moonlightさん、もっと頻繁に発言して下さい、みんな期待しています。
又、GeoGebraも面白いですよ＝相当遊べます♪

なかなか面白い問題でしたよ♪

仰る通り「アポロニウスの円」でイメージするのが判り易いですね。
私はCADじゃなくてTeXとMetaPostで図を描いているのですが，
基本的には発想も実装も変わらないのではと思っています。

「外側」ってのをずっと考えたこともなくって，
先日ハッと思い付いたので嬉しく？なって投稿した次第です。

前のコメントは修正する必要がありそうです。
今日の午後に検討して、夜にでも（呑み会が無ければ）再コメントする予定です（まぁ、一寸閃いただけですので何とも言えないですが）。

これは一寸（大分）ムズかも知れない。
普通は正方形より正三角形の方が易しいのだが．．．
No.4320での計数的考察が上手く行かない（滅茶苦茶面倒です）。

外側の三角形の辺と、中の三角形：赤円比率の関係を見ると、定規とコンパスでは無理？？？（又出来ない問題を考えてしまった？？？）

これは発想を変えて、正三角形に外接する「相似の三角形」で考えると判り易い解答が得られそうですね♪

Q1807を応用すると作図工数は大幅に減りますね。

描き方の詳細は省いてありますが、No.4318を読めば判ると思います。

勿論、後は回転と拡大・縮小です。

No.4318を使って与えられて比率の赤円・青円を描けば楽なのですが・・・
拡大・縮小・回転を使わない方法です。
与得られた比率で出来る円の径を夫々r、sとし、r/s=tと置くと図の式が出来ます。
これは正方形の1辺を1としたもので、a+b-1=2r, b-a(b>aとして）=2sから導いたもの。
図中の式は四則演算と平方根ですから定規とコンパスで求める事が出来ます。
但し、√の前を「±」としてますが、t>1の時＋、t<1の時−になり、t=1の時は√の中がゼロ。

尚、No.4300の動画は、この式を使って描いたものです。

さすがです。
�僥DEから求めて行ったのですねぇ。

中央の正方形の内接円を描きます（黒円）。
次に赤円の中心から黒円に接線を引き、赤円との交点を求めます（緑の小円）。
接線は日本引けますが、一般に使えるのは一つだけです（使えるのは赤円と黒円が同径の時のみ）。
後は緑の小円の点から前の接線に垂直な線を引いて空色線との交点(青○）を求めてほぼ完了。

この発見は偶然（GeoGebraによる試行錯誤）ですが、Q1804の作図原理の応用で理屈は判りました。

尚、Q1804の一般解の作図例は、追って掲載する事にしますが、この作図方法を応用すると、拡大・縮小・回転で描けますね。

EDが∠BEFの二等分線になる事を、三角形の合同で説明しましたが、�傳EFと�傳DFが底辺BFを共有する二等辺三角形でも説明可能ですね。
ここから直ちにDE⊥BF ---> ∠BED=∠FED！

先ず�僊BC∽�傳CE（頂角が等しく底角を共有）なのでBC=BE。
新たに作った�傳EFは正三角形ですから、BC=BE=EF=FB、従って�傳CFは二等辺三角形。
∠CBE=45、∠EBF=60なので�傳CFの頂角は105゜ ---> 底角∠BCF=∠BFC=37.5゜
∠ACBは(180-45)/2=67.5 ---> ∠DCB=37.5(=67.5-3)、従って図の緑線は点Dを通る。
次に�僖BFを見ると、∠BFD=∠BFC=37.5、∠DBF=105-67.5=37.5、なのでDB=DFの二等辺三角形。
�傳DE≡�僥DE（BE=FE、BD=FD、DE共通）---> ∠BEF=∠FED=60/2=30

これは正三角形BEFを描いてからCADで角度を測ったり、円コマンドで同じ長さを調べたり・・・
そこから理屈を考えだした次第です。

他の補助線もあると思いますので、見付けたら別解を発表して下さい。

尚、添付図の緑線は説明の為にわざと曲線を使いましたが、CADで直線を使うと完全にCDに重なり解説が難しくなります・・・なので曲線！

CDFが同一線上にあることまでは判ったけど、
そこからどう展開していくのかのネタが思いつかない…

�傳CFは二等辺三角形ですので、底角は幾つになるでしょう。

更に謎が深まったような気が…orz

小生の使った正三角形は添付図の通りです。

他にもあるのでしょうが、これらの角度問題は、二等辺三角形を補助線として使うのが良さそうです。
勿論、正三角形は二等辺三角形の一種！

やはり、角度を追って行っても解けないですねぇ。
座標計算する気力はないし…
題意どおり定規とコンパスだと、円周角か直角三角形が使えそうですが、
ネタが全然思いつかないです。

確かに・・orz
拡大したら、隙間が有りました。
う〜ん、さすがに簡単じゃないなぁ〜

小生は先ず接線を描いて求めました。
どこからどこへ？？？
これも昨日出題ですので詳細は省きますが、色々な描き方があると思いますので是非挑戦を！

これは出題日が昨日なのでヒントのみ掲載します。
補助線は正三角形です（まぁ、この手の問題は大体同じですが．．．）

今度は赤円：青円＝１：２（前の逆）

図の空色の線は正方形の一辺を直径とする円です。
緑円が少し面倒＝半径が正方形の一辺の（6-√6)/10、しかしこれは定規とコンパスで作図可能。
図は途中までですので、皆さん描いて確認して下さい。

この例で描き方の基本的な原理が判ったと思いますので、例えば１：３で描いてみて下さい。

平日（仕事中）に悩むのも問題ですので、一つずつ解答例を掲示します。

先ず、Q1804「青円：赤円＝２：１」の例：
正方形を斜辺とする３：４：５の直角三角形を描いて殆ど完成。
これで２：１の円が描けますので、時間があれば作図フォローして下さい。

但し、他にも描き方はありますので、時間のある時に挑戦してみては？

３：４：５なのでHIROSHIさんから直ぐに答えが出ると思いましたが、また出張かな？？？

＞実線正方形は点線正方形の各辺から小円に接するように平行線を引きました。

これでは描けない筈なんですが．．．
添付図は同心円半径を変えてみたものですが、直角二等辺三角形の傾きが変わります＝接線の角度が変わります。

当初は小生もこれで簡単と思ったのですが、単純に駄目でした＝確かめてみて下さい。

又は、Q1807に挑戦しては如何？

点線正方形は中央円の同心円と４本の接線の交点を結びました。
実線正方形は点線正方形の各辺から小円に接するように平行線を引きました。

コンパスと定規だと、回転投影の手間が凄く掛るのでもっと簡単な方法が
有るのじゃないかなぁ？？？

試してみたら、作図は簡単でした。
動画はGeoGebraで作成しましたが、Gebra機能（座標計算等）は使っていません。

又、動画では赤円径：正方形の辺を0.1〜0.4で描いていますが、赤円径比が１を超えてもOKです。

この描き方で、外の正方形を描く方法の説明が必要と思います。
真中の図の点線の正方形（又は外周の円）はどうやって描きましたか？

もう少し説明をお願いします。

描けるサイズで描いて、あとは回転と拡大縮小で投影かなぁ。

こんな感じに描ければ完了です。

No.4296のx^2、y^2、z^2を参照下さい。

ヘロンの公式を変形すると式の変換が少し楽になりました。
即ち、4S=√((x^2+y^2+z^2)^2-2(x^4+y^4+z^4))

最初のカッコ：x^2+y^2+z^2=(a^2+b^2+c^2)(t^2-t+1)となりました。
次のカッコ内は４乗なので少し気を殺がれますが、代入するとa^2*b^2、b^2*c^2、c^2*a^2の係数が全て０になるのですね。
結果：x^4+y^4+z^4=(a^4+b^4+c^4)(t^2-t+1)^2

こちらで検算した結果、前の解答が正しい事が再確認出来ました（レポート用紙１ページ分で十分でした）。

＞よくそこまで気力が続くなぁ〜
要するに時間はタップリあるのですよ。
従って、ちょっと気を抜くと呑み過ぎてしまいます（朝でも昼でも・・・）。

よくそこまで気力が続くなぁ〜
私もそうありたいものですが、なかなか難しい…

この項で示した式は一寸（大分）間違っていましたので訂正します。

辺の長さをa、b、cとし、No.4294で使ったaをtに置き換えました。
そうすると：
x^2=t*a^2+(1-t)*b^2-t(1-t)c^2
y^2=t*b^2+(1-t)*c^2-t(1-t)a^2
z^2=t*c^2+(1-t)*a^2-t(1-t)b^2
このtに3/8とか5/8を代入して下さい。

ここでt=1/2とすると、なんと「中線定理」ではありませんか！
という事で中線定理でググったら、スチュワートの定理が出てきました。
即ち、上の式はスチュワートの定理と呼ぶようですね。
確か中学の授業でこの式を導いたような遠い記憶．．．（半世紀以上昔の話）

No.4294では垂線を下ろして強引に計算しましたが、余弦定理の方が簡明です（但し、一々「cosθ」と書くのが煩わしい）。

GeoGebraでの確認動画を掲載します。
動画中のs/SはGeoGebraで面積を出して計算したもので、a^-a+1は前の計算結果です。

実際には点A、B、Cを動かし、s/S-(a^2-a+1)を表示し、常にゼロを確認しました。

a:bだと計算が面倒なので、a+b=1として図のような結果を得ました。
即ち、面積比率は「a^2-a+1」になりました。

問題の5:3について言うと、a=5/8又はa=3/8となり、どちらを使っても同じ値です。
これは図の式のaに(1-a)を代入すると同じ式になるので判り易いですね ---> (1-a)^2-(1-a)+1=a^2-a+1！
5:3の時は49/64になります。

図で言えば、赤線で作った三角形と緑線の三角形の面積が等しい事を意味します。
但し、一般に赤と緑を混在させるとこの比率は成り立ちません。
辺の内分比率が、5:3、5:3、3:5の場合も計算で出る筈ですが、もうヘトヘト。

底辺と高さの関係から力技で解きましたが、途中で試行錯誤が続きフォロー（検算）はギブアップ。書き込んだレポート用紙は殆ど判読不可！

この式を正三角形やGeoGebraで確認した結果、多分合っていると思います。

私じゃ気力が続かないもんなぁ…

x^2=(a^2+b^2-34c^2/64)/2
y^2=(b^2+c^2-34a^2/64)/2
z^2=(c^2+a^2-34b^2/64)/2

ここまで何とか整理しましたが、次の一歩に進めていません。
強引にヘロンの公式に当て嵌める事が出来るのかも知れませんが、公式の√の中を展開するのは体力的に無理！

きっと巧妙な方法が有るのでしょうね。

これをスッキリ解答できるのは、出題者のGAさんとHIROSHIさんくらいかな？

私は余弦定理の手前で挫折しました。orz

図のようにxを置いて余弦定理で計算してみました。
結果赤枠のような式が出てきて、a=b=cの時、x=7a/8でN/Tさんの計算と同じになります。
これを残り２本に適用し、ヘロンの公式などを使えば面積比率が出る筈！
しかし、古稀に手が届きそうな小生には、続ける「脳の体力」が無さそうです！！！

図をみていると、何とかの定理とか公式がありそうですが、霞んでいて見えません。
補助線（頂点から底辺への垂線）を引いてみれば何とかなる？？？

天気が良くなれば「紙と鉛筆」を持って、図書館に籠って・・・巧く行くと「FUKUCHANの公式」が出来たりして（実現の可能性＝１／∞）．．．

小生は問題文を読み違えていましたね m(_._)m
�儕QRと早合点していました．．．

辺を８とした正三角形で考えれば簡単でした。
計算すればAP=7となりますから、
196 * 8^2/7^2 = 256
でした。

赤線の３線でできる三角形という意味かな。
途中まで計算しましたが、脳の体力が続かず挫折しました。orz

画像を添付しました（緑の点が5:3の内分点です）。
赤の三角形と青の三角形では答えが違ってくるという意味です（前の発言参照）。
図を添付してくれると答えは一つになるのですが．．．

それとも、考えられる答えを全て答えよ！という問題？？？

修正です。
どのように内分するかで答えが違ってきます。

小生は単純に同じ回転方向で5:3に内分すると決めてしまいました。
例えばABを5:3に内分する点は二つありました（片一方は3:5と言うとの暗黙の了解があるのかな？）
出題文がAP:PB=5:3とかなら小生の前の答えだけになります（キチンと答えていませんが）・・・

考え方は同じです！

＞三角形を作ると面積が196になった
別に196でも解けるのですが、190の方が答えが綺麗？になりますね。
辺の長さ（比）と面積の関係で解けますので、皆さん、計算して下さい（小生はお休みします）。

前に発言した「アポロニウスの円」で描いてみました。
正三角形ではなく、任意の三角形に変えて描いています。

３：４、３：５の内分点、外分点（３：４では略）を直径の両端として円を描きます。
二つの交点が求める解になりますね。

正三角形以外では、同心円方式は面倒です（相似の三角形作図が厄介）。

これはQ1799ではなくQ1801作図ですが、軌跡で描くのが一番判り易くて正解ですね。

Q1799は、三角形が与えられていて拡大・縮小方式禁止なら、アポロニウスの円（酒転童子さんのアポロニウスの問題とは別）で解くのでしょうね。
多分、出題者の意図はアポロニウスの円と思いますが、moonlightさん如何ですか？

Q1801を見たらQ1791は私でも簡単に描けました。
時間が無いので内側だけですが…

小生の解答集２にデータをアップしました（久し振りの更新）。
GeoGebraをインストールしている人は、描き方が判ってしまうので見るのは少し待ってくださいね。

それにしても、この板を覗いている人で、GeoGebraをインストールしている人は何人いるのだろう？？？

同心円の比率が３：４：５の時の特別な描き方ですが、任意の円では通用しません。
垂直な線と正三角形を組み合わせています（＝150゜の線）。
小さな三角形は、辺の延長を使っても良いのですが、敢えて反転させてみました。

これはmoonlightさんの元の問題（長さが３、４、５の時の正三角形の面積は？）を解いていた時に見付けました。
尚、面積は 25√(3)/4+9(=(25√(3)+36)/4) になります（関係ありませんが・・・）。

尚、Q1799は、解答がアップされない時に掲載します。

考えてみれば、正三角形でなくても二等辺三角形なら同じ手法で描けるのでしたね。
では一般の三角形で出来るのだろうか？？？