図形クイズ解答用掲示板 こちらはネタバレOKです。

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スウガクとくガウス FUKUCHANさんの解答集2
No.4934 Re:No.4933  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/31(Tue) 21:02  

老婆心ながら動画を作成しました。

AC一定の時の僊CMの等積変換です(点MはACに対して反対側もありますが)。

No.4933 Re:No.4930  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/31(Tue) 20:44  
>高さを一定にするには底辺を半径60/19の円に接するようにすれば
ここに、物凄い思い違いがあったのですね。

AC(長さ19)の辺を一定にし、面積30の三角形を作ると、点Mはどこに来るかですよ。
三角形の等積変換を思い出して下さい。

No.4932 Re:No.4928  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/31(Tue) 20:30  
正解です。
こう言う問題なら、孫に質問されても安心ですね。

No.4931 Re:No.4928  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/31(Tue) 20:29  
図の赤矢印の向きが、y=-1/2x+aになっている事に気が付けば簡単ですよね♪
No.4930 re;4927  投稿者:N/T 投稿日:2016/05/31(Tue) 19:04  

図が判りにくかったかもと思い描き直してみましたが、描き直したところで失敗している方法なのですよねぇ。
頂点移動も考えましたが良いアイデアが出なかったので、底辺×高さ/2 を30にするには
長さが固定されている辺を底辺として高さを60/19にするしかないと考えました。
で、高さを一定にするには底辺を半径60/19の円に接するようにすれば何とかなるかと考えたけど、
何ともなりませんでした。orz

No.4929 Q1928  投稿者:N/T 投稿日:2016/05/31(Tue) 18:54  

14+14-20 = 8
かな。

No.4928 Q1927  投稿者:N/T 投稿日:2016/05/31(Tue) 18:51  

2つの三角を別に描いておいてから、赤矢印の方向に距離x移動させ、交点を一致させる方法で描きました。

No.4927 Re:No.4926  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/30(Mon) 19:03  
面積を30にするというこの図が間違っていますよ。
No.4926 Q1926  投稿者:N/T 投稿日:2016/05/30(Mon) 18:38  

面積を30にするには図の方法しか思いつきませんでした。
軌跡は当然、直線にも円にもならず挫折中です。

No.4925 Q1926:作図のヒント  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/29(Sun) 16:46  
僊BCを直接描こうとせず、僊MCの作図にトライして下さい。
No.4924 Re:No.4923:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/29(Sun) 11:16  
図でABの長さを求める事が出来ました(小学生方式になっていると思いますが)。

AB=11となりましたが(CADでも確認)、これが判ってもQ1926の作図には役立たない???
この長さは判らなくても描けます・・・これは大ヒントかも。
尚、小生の作図方法は小学生には無理?簡単に出来てしまう???

No.4923 Re:No.4922 Q1926  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/29(Sun) 09:34  
作図だけなら結構簡単でした(小生の好きな手法を思い出して下さい)。
ABの長さを求める=小学生への問題の方が厄介でした。

図を使ってABの長さを求める方法を検討中です(しかし、式が必要になりそうな予感が・・・)。

No.4922 Q1926  投稿者:N/T 投稿日:2016/05/28(Sat) 20:05  

19^2=h^2+(h+a)^2
h*a/2=30 → a*h=60 a=60/h

361=2h^2+a^2+2ah → 1
=2h^2+3600/h^2+120
241=2h^2+3600/h^2

ここまでで挫折しました。orz

ただ、xは
x^2=h^2+(h-a)^2
=2h^2+a^2-2ah
なので、1の式と合わせると
x^2=19^2-240
x=√121 = 11

2辺の長さが判れば描けないことは無いかなぁ…
と考えたのですが、甘かった…orz

No.4921 Re:No.4920 Q1925  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/28(Sat) 14:25  

土日の箸休めとして出題しましたが、「土」だけで出来てしまいましたね。
まぁ、設計をしている人には易し過ぎる問題でした(箸休めにもならなかった)。

小生の描き方は:
@赤点と青点を結ぶ(黒線)
A青点の隣の点を通り、黒線と平行な緑線を引く。
B赤点を中心に90゜回転コピーし、左の空色線との交点を求める。
原理は軌跡で、もう一つ赤破線の正方形も正解になります(二つ揃って正解かも)。

No.4920 Q1925  投稿者:N/T 投稿日:2016/05/28(Sat) 09:01  

結局、軌跡になってしまいました。

No.4919 re:4917  投稿者:N/T 投稿日:2016/05/23(Mon) 18:13  
図だけでは判らないこともありますもんねぇ。
No.4918 re4917  投稿者:七十一 投稿日:2016/05/22(Sun) 09:53  
3:4:5の直角三角形!
No.4917 Re:No.4915:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/22(Sun) 09:18  

軌跡をCADで探す時、与えられた条件で幾つかの違った図を描きます。

添付図は色々な条件下での正方形を描き、対応する点を結んでみたものです。
これをCADでチェックすると見事に一直線上に並んでいます(但し、CADの精度範囲で)。

しかし、数式で確認したら、軌跡は赤破線のようになっていた!
こんな偶然もあるので、CADで確認しただけでは駄目と何度か忠告している次第です。

その点、GeoGebraでは動きが見えるのがGood!です(しかし、確認は必要)。

No.4916 Q1924(No.4912改)  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/22(Sun) 08:53  

描き方を軽くしてみました。

@半径を3等分(緑点)、4等分(赤点)します。
A図のように、赤点と緑点を通る緑直線を引いて、黒円との交点(青○)を求めます。

これはNo.4913の軌跡が y=3x/4-1/4 となるという作図原理をその儘利用したものです。
ここでも3:4:5の直角三角形が出来るのですね。

No.4915 Re:No.4914  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/21(Sat) 11:54  
小生は最初、2点で内接する正方形で考えていて失敗しました。

今回の軌跡でも、それが直線である事を説明するには数式での計算が欠かせませんでした。

No.4914 re:4912  投稿者:N/T 投稿日:2016/05/21(Sat) 08:35  
軌跡で考えていたのですが、取り方が間違ってました。
正方形を動かしたり、1個だけ大きさを変えてみたりしましたが
上手く行きませんでした。

No.4913 Re:No.4912:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/21(Sat) 07:35  

軌跡の説明動画です。
左の黒円を固定して作成しています。

赤○が◆に重なった時が解となりますが、小学生でも判る?
赤○の軌跡が「直線(線分又は半直線)」になる説明は難しそうですね。

No.4912 Re:No.4911  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/21(Sat) 05:54  

>図形的に解こうと頑張りましたが、全てダメでした。
軌跡は試していなかったようですね。
描き方としてはこちらの方が簡素でした。

@円の直径を一辺とし、円の中心と周に接するする図のような正方形(赤)を描く。
A半径を3等分する。
B3等分点(図の位置)と赤の正方形の頂点を結ぶ(緑線)
C緑線と円周との交点を使って青の正方形を描く・・・こらが求める正方形。

後の作図は簡単なので略。

No.4911 re:4910  投稿者:N/T 投稿日:2016/05/20(Fri) 19:38  
図形的に解こうと頑張りましたが、全てダメでした。
やはり計算で出すしかないのかなぁ???

No.4910 Q1924  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/20(Fri) 19:18  

黒円を単位円として、図の青の正方形の右上頂点の座標を(a,b)として計算しました。
aの長さは図中に記載した通りで、この値は定規とコンパスで作図可能です。
後は色々な描き方があるでしょう=判り易く描くか、無理に煩雑な描き方をするか・・・

No.4909 Q4808:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/20(Fri) 18:50  
3:4:5は小学校で習っているのですね(孫=小5は知っていましたが、5:12:13は知りませんでした)。

ピタゴラスの定理も学校で教えているそうです(副教材?)。
但し、その説明はとても数学的とは言えず、No.4907の図上部のような「絵」を使ったものでした。

No.4908 Re:No.4906  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/20(Fri) 18:39  
>う〜ん・・・小学生に△(3,4,5)は使えるのかなぁ?
小生の解説(No.4907)を参照して下さい。
3:4:5が直角三角形である事は使っていません(孫は知っていましたが)。

それよりも、5:7の説明をお願いします。
垂線を引いて定規で測ったら(CADで測定したから)は、定規とコンパス作図でも使ってはいけない方法です。

No.4907 Q1921:小学生向け  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/20(Fri) 18:33  

前にピタゴラスの定理云々と言いましたが、普通に正方形と直角三角形の面積を使いました。
又、3、4、5は偶然と言いましたが、下図の通り一辺が3、4、5の正方形を使っています。

図上部、5cuの正方形は、3×3の正方形に内接しています。
外側の正方形が9cuで、周りの三角形が2cuですから、これは小学生でも判ると思います。
但し、周りの三角形が合同で、中の赤四角形が正方形である証明は出来るか否か判りません。
孫(小5)は何となく判ったようですが、算数的であり数学的では無かったので不安です。

10cu、13cuは同様です。

これを並べ替えた形が図下部です。
全体の正方形(青枠)が8×8=64cuですから、緑の直角三角形と正方形の面積を引いて42cu。
これはヘロンの公式を使って計算したのと同じ結果(当たり前ですが)。

No.4906 Re:4903  投稿者:HIROSHI 投稿日:2016/05/20(Fri) 14:48  
う〜ん・・・小学生に△(3,4,5)は使えるのかなぁ?


No.4905 Q1924  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/20(Fri) 14:44  
>難問???
普通の2次方程式で簡単に解ける問題ですね。
Q1921が出来上がり次第、作図原理を説明する予定です。

No.4904 Q1921:閃いたかも♪  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/20(Fri) 14:41  

三つの正方形の面積は整数の平方和になっている事を発見、これで解く事が出来たようです。
図と解説を整理して、別途算数で(小学生に)理解出来るものを作る予定です。

添付の式で閃いた人は、小生より先に答えて貰っても結構です。
尚、右端の3、4、5は偶然でしょう。解説では使いません。

No.4903 Re:No.4901/02 Q1921  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/20(Fri) 12:09  
5:7なら真中の三角形の面積は底辺√5(5cuの正方形の辺)、高さ7√5/5ですから3.5cuです。
しかし、5:7となる理由を算数並みに(小学生向けに)説明してほしいのですが・・・

小生はなんとなくヒントを見付けました(まだ、多分行けそうという段階ですが)。
ピタゴラスの定理の活用です。
一両日中に、何とか纏めてみたいと思います。

No.4902 No.4901 図 訂正  投稿者:HIROSHI 投稿日:2016/05/20(Fri) 08:36  

失礼しました。 5cm2の正方形の作図が間違っていました。

No.4901 Re:4900  投稿者:HIROSHI 投稿日:2016/05/20(Fri) 08:19  

>5:7になる事をどうやって小学生に説明?

昨夜、帰り道で閃きました。

図のように、合同の正方形を描き足せば、

5:7 10:7 13:7 より △= 3.5cm2がわかりますね。


No.4900 Re:No.4898  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/19(Thu) 19:17  
>△を等積変形すれば
GeoGebraで似たような方法を見付けたのですが、「算数」オリンピックと言う事で別の方法を模索中。

>三角形内の青線を同じ寸法で測ると
これは一寸反則っぽいですね。5:7になる事をどうやって小学生に説明?
CADで測定しました!は駄目でしょう(大人向けでも)。

小生は孫との接触を増やして、何とか小学生風の答えを模索しています。

No.4899 re:4898  投稿者:N/T 投稿日:2016/05/19(Thu) 18:22  
よく見つけましたねぇ。
さすがです。

No.4898 Q1921 どうかなぁ〜  投稿者:HIROSHI 投稿日:2016/05/19(Thu) 17:24  

5cm2の正方形と真ん中の△を使って、

・△の頂点から、図のように底辺に垂線を引き
 正方形の対辺まで延長します。

・正方形内の青線を5等分し、三角形内の青線を同じ寸法で
 測ると 5:7 となります。
 (これがOKなら・・・出来ますね)

・あとは、残りの△を等積変形すれば、面積が同じというのが
 わかります。


No.4897 Q1921:苦戦中  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/19(Thu) 11:33  
六角形の面積は「42cu」と判っているので、こちらから逆に攻めてみる?
No.4896 Q1921  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/18(Wed) 18:56  
久し振りに小5の孫と相撲を取り、剣玉で遊んで気持ちを小学生に近付けています。
そうすれば、余弦定理でなく算数的な解が見付かるのでは・・・儚い苦労???

No.4895 re:4893  投稿者:N/T 投稿日:2016/05/18(Wed) 18:10  
なかなか難解な道を頑張ってますねぇ。
私だと気力が続かない…

No.4894 Re:No.1921  投稿者:HIROSHI 投稿日:2016/05/18(Wed) 15:26  
>只今、重心Gの関係7:24

 7:28の間違いです。すみません。

No.4893 Q1921 なんと難しい・・...  投稿者:HIROSHI 投稿日:2016/05/18(Wed) 15:24  

集中できる時間が少ないので、
数値を忘れてしまう・・・

等積変形に持っていきたいのですが、
うまくいきません。

只今、重心Gの関係7:24
△の辺の2等分点Mと頂点を結んだ線(緑)と辺の関係 7:19 7:22

緑線のM'P:PQ:QR
それぞれ、10:14:5 20:14:10 26:14:13

を利用しようとしていますが・・・
まとまりません。 う〜ん・・・

No.4892 Q1921:途中  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/17(Tue) 21:05  

Q1922の変形ですが、これでは「算数」ではないようです・・・依然苦戦中。

N/TさんやHIROSHIさんの回答待ち? 自身の閃き待ち???

No.4891   投稿者:N/T 投稿日:2016/05/17(Tue) 18:51  

添付漏れでした。

No.4890 re:4889  投稿者:N/T 投稿日:2016/05/17(Tue) 18:51  
私は直角と一直線上に配置した場合で考えてみました。
途中の角度だと余弦定理が必要になるでしょうねぇ。

No.4889 Q1922  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/17(Tue) 10:02  

これは余弦定理を使うと簡単に理解できる問題でした(図中に回答を掲示)。
三角関数での証明ですから、基本的に図による説明も可能ですが、面倒臭いので略します。

なお、この図を見て判る通り、Q1921はこれを使えば周囲と中央の三角形の辺の長さが計算出来ます。
しかし、ここからヘロンの公式で導き出すのは「算数オリンピック」的では無いですね。

小学生向きの解き方を探していますが、かなりの苦戦が予想されます。
閃きが無いと、今週一杯は苦闘が続きそうです。

No.4888 re:4887  投稿者:N/T 投稿日:2016/05/13(Fri) 18:10  
私は皆目見当つかずの状態です。
接円はやはり苦手だなぁ…

No.4887 Re:No.4884  投稿者:HIROSHI 投稿日:2016/05/13(Fri) 08:31  
う〜ん、1/4円からのアプローチは考えていませんでした。

私は当初、桃・緑・空円の関係から作図したのですが、

補助線と作図線が多くて作図手順が分からなくなりました。
(情けない・・・)

手数の少ない作図方法は記憶にあったのでそちらを作図例として

後日、投稿しますね。


No.4886 Re:No.4885  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/05/13(Fri) 07:14  
気が付いたようですね。
これはQ1921のヒント問題的なものです。
小生はこの性質を利用してQ1921を解いたのですが、余弦定理を知っていれば簡単に説明出来ます。

しかし、これを図的にうまく説明出来ないと、Q1921を小学生向きに解く事が出来ず苦労しています。

さぁ、朝飯が済んだら碁会合宿に出発です。

No.4885 re:4883  投稿者:N/T 投稿日:2016/05/13(Fri) 06:43  
よく考えたら、どう比率や角度を取っても2倍になるような気が…

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