＞なかなか面倒な式になりますねぇ…

前に少し触れましたが、緑円と青円、緑円と赤円の関係は結構スッキリしています。
緑、青、赤円の半径を夫々a、b、cとし、黒円の半径を１とすると：
a+2b=1・・・青円の中心は、黒円の中心と緑円の中心の垂直二等分線上にある。
2a(c+1)=1⇔2a=1/(c+1)・・・長方形と正方形の面積の関係（っぽい）。

上記の右のコメントを頼りに作図方法を検討しましたが、小生には無理みたいですね。

なかなか面倒な式になりますねぇ…
描くなら図形的に解かなければ無理っぽいですね。

小生の数学的な解法に関する追記です。

添付図の下段にある方程式を（f(x)=0として）解いて描きました（この式を単純化しようと今日まで悪戦苦闘しましたが、焼成には無理なようです）。

前の（No.4611）はGeoGebraで数式的に描きましたが、今回は近似解を使ってJW-Winで描き、CAD的に接している事を確かめました。

図の上の数値（41.009・・・）は、黒円の半径を100として緑円の半径を決めたものです。

色々トライしましたが、未だに定規とコンパスによる作図法は浮かんでいません。

HIROSHIさんの回答頼みですので、勿体ぶらずに宜しくご教示下さい（小生はギブです）。

＞数式での作図は苦手です。

数式によらない作図の掲載がまだでしたね。

なかなかそういう直感は身に付かないですから、うらやましい限りです。
私も直感だよりですが、最近は全く閃かなくなってます…

＞比率は幾つになりましたか?

さずが、計算は苦手です。

作図を行うにあたって、色々な字形を描いていくと
幾つかの法則（定理?)のが見つかりました。
（数学的に分かるものとわからないものとありますが・・・）

図形を見るとその当て嵌まりそうな法則が閃くようです。

私の作図法は作図のための、その法則や新しく見つけた描き方を
用いて描いています。

おかげで、かなり前にアポロニウスの円の条件なら考えられる配置の作図は出来ているようです。

いつも言っていますが、数式での作図は苦手です。

＞さすがに難しいですねぇ。

しかし、
＞これも簡単です。
との問題もありますので、これも理屈の説明を色々試行錯誤中です（時間が掛かりそう）。

さすがに難しいですねぇ。

Soddy Circles (エイチティーティーピーコロンスラッシュスラッシュmathworld.wolfram．コム/SoddyCircles．エイチティーエムエル) を参照して下さい。

これは、互いに接する３円とその３円に接する円が有る時、
2(1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2)=(1/a+1/b+1/c+1/d)^2
が成り立つというものです（a, b, c, d は夫々の円の半径）。

これを解いて、dを求める式を作ると：
d=｜(abc)/(ab+bc+ca-2√(abc(a+b+c)))｜（絶対値）
ここで、T=ab+bc+ca-2√(abc(a+b+c))とすると、
�@T=0の時、添付図左上の赤直線（半径＝∞）
�AT>0の時、右上の赤円
�BT<0の時、下中央の赤円

ここから外接円の径を求め、O1O2O3O4が長方形である事が証明出来ました（って、パクリですが）。

図の青円の径は、上記の式の「-2√・・・」を「+2√・・・」に変えるだけです。

直径ABを固定し、これを斜辺とする直角三角形を色々描きます。
これらの頂点を中心とし、互いに接する３円達を描き、その外接円の中心を求めてみました。

図のような法則性があるのですが（全て長方形になる）、理屈で証明する迄には至りませんでした。

そこで、数学的（数値的？座標的？）に証明しようとして、色々とググって検索＝自力は断念。
その説明は後程掲載します（この法則から逆にこの図の説明が出来ます）。

長方形は見た目にそう見えたので最初に考えたのですが、図形的には解くことが
できませんでした。O3以外の角が直角であることを証明できればいいと考えた
のですが、どう補助線を引いても良い案が思いつかず、三平方の定理で計算して
描きました。

N/Tさん、流石に早いですね。
３円が接している時はピタゴラスの定理が一番適している？

出題図でO1O2O3O4の四角形が長方形になるのですが、証明しようとすると一寸だけ躓きます⇒挑戦してみて下さい（これでO1の半径比も出ます）。

青円の半径をa緑円の半径をbとすると、
a^2+b^2+2ab+25a^2=16a^2+b^2+8ab
a^2+2ab+25a^2=16a^2+8ab
10a^2=6ab
10a=6b
b=6/10・a

割と簡単な計算で出ました。
このくらいなら何とか脳の体力が続くのですけどねぇ〜orz

緑円の半径＋青円の直径＝黒円の半径です（色はNo.4611参照）。

Q1853の作図方法を見て判る通り、図の青線と赤線の長さは等しい。
従って、緑で囲った直角三角形と黄色で囲った直角三角形は合同です。

内接円は正方形の辺の延長と黒○の点で接しています。即ち長方形と交わる事は無い。

こんな説明は如何でしょうか？

点Aからの垂線とBCの延長との交点を考え、合同の直角三角形が出来る事を説明すれば、そちらの方が判り易いかも・・・

又、孫が泣いているので、図と詳しい説明は追って掲載します。

接円の苦手な私じゃ図形的には解けなかったです。orz
やはり計算しか無いのかなぁ…

問題から BC=BA で、直角三角形に内接する円ですから、
円の端点（点線）がＡ点より出ることはできない。

こんなので良いのかな？

昔は歯車の設計（アンダーカットのチェック等）で包絡線が大活躍した時代がありました⇒こんなのを手書きで描いていた！（今は数式！）

もう一つの軌跡（No.4605の青線）を使っても、中央に同じ円が出現します。

黒円を単位円とし、夫々の円の半径をa、b、cとして計算で出しました。
３個の未知数に対して３個の直角三角形を使ってピタゴラスの定理で計算。
図の直角三角形の斜辺（破線表示）が２円の半径の和になっています。

＞これも簡単です。
結構面倒な比率が出てきましたが、HIROSHIさんの場合、各円の半径比は幾つになりましたか？？？

＞半径OBの円がネックみたいです。
済みません、もう少し詳しく説明頂けますか？　今の所意味不明！

半径OBと半径OJ(OK)を描き込んでいただけるとわかり易くなると思います。

半径OBの円がネックみたいです。

この作図は作図不可の範囲の説明用に考えました。
問題の正方形は2頂点が黒円の円周上に、残りの2頂点は
金円（半径OP)の円周上に在ることを用いてます。

�@　黒円の中心Oを求め、PとOを結びQ方向へ延長し
　　中心Oから半直線PQの垂線RSをOから引きます。

�A　∠ROQの二等分線OEを引き、中心O 半径OPの金円を描き
　　直径RSとの交点をA,Cとします。

�B　�Aの線分OEから垂直二等分線を半径ORへ引き、交点をBとし
　　中心B 半径BCの円を描き、半径ORとのもう一方の交点をDとします。

�C　点Aを中心に半径ADの円を描き、黒円との交点をJ,Kとします。

�D　点PとJ、点PとKを結びます。（青線）
　　線分PJ,PKが求める正方形の対角線です。

＊半径OPが範囲の1:√2-1の円周上に有れば、点C,Dは交わり
　問題の正方形は1つとなります。

説明が長くなりそうなので、書きませんが、図を描いていただければ
いろんな事がわかると思います。

解答ではありませんが・・・
＞あまり出る幕がないようなので、
少なくともHIROSHIさんの問題の、HIROSHIさんによる、HIROSHIさん流の解答をアップしては如何でしょうか？

小生が気付かない、色々な作図方法を勉強させて欲しいですね♪

一般に正方形は二つ描けますね（軌跡との交点が「一般に」２点）。

描けない点Ｐの範囲を考える時、内部の点Ｐでは無く円周上の点から考えます。
単位円Ｏの円周上に１点Ａを固定し、点Ｂを円周上で動かしてみます（図が混んでいますが）。
ＡＢを一辺とする正方形ＡＢＣＤで（出題図と名称が異なります）Ｃ、Ｄの軌跡は？

Q1838/1839の回答（解説）を参照して下さい。

ＣはＡを中心にＢを45゜回転し√2倍した点ですから、軌跡は円Ｏを同様に回転拡大した円ＯB（青円）となります。
ＤはＡを中心にＢを90゜回転したものですから、軌跡は円ＯR（赤円）となります。
夫々の円の中心も同じように回転、回転拡大した位置になり、四角形ＡＯＯBＯRは辺の長さが１の正方形です。

次に点Ａを円Ｏ上で移動すると、円ＯB、ＯRの軌跡が出来、その包絡線が緑円になります。

正方形の辺の長さと対角線の長さの差が緑円の半径＝√2-1

ＣＡＤであれば、円ＯB、ＯRを点Ｏの周りに回転コピーするとこの包絡線が浮かび上がって来ますね。
例えば回転角5゜でコピーし、連続コピー操作で綺麗な円が出来ると思いますので、ＣＡＤをお持ちの方は試してみて下さい・・・ポイントは『包絡線』です。

座標的には点Ｏから円ＯB、ＯRへの最短距離を計算する事になりますね（最短距離が点Ａの位置によらず一定である、と言うのが証明方法かな？）。

描けない範囲は、１：√2-1の円の内部で正解です。

＞描けない範囲は計算式が思いつかないです。

数式を使わない説明方法の案が浮かんだ所です。⇒明日にでも掲載予定！
何故明日？・・・孫が泣いてジィージを呼んでいるから（呼んでると勝手に思っているから）。

皆さんも早く孫を作ってもらった方が良いですよ、自分の子供より（直接の責任が無い分）可愛くて、可愛くて・・・・・
尤も、一番上の孫は高校生なので微妙．．．

＞拡大・縮小を使わずに直接描く事も出来ます。

直角三角形に内接する適当な正方形（青）を描いて考えてみます。
緑円に外接する三角形と、空色線に外接する三角形は相似です。
従って、この図で青線の長さ＝赤線の長さであれば、緑円と空色円は同じになります。

という事で、図のように角の二等分線を引いて、正方形の１点を選んでやれば後は簡単な作図になります。

描くのは軌跡を使えば簡単ですが、描けない範囲は計算式が思いつかないです。
軌跡で求めて実測したら (√2 - 1)r にはなったのですが…

易しい問題ですよね、なんで其の儘になっていたのかな？（易し過ぎが原因？）

しかし、拡大・縮小を使わずに直接描く事も出来ます。

あ、三角が与えられたものとして描きました。
まあ、円が接する三角が合同になることに気付けば、後は小さく描いて
拡大投影が楽かな。

左下の赤円を固定して作ってみました。
この動画の全ての形状が正解となります（この動画は一部です）。

勿論両方共定規とコンパス機能だけで作成してあります。

出題文では「最初に赤円(O)が与えられた時」となっていましたが、添付動画は三角形が与えられたとしています。

その心は・・・無限に描けてしまう為です。

軌跡以外の作図法もあります。

N/Tさんを待って。

軌跡と範囲は√が・・・

＞私の作図も黒円中心から緑□を求める作図法
動画をチャンと見て貰えると判る筈ですが、小生の作図法は黒円の中心ではなく、黒円（の円周）と、赤正方形の頂点を使っています。

私も軌跡で描こうとしましたが、複雑になるだけで手掛かりにすらなりました。

私の作図も黒円中心から緑□を求める作図法です。

色々な作図法がありますね。
楽しみです。

＞ばれてしまうと・・・
実際には数値比率を算出していません。
赤□と緑□で添付動画のように位置関係を決めました。
この時緑□の頂点の一つが、赤□の延長上に来ること、従って計算しなくても青の角度が45゜になる事が判りました。
即ち、赤・緑・青□で囲まれた三角形が直角二等辺三角形・・・これが作図原理の基本になっています。

これは赤□と黒円の比率には無関係に決まる性質ですね。

前に「大部分軌跡で」で導き出したというのはこの事です。

そうなんですよねぇ〜・・・

青□と赤□の辺の比が・・・
ばれてしまうと・・・

＞拡大、縮小でも・・・
との事ですので、敢えて拡大・縮小方法で描いてみました。
黒円ではなく青の正方形から描き始めました ---> 最後に黒円に拡大・縮小です。
描き方の原理や詳細説明は近い内に掲載予定ですので、他の皆さんは違う方式に挑戦して下さい。
空色が補助線で大部分軌跡で、一部計算で求めています（緑の対称位置の正方形は略）。

尚、与えられた黒円からスタートするなら、中心から傾き３の直線で青の正方形と黒円の設定を求める事になりますね。

少しだけ難しいのを希望♪

それよりも、良い問題を選ぶとかでは無く、ドンドン連発して下さいかな？

簡単なのが良いなぁ〜(^^;)

比率を用いて縮小、拡大で描けるストックの作図が
溜まってきました・・・

良い問題を探してみますが・・・
時間が掛かりそうです。

正解です♪
円の相似比＝外接する相似な直角三角形の相似比に目が向くか否かの問題でした。
もう少し難しい問題を考えねば．．．

与えられるのが長方形だけということで考えました。

元の長方形をBCFEとして、EBを半径とする円を描き、
Cから円に接線を引く、EとDを結べば△AEDと△ABCは EB:BCの比率の相似となる。
従って、それぞれの内接円も同じ比率になる。

一見難しそうな作図ですが、結果がシンプルで（2:3:4とか3:4:5とか）秀逸な問題ですね。
作図的には、ABの4等分点Ｉを求めるのが一番簡単なのでしょうか？

証明してたのですが、Ｋで直行する証明を勘違いしていて失敗しました。
気力が途切れると続かないですねぇ…
円の比率は2:3:4ですね。

説明文がありませんが、夫々の円は4本の線（辺）に接しているようです。
エジプトの直角三角形がヒントかな？
結構有名な問題らしいので、解答は皆さんにお任せします。

さすがです。
私も高さと底辺長の比とかも考えましたが、どうしても上手くいきませんでした。