実は出題図の動画は、点Ｑを点Ａを通り傾き―１の直線上に設定しました（Aを原点といた時、y=-xの直線）。
即ち、N/Tさんの説明は正解で、多分一番判り易いと思います。
図形的には、上記の補助線を引けば判り易いですよね。

矢張り、図形問題は補助線が重要です！（Q1971も同様）

BDとAQはABに対して常に45゜で平行。
△BDQは底辺をDBとすればQは底辺に対して平行移動しているだけなので
高さが変わらず面積は一定。

久しぶりに解けた気がする…

左側の補助線は気づきませんでした…orz

図形的な説明です（エレガントか否かは別として）。

�凾`ＤＰを点Ｐの周りに90゜回転すると、点ＤはＢと重なり、ＰはＰ’に移ります。
角度を見ると、点Ｐ’は直線ＢＣ上にある事は明らかですが、Ｐ’は点ＡからＡＥに垂直な線を引き、直線ＢＣとの交点にもなっています。
後者の方法でも�凾`ＤＰ≡�凾`ＢＰ’の証明は容易ですね（２角１辺が楽かな？）。

ここで�凾`ＥＰ’に注目すると、�凾`ＦＥが二等辺三角形ですから、点ＦはＰ’Ｅの中点になります。
即ち、赤線＋青線＝緑線・・・大分説明を端折っていますが、これはいつもの（得意な）手抜きです。

少し付け加えると、a=a'（折り返し）、a=a''（回転）、a=b（錯角）・・・これ位で良いかな？

おっ！出来ているようですね。
図を使った説明は、出来るだけ早くアップする予定です。

補助線を使って直角三角形！
点Fが斜辺の中点になるのですね（作図ソフトの無い環境より）。
△AFEは意味を持ちますね。

△AFEを使うと思ったのですが、解けそうにない状態です。
別の方法となると、かなりの難問ですねぇ・・・

出来たかも・・・です。
ＤＰ＝Ｄ’Ｐに眼を向けない方が良さそうです（色々な解き方があるので、絶対駄目ではないでしょうが．．．）。
二等辺三角形は使いますが、違う角度から解けたかも知れません。

しかしQ1970は、まだ糸口が掴めていません＝大分時間が掛かりそう。

二等辺三角形を利用するのだろうなぁとは思うのですが、
そこから全然進まないです。

凄いなぁ。
最近は、正解が出るまで続けられる気力が続かないです。

結構簡単な式になりました（円の式からではなく、No.5120の完成図からピタゴラスの定理にて）。

b/a=√(((c/a)^2+1)/((d/c)^2+1))
c/a=2、d/c=4/3より：
b/a=√((2^2+1)/((4/3)^2+1))=√(5/(25/9))=3/√5

a〜dについては、出題図（再掲）をご覧下さい。

次は点Ｐの軌跡が円（弧）になる事の、図形的な説明に挑戦予定ですが、アラコキの脳には厳しいかも．．．

解けたと思ったのですが、甘かったか…orz

前に、e:fで納得してしまったのですが、eもfも中心は点A、Bではありません。
求めているのは出題図（Q1968）のa:bですから、e:fにはなりません。

小生が計算で求めたのは「円になる」所迄でしたので、更に計算した所a:b=√5:3になりました。

それで描いたのが添付図です（Pは辺AB上にある場合、P'が辺CA上にある場合で、一寸見ずらいですがご容赦を）。

上述の√5:3は共に定規とコンパスで得られる値（比率）ですので、これを何とか図形的に求められないか挑戦してみたいと思います（無理っぽいですが）。

アラコキ反射機能で答えてしまいましたが(No.5099参照）、折れ線同士の比率です。
No.5098の解説は一寸違うのでは？？？

数式の比率は違っているようで、古惚けた脳をもう一度活性化して考え直さないと・・・（時間が掛かりそうですが、何とか答えを出してみます）

数式で解く精神力は凄いと思う。

小生はアラコキになって、脳が確実に衰えています。
対角線の長さに頭が回らず、数式で（下図の赤円、青円）解いてしまいました。
これで、Q1970は簡単な問題になってしまいました。

因みに、筆者はAB=1、BC=tとして、Pの座標をtを媒介変数として求め、そこからPの軌跡（tに対する）を求めたのでした。
まぁ、気力だけは残っているかな？

1:2の交点の軌跡は赤円
3:4の交点の軌跡は青円
となるので、対角線の長さをｇとすると
f=2/3g
e=(4g-4g/7)/2=12/7g
となり、どちらも対角線の長さに比例するからBCの長さが変化しても f:e は同じになるから。

というので良いのかな？？？

やはり、単純に面積を出す問題じゃなかったのですねぇ。
作図しようとするまで気づきませんでした。

小生も最初は「この問題は何？！？！」と思いましたが、「マイクロソフト入社問題」がヒントになりました。
図形の基本が身についていないと言われるのかな？

「描けない」が正解かな？
AC=100の辺を直径とする円を描いても高さは50までしかならないから、
Bの角は直角にはならないと思う。

作図問題に変えようかな？
出題図のような直角三角形を、定規とコンパスで作図せよ。

普通に考えれば３０だけど、何か引っ掛けが有るのかな？？？

流石に素早いですね♪　色々な解き方があるでしょうが、平行線が一番判り易いかも・・・

＞正12角形の一部だと気付けば解けました
これは気が付きませんでした。　改めて「流石」です。

1 CAと平行にAB=EBとなる線を描きE点を求めれば△ABEは二等辺三角形となる。
2 ∠ABEは150゜であるから∠EABは15゜、∠BCAと∠CAEが等しくなるため
　台形ABECは対照となりCD=DA
3 後は計算すればα=105゜

正12角形の一部だと気付けば解けました。

矢張り、正三角形を見付けるのが「王道」かも知れませんね。
もう少し難しい問題が無いか、探してみます（算数オリンピックの方が良いかな？）

上面にも対角線を描いてから・・・
三辺が同じ大きさ正方形の対角線だから同じ長さであることを説明して
三つの辺の長さが等しい三角形は正三角形だから角度は６０゜と説明する方法と、
見る角度を変えれば３つとも同じ角度になることを説明して三角形の内角の和１８０゜
を３で割れば６０゜になると説明する方法の２つが思い浮かびました。

滑らかな面になってますね。
フリーでもなかなかの機能を持ってますねぇ。

フリーの３Dソフト「PTC Creo Element/Direct Modeling Express」で描いて測定出来ました。

描きやすくする為に、一辺の長さを１００倍しましたので、体積＝416666.666667 となりました＝5/12*(100^3)

フリーなのに結構使い易いですからＤＬして試してみては如何でしょうか。
但し、読み書き出来るファイル形式が限られています（３Ｄ−ＰＤＦ不可）。

さすが、上手くできてますねぇ。
これなら形状が判りやすいですね。

5084.pdf ロフト機能による３Ｄ化の限界か、体積は０．４２でした＝誤差範囲ですが、０．４１７を期待していました。

私の方はやはり致命的なミスが有りました。
計算し直したところ

三角形の面積
　　√3・(x^2-x+1)/2
Δxに対する三角形の厚み
　　√2 /(2・√3) dx
Δxに対する三角形の体積
　　√2・(x^2-x+1) /4 dx
∫[0→1]√2・(x^2-x+1) /4 dx
= √2・5/24

となりました。
今度は√2が不足しているかも…orz

ヒドイ間違いをしていましたね。
稜線は全て直線（線分）でなければなりませんでした（GeoGebraで描いたNo.5076が正しい形状）。
即ち、正三角形の辺の長さが√2、残りの三本の稜線の長さは１ですね。

機械系の設計では殆ど現れない形状なので、頭の中が整理されていませんでした。
有償の３Ｄ−ＣＡＤで再挑戦します。

出題図の点Pの位置を考えます。
AからBに（０→１）に変化する時、立体の高さ（正三角形に垂直方向）は０→１/√3
この高さをｈとして、正三角形の面積を変形したのが、No.5076の「V=」以下の式になりました。

私の方法だと各点の移動量をｘとしたので０→１の変化にしたのですが、
何か間違っていたのでしょうねぇ…orz

＞私は√3が残ってしまいました。
今日「晴れて？」手書きで式を作り、積分してみました。

多分、積分範囲を間違っているのではないでしょうか？
小生は簡略化し、0--->1/√3で積分した結果、√3が綺麗に消えてくれたのを確認しました。

私は√3が残ってしまいました。
やはり積分を忘れてしまっているのかなぁ…

5077.pdf
フリーソフトを使って「それらしい」形状を作ってみました。
ＰＤＦ出力が出来る「DesignSpart Mechanical(DSM)」にはロフト押し出し機能がありません。
従ってＰＴＣのフリーソフト「Creo Element Direct Modeling Express」という長ったらしい名前のソフトで作成してみました。
これをＳＴＬ形式でDSMに移しPDF化しましたので、面が三角形で構成されています。

グルグル回して「それらしい」形状を確認して下さい。
尚、どちらも体積計算が出来ませんでしたので、No.5076の検証はこれでは無理でした。

AP=xと置くと、正三角形PQRの一辺の長さ：a(x)=√2*(1-x+x^2)
その時の面積：s(x)=(a(x))^2*(√3)/4
出来上がる立体の底面を�僊CIとし、高さをhとすると：
h=0 ---> 1/√3 ⇒ x=0 ---> 1 ですから：

V=∫[0 ---> 1/√3]{(√2*(1-√3h+3h^2))^2*(√3)/4}dh=5/12

No.5070の図で、赤と青の三角錐を取り除いた体積は2/3ですから、これの5/8になったのですね。
数値的には簡素な値ですので、積分を使わなくても「頓智（？）」で解けそうな気になりました（自信はゼロ）。

一応形状的な画像を掲載しました・・・次は３Dで描いてPDFに変換してみようかな？（ロフト機能を使うしか無さそうですが）

5/12になるようですね。
キチンとした式は、今週中に掲載予定です（熱はないが何となくダルイので不安）。

矢張りボォーッとしてましたね。
＞同時に立方体の体積も３等分されます。
ウソばっかり！⇒１：４：１
赤、青の三角錐の体積は1/6ですので、1/6:4/6:1/6。
従って、求める体積は2/3以下。

インフルではないのですが、鼻風邪をひいてぼやぁっとしています。
解答はuinさんにお任せですね。

三角形の面積計算ですでに間違えてました…orz

>　カヴァリエリの原理

情報ありがとうございます。
色々な公式の元になっている原理なのですねぇ。

カヴァリエリの原理

計算が簡単に出来ると思ったら、筆算しないと混乱しそうです。

取り敢えずの考察ですが、スタート時の正三角形（赤）と最終の正三角形（青）と添付図に示しました。

この赤面と青面により、対角線FDは３等分され、同時に立方体の体積も３等分されます。
求める立体はこれより小さいですから、体積は1/3以下！
近い打ちに筆算して数値をアップしたいとおもいます（1/6なんて単純な数値になるのか？？？）。

APの長さをxとすると、その時の正三角形の一辺の長さは√(2(1-x+x^2))。
この時の面積は：(1-x+x^2)*(√3)/2（明日再確認しますが・・・）
これで積分すれば良いと思います＝捻じれているのは無関係。

確か矢野健太郎氏の本で見たのですが、添付図の図形の面積は同じ。
同じ高さの線分の長さが等しければ、面積は等しいという事を誰か（？）が証明した筈です。
これは体積でも同じで、同じ高さの面積が等しければ体積も等しい！！！

この立体の高さは判りますので、後は計算だけでしょうね（面倒臭いですが）。
それにしても、この定理の名前を忘れた Orz
酒転童子さんならご存知かも．．．

いずれにしても整理して再度発表予定です。

尚、＞体積は5/6になるのかなぁ？？？
全体の立方体の体積が１ですから、こんなには大きくない筈でしょう。

三角の面積が
1 + x^2 -x
かな？
積分は長く使ってなかったので自信はありませんが、
体積は5/6になるのかなぁ？？？

なんとなく（？）積分問題っぽいのだが、視点を変えると「頓智」で解けるのかなぁ？
今年いっぱい時間が潰れそうな予感がします。

う〜ん、中央が細めのねじれた三角柱になるのかな？？？
形を考えるだけでもかなりの難度かも・・・

二等辺三角形に気が付けば（この場合�凾bＡＥ）、基本的な性質で解く事が出来る問題でした。
尚、点Ｅは辺ＡＢ上にＡＣ＝ＡＥとしても説明出来ます。

＞一本では少し難しい？？？
これは、辺ＡＤをＡ側に延長するという意味で、判り難い説明だったかな？

ABとECが平行になるのですね。
三角の外側ばかりに補助線引いていたので気づきませんでした。