三角形の周囲の長さ合計をLとすると：
L=2*(a+b+c)
No.5136同様、証明などという言葉が気恥ずかしくなるような判り易い性質です。

但し、これらは基本的で易しい式ですが、小生は最初にQ1977を解く時には全く浮かびませんでした。
頭が固くなっているのですね・・・「老化」で言い訳していますが．．．

Q1979で使った傍接円の性質：
三角形の辺、又はその一部の長さの関係で、よく使われる性質と思います。
b+c=a+d・・・Q1977の説明で使える性質でしょう。

解けたようです。
Q1979で述べた傍接円が解くカギの一つになりました。
説明図を整理して、日曜日にでも発表します。

∠Ｂを適当に設定し（赤マーク）、黄色線を引きます。
そこに中点Ｍから垂線ＭＨを下ろすと、∠Ｍ（青マーク）＝∠Ｂになるのは明らかです。
ここで点Ｍを頂点とする二等辺三角形ＭＢＤを描くと、図の∠ＤＭＢは赤の２倍。

このＤの軌跡は、ＢＣを直径とする円弧になりますから、描き方としてはＢからＡＣに垂線を下ろして終わりです。

出題文で：
＞まぐれ（？、仮定？）でも描けてしまいます
と言ったのは、作図工程が簡単な為でした。

正解です♪
円周角と中心角でもありますが、軌跡でも見付けられますよね。

出題文で言ったのは、ＢからＣＡに垂線を下ろすと、それが答えになってしまうと言う事です。

理屈は合同な三角形になるのかな？

説明は省略しますが、円周角と中心角ですねぇ〜♪
なかなか面白い問題でした。

描き方としては、15:15:6の二等辺三角形を描く・・・こちらの方が判り易かったですね。

ルートを使わない描き方：

15:15:15:21の等脚台形＝□ABEDを描けばルート不要ですが、これも計算結果で図形的に求めたものではありません。

＞Rが他の点と繋がらないんですよねぇ。
B、Q、Rは一直線上にあります。

でもどう解くのが良いのだろう？？？
これも相似比を使う事になるのかなぁ？

今一つだけ浮かんでいる補助線＝点Qを通る線で考えてみます。

なんだか観たことあるようなないような
とにかくあるとしても記憶にない。そして面白い。
図に描いてみました。
まだちゃんと考えてません。
角度でなんとかならんかと思うだけで手と頭が動きません。

何の糸口も見つからない…orz
Rが他の点と繋がらないんですよねぇ。
補助線が足りないのでしょうけど、思いつかない。

＞ルートも登場しないので何とかならないのかなぁと。
No.5121で発言した通り、ルートは登場しますが（AC=10√10）、平方根は定規とコンパスで作図容易です。
□ABEDが等脚台形であり、BE=21と整数になる点に注目していますが、この値も計算で出しているので・・・

AB=AD=DE=a、BC=CD=bの条件で描く方法を検討中です（やはり軌跡は使えないかも）。

描けそうで描けない、なかなかの難問でした。

何やらレッドブルという謎の飲料企業の企画だったようです。
旧帝国大学の図書館に宝箱と三問の問題が置かれて...という。
ちょっといかにもな問題なのですけど，面白い。
手で適当に三回ほど描き直すとそれらしいものが描けたのですが，
計算なしで正確な図が描けるかなとちょっと思った次第です。
ルートも登場しないので何とかならないのかなぁと。
（それよりもまぁ問題を作る参考になる話が転がっていないかとか）

相似比を使って式の展開を図っていますので、基本的には作図での説明が可能な気がします。
もっとも、判り易い説明が出来るか？と聞かれると．．．

＞1974は図形的に解くのは無理みたいでした。
□ＡＢＥＤが等脚台形なので、何とかならないか検討してみます（軌跡は無理っぽいです）

残りはQ1970の図形的説明ですね、アポロニウスの円絡みなので、意外と上手い方法があるかも・・・

どちらも解けたのですねぇ。
1974は図形的に解くのは無理みたいでした。

AB=AD、BC=DCですから、図形はACを軸として対称形です。
従って、点Aを原点、点Cをy軸上の点とすると式が簡単になりそうですね（B、Dはy軸に対称）。

A=(0,0)、C=(0,Cy)、B=(Bx,By)、D=(-Bx,By)と置きます（それぞれ正の値とします）。
題意より、Bx^2+By^2=15^2、Bx^2+(Cy-By)^2=25^2
E=(Ex,Ey)とすると、平行の条件から：
(Ey-By)/(Ex-Bx)=-By/Bx
点Eは直線DC上の点である事とDEの長さが15である事で計算すると答えが出てきます（煩雑なので略しますが．．．）。

結果、Cy=10√10　即ち、ACの長さは10√10・・・これは定規とコンパスで作図容易です。
因みに、Bx=3√15、By=3√10、Ex=-6√5/5、Ey=36√10/5

尚、B=D=(0,15)、C=(0,40)、E=(0,30)でも数式的には条件に適合しますが、一直線に並んでは図形的に×かな？

内接円Ｏの半径をｒとし、�凾`ＢＣの面積をSとすると：
2S=r*(a+b+c)
Ａから辺ＢＣに下ろした垂線の長さをhとすると：
2S=a*h ---> r*(a+b+c)=a*h・・・�@

一方、�凾`ＢＣ∽�凾`ＰＱですから、
d/a=(h-r)/h=1-r/h ---> r/h=1-d/a ---> r=(a-d)*h/a・・・�A

�Aを�@に代入して：
(a-d)*h*(a+b+c)/a=a*h ---> (a-d)*(a+b+c)=a^2
---> a^2+a*(b+c)-d*(a+b+c)=a^2 ---> a*(b+c)=d*(a+b+c)・・・証明終わり！

図形的な説明は？？？

描けなかった…orz
計算しないとダメみたいですねぇ。

言い忘れました！
moonlightさん、お久しぶりです♪

これも数式で解く事は出来ました。
問題文からBC=CD=25ですから、それ程難しい式ではありませんでした。
一つの解は添付図のような形です（ACの値は後程掲載します＝勿論、作図可能な長さ）。

青線分の長さが15、赤線分の長さが25です、念の為。

もう一つの解はBとDが重なる形状になりますが、AD//BEや四角形と言う条件に適合すると見るか？？？（広い意味ではＯＫでしょうが．．．）

取り敢えず計算で解く事は出来ました。
内接円の半径をｒ、ＢＣを底辺とした時の高さをｈとし、三角形の面積の式＋αです。
計算式は別途掲載予定ですが、図形的にはまだ手掛かりが掴めていません。

内心と各辺の比例関係が思い出せない・・・orz
「解く」以前の問題だなぁ。

実は出題図の動画は、点Ｑを点Ａを通り傾き―１の直線上に設定しました（Aを原点といた時、y=-xの直線）。
即ち、N/Tさんの説明は正解で、多分一番判り易いと思います。
図形的には、上記の補助線を引けば判り易いですよね。

矢張り、図形問題は補助線が重要です！（Q1971も同様）

BDとAQはABに対して常に45゜で平行。
△BDQは底辺をDBとすればQは底辺に対して平行移動しているだけなので
高さが変わらず面積は一定。

久しぶりに解けた気がする…

左側の補助線は気づきませんでした…orz

図形的な説明です（エレガントか否かは別として）。

�凾`ＤＰを点Ｐの周りに90゜回転すると、点ＤはＢと重なり、ＰはＰ’に移ります。
角度を見ると、点Ｐ’は直線ＢＣ上にある事は明らかですが、Ｐ’は点ＡからＡＥに垂直な線を引き、直線ＢＣとの交点にもなっています。
後者の方法でも�凾`ＤＰ≡�凾`ＢＰ’の証明は容易ですね（２角１辺が楽かな？）。

ここで�凾`ＥＰ’に注目すると、�凾`ＦＥが二等辺三角形ですから、点ＦはＰ’Ｅの中点になります。
即ち、赤線＋青線＝緑線・・・大分説明を端折っていますが、これはいつもの（得意な）手抜きです。

少し付け加えると、a=a'（折り返し）、a=a''（回転）、a=b（錯角）・・・これ位で良いかな？

おっ！出来ているようですね。
図を使った説明は、出来るだけ早くアップする予定です。

補助線を使って直角三角形！
点Fが斜辺の中点になるのですね（作図ソフトの無い環境より）。
△AFEは意味を持ちますね。

△AFEを使うと思ったのですが、解けそうにない状態です。
別の方法となると、かなりの難問ですねぇ・・・

出来たかも・・・です。
ＤＰ＝Ｄ’Ｐに眼を向けない方が良さそうです（色々な解き方があるので、絶対駄目ではないでしょうが．．．）。
二等辺三角形は使いますが、違う角度から解けたかも知れません。

しかしQ1970は、まだ糸口が掴めていません＝大分時間が掛かりそう。

二等辺三角形を利用するのだろうなぁとは思うのですが、
そこから全然進まないです。

凄いなぁ。
最近は、正解が出るまで続けられる気力が続かないです。

結構簡単な式になりました（円の式からではなく、No.5120の完成図からピタゴラスの定理にて）。

b/a=√(((c/a)^2+1)/((d/c)^2+1))
c/a=2、d/c=4/3より：
b/a=√((2^2+1)/((4/3)^2+1))=√(5/(25/9))=3/√5

a〜dについては、出題図（再掲）をご覧下さい。

次は点Ｐの軌跡が円（弧）になる事の、図形的な説明に挑戦予定ですが、アラコキの脳には厳しいかも．．．

解けたと思ったのですが、甘かったか…orz

前に、e:fで納得してしまったのですが、eもfも中心は点A、Bではありません。
求めているのは出題図（Q1968）のa:bですから、e:fにはなりません。

小生が計算で求めたのは「円になる」所迄でしたので、更に計算した所a:b=√5:3になりました。

それで描いたのが添付図です（Pは辺AB上にある場合、P'が辺CA上にある場合で、一寸見ずらいですがご容赦を）。

上述の√5:3は共に定規とコンパスで得られる値（比率）ですので、これを何とか図形的に求められないか挑戦してみたいと思います（無理っぽいですが）。

アラコキ反射機能で答えてしまいましたが(No.5099参照）、折れ線同士の比率です。
No.5098の解説は一寸違うのでは？？？

数式の比率は違っているようで、古惚けた脳をもう一度活性化して考え直さないと・・・（時間が掛かりそうですが、何とか答えを出してみます）

数式で解く精神力は凄いと思う。

小生はアラコキになって、脳が確実に衰えています。
対角線の長さに頭が回らず、数式で（下図の赤円、青円）解いてしまいました。
これで、Q1970は簡単な問題になってしまいました。

因みに、筆者はAB=1、BC=tとして、Pの座標をtを媒介変数として求め、そこからPの軌跡（tに対する）を求めたのでした。
まぁ、気力だけは残っているかな？

1:2の交点の軌跡は赤円
3:4の交点の軌跡は青円
となるので、対角線の長さをｇとすると
f=2/3g
e=(4g-4g/7)/2=12/7g
となり、どちらも対角線の長さに比例するからBCの長さが変化しても f:e は同じになるから。

というので良いのかな？？？

やはり、単純に面積を出す問題じゃなかったのですねぇ。
作図しようとするまで気づきませんでした。

小生も最初は「この問題は何？！？！」と思いましたが、「マイクロソフト入社問題」がヒントになりました。
図形の基本が身についていないと言われるのかな？

「描けない」が正解かな？
AC=100の辺を直径とする円を描いても高さは50までしかならないから、
Bの角は直角にはならないと思う。

作図問題に変えようかな？
出題図のような直角三角形を、定規とコンパスで作図せよ。

普通に考えれば３０だけど、何か引っ掛けが有るのかな？？？

流石に素早いですね♪　色々な解き方があるでしょうが、平行線が一番判り易いかも・・・

＞正12角形の一部だと気付けば解けました
これは気が付きませんでした。　改めて「流石」です。

1 CAと平行にAB=EBとなる線を描きE点を求めれば△ABEは二等辺三角形となる。
2 ∠ABEは150゜であるから∠EABは15゜、∠BCAと∠CAEが等しくなるため
　台形ABECは対照となりCD=DA
3 後は計算すればα=105゜

正12角形の一部だと気付けば解けました。

矢張り、正三角形を見付けるのが「王道」かも知れませんね。
もう少し難しい問題が無いか、探してみます（算数オリンピックの方が良いかな？）

上面にも対角線を描いてから・・・
三辺が同じ大きさ正方形の対角線だから同じ長さであることを説明して
三つの辺の長さが等しい三角形は正三角形だから角度は６０゜と説明する方法と、
見る角度を変えれば３つとも同じ角度になることを説明して三角形の内角の和１８０゜
を３で割れば６０゜になると説明する方法の２つが思い浮かびました。

滑らかな面になってますね。
フリーでもなかなかの機能を持ってますねぇ。