三角形も相似（二辺の比と挟角）、即ちα＝β。
これらはAEの上の角ですから、軌跡がAEを弦とする円になるのは明らかですね。

青円が全く思いつきませんでした。
じっくりと意味を考えてみます。

一応読んだ積りでしたが、文章が長く大分読み飛ばしていました。
No.4710の小生コメントは無視して下さい。
moonlightさん、図を入れて文章は少なめにして貰えると助かるのですが．．．

そこで、Q1882の条件に従った復元方法です。

先ず、AB、BC、CAを直径とする空色円（夫々O1、O2、O3）を準備し、O1とO2とのB以外の交点をEとします。

�@弧AB上に適当に点Pを取り、直線（図は半直線）PA、PBを引きます。
�APBとO2との交点（B以外）をQとします。
�BPを中心に半径PQの赤円を描き、PAとの交点をQ'とします。
�CQ'、A、Eを通る青円を描き、円O3とのA以外の交点をRとします。

このRが復元すべき正方形の頂点となりますので、以下の作図方法説明は省略します。
描き方でお判りの通り、これは点Q'の（小生が好きな）軌跡を使った方法です。
軌跡が円になるのは、P、B、Qの位置関係＆PQ=PQ'＆∠QPQ'=直角（一定）から判り易いでしょう＝詳細説明略。

復元例です。
これは最初の正方形（黒）の４頂点を使っていますが、No.4708のように無限に描ける例です。
言い換えると、４「頂点」ではなくても「一般に」復元不可能では？？？

「私的数学塾」の解答を教えて下さい、興味があります。

１辺上に２点を取る方法ですね。ここまでは私もできたのですが、
４辺にそれぞれ点を配置するのが解けませんでした。

＞元々のタイトルが「正方形の復元」とありました。

矢張りですね（下記No.4707参照）。
これは一般に（復元）不能問題になります＝一般に無限に描けてしまう、逆に言うと一通りしか描けない点の配置は？？？

判りました。作図法。
判ってみると簡単。
もしかしたら此れって作図の基本なのでしょうか？
作図製図と云えば中学の技術家庭くらいでしか教わったことが無いので
常識無くて申し訳ありませんでした。
でも面白いなあ。

＞緑線で描いた正方形は一通り

青や赤の正方形のように、拡大出来ないという意味で、一種類ではありません。
添付動画で辺の残像（包絡面）を作った時、その中に第4の点が存在するか否かですね。

与えられた点の中から３点を使って描ける正方形を考えてみました。
緑線のように、各辺の一つ（頂点に来る場合は二つになる事もあり）で描いた時は一通り。
青実線、赤実線の正方形は最少のものを表しています。

下の深緑（×印）の点は、緑線の正方形（各辺に一点）は出来ませんが、青破線、赤破線では作図可能です。
各辺に一点の条件が無ければ、描ける正方形は無限になりますね。

しかし、中央の黒（×印）の点の位置では作図不能です。

この作図可能、不可能の「一般論的判断」を説明するのは、小生には到底出来そうもありません。
従って、作図問題としては「酒転童子さん方式」が良いと思います。

即ち、正方形を描き、辺上に４点を配置後、正方形を消去してから元の正方形を復元せよ！
しかし「一般的には」無限に正方形を描けますので、別の条件付加が必要になるかも．．．

説明不足だったようです。
Q1880は描けない例でした（No.4703参照）。

いろいろ考えたけど、私は描けませんでした…orz

前の動画では添付図の赤線を考えていませんでした。
赤線の場合は正方形を無限に描けますが、最少の正方形を決めることが出来ます。
青線、緑線での考察では、残像というか包絡線的な考察が必要なようですね。

「私的数学塾」の解説を見てみたいですが、一寸覗いただけでは判りませんでした。
と言って一般解というか、適切な説明が見付かった訳ではありませんが．．．

moonlightさん、解説若しくは上記塾の詳細を教えて下さい。

描けない例として、3点が同一直線上にある時は説明し易いようです。
図の3点A、B、Cは同一「辺」上に有る必要があります。
その時の最少正方形を黒線で表示しましたが、点Dがその中にある時は正方形を作る事が出来ません。

D'のように外にある時は、赤線のように無限に描けるのですが・・・

説明し易い「描けない例」でした。
3点A、B、Cを通る円と点Dの関係も考えてみましたが、そんな簡単な理屈ではないようですね。

4点A、B、C、Dが与えられているときの作図の基本は、AB等を直径とする円になりますね。
添付動画で緑線が点Dを通る時＝点Rが青円上に来る時が解になります。
動画の赤円はPQ=QRを表しています。

逆に言えば、正方形PQRSをどのように描いても、点Dがその辺上に来ない時に解無しとなります。
出題の板のNo.1880の図はその一例になります。

これを一般的に表現するにはどうすれば良いのか、今の処うまい説明が浮かんでいません＝moonlightさんの解説待ちです。
3点A、B、Cが一直線上にある場合は、それなりに判り易い説明が可能なのですが．．．

S2の求め方だけを説明します。
添付図のような緑の直角三角形で考えると、中坊の範囲で解く事が出来ます。

S3の求め方も基本的に全く同じで、円が絡む時にはピタゴリアンが有力なようですね。

Q1863もQ1870（HANAYOさんの問題）も、ピタゴリアンを基に計算出来ます。
この計算も中坊の範囲ですから、難しい問題では無く面倒臭い（？）問題と言った方が良さそうかな？

これは昔ながらの紙と鉛筆が活躍しますね。

これなら三平方の定理で簡単ですね。

じっくり考えてみます。

�@〜�Bの作図は、S1*(S0+S1)の長方形を、(S0-S1)*Xへの等積変換。
�C、�DはX*(S0+S1)の長方形を、(S0-S1)*S3への等積変換。
即ち、S3=S1*(S0+S1)^2/(S0-S1)^2を計算しています。

因みに、S2（黒破線円の半径）=S1*(S0+S1)/S0（多分！・・・既に酔っています）。

なぜ描けるのか…
解読に時間が掛かりそうです。

赤円の半径をS0（実際は作図ではこの区別不要）、青円の半径をS1とします。

�@点Pを中心に半径S1の円を描き、図のように交点Rを求めます。
�A縦軸に対して幅S1の線を引きます（コピー）。
�BRと上記の線と横軸との交点を結び、青円の中心を通る平行線を引きます。
�CRと上記の平行線と横軸の交点を結び、同様に平行線を引きます。
�Dこの平行線と縦軸との幅が求める緑円の半径S3となります。

以降の作図は簡単なので省略しました。
図の黒破線円は、赤円、青円、緑円に接し、且つ下部の黒線にも接している事を確認する為だけの作図です。

但し、図を見て判る通り、これはS0=S1の時は使えません（Rが赤円の中心）。しかし、これは緑円は描けない時になります（黒先に平行な直線≠円）。
また、S0＜S1の時、緑円の位置は添付図の右側になります（作図原理を考えれば納得いくと思います）。

HANAYOさんへ：
直径が10cmですから、No.4693の斜辺の長さが5cm。
従って、菱形の長い方の対角線は一本が5√3�pになります。

ピタゴラスの定理を参照して下さい。

即答ですね。

菱形を４分割すると、斜辺２：短辺１：長編ｘの直角三角形ですね（以下、略）。

やはり計算するしかなさそうですねぇ。

出題図を参照下さい。
青円の半径：赤円の半径＝(3√17-5)/8
√17は定規とコンパスで描けますので、確認して下さい。
参考）青円の半径：緑円の半径＝(5√17+13)/16になります。
描き方は簡単ですので省略します。　その代りの新年ご挨拶画像をアップしました（シンプルですが）。

菱形で攻めたら１１手より縮まらず、
BC間を２等分してABとの差を反転すれば出来る事に気づいて
ようやま７手までは縮まりましたが、他の方法は見つかりませんでした。
６手に気づいたのはさすがです。

＞7手にはなりましたが
矢張り同じでしたか・・・。　小生の作図例を紹介します。

�@定規で直線ABを引く
�A〜�Cコンパス２回、定規１回でA、Bの中点Mを求める。
�DBを中心に半径BAの青円を描いて�@との交点Pを求める。
�EMを中心に半径MPの緑円を描き�@との交点Qを求める。
�FCを中心にした半径CQの赤円が求める円。

この解答を書いている内に緑円が不要な事が判りました。
�D修正：青円と�Cの直線との交点をRとし、
�ECを中心に半径CRの円を描けば工数が一つ減った（緑円不要）！！！⇒小生では今の所６回ですね。

と思ったら、AB＜BC/2の場合はこの方法は使えませんでした（６回はAB≧BC/2に限る）、従って「一般に」７回でしょうか？？？

7手にはなりましたが、これ以上は無理かなぁ…

う〜ん、１１手より縮まらない…orz

円Pと円Qとの交点（弧AC上）をRとすると：
PQはBRの垂直二等分線になるんですよね・・・その他、各半円の中心とか接点を結んでいくと面白そうな性質があるんです。

不思議ですねぇ…
弧AC上でも円Oと円Qが交差してますし、なかなか面白いですね。

実は何故描けるかと言う問題を出そうと思ったのですが、結構面倒なので断念した描き方です（証明は意外と簡単だったりして・・・）。

図は直径ＡＢの半円（赤）、直径ＢＣの半円（青）、直径ＡＣの半円（黒）を表します。
点Ｐ、Ｑは夫々円弧ＡＢ、ＢＣの中点です。
点Ｐを中心に半径ＰＡの円、点Ｑを中心に半径ＱＣの円を描きます（空色）。

この円と赤、青、黒の円弧との交点を求めると、それが緑の接円の接点になります（時間のある方は証明してみて下さい・・・冬休みの宿題？？？）。

二つあったか！　反感は浮かんでいませんでした、流石です。