4985.pdf フリーの3D-CADで角柱をカットしてみました。

それにしても、フリーで3D-PDFも出力出来るなんて最高、いつも重宝しています。
例の「DesignSpark Mechanical」です。
アセンブリ機能は少し使い勝手が悪いですが、仕事にも十分活用出来るソフトです・・・お試しあれ！

作図法としては、NとC、Mを結び平面NCHE'を作れば判り易いですね。
要するに点Nと線分CMを含む面を作り、空色・ピンクの面との交線を求めるだけの問題。

点Mが中点でなくても簡単ですよね、設計している人には初歩の問題でした。

正解ですが、小生が出題を間違っていました。

＞Ｃからの投影はＭ点で点になると思うので省略しました。
これはＢからの投影でした・・・それでも簡単ですが．．．

題意を勘違いしてなければ、こんな感じかな。
右図の赤線がＮからの投影です。
Ｃからの投影はＭ点で点になると思うので省略しました。

なるほど・・・
これも自力では無理だなぁ。
かなり柔軟な発想が必要だと思う。

これは三角形の内対角の和と外角の関係だけですので、詳しい解説は略します。
どなたか奇特な人が図で説明してくれると助かります。

色々な解き方があるでしょうが、小生は最初に正三角形を作りました（図�@）。
そうすると、168゜は60゜と108゜に分かれます。
�A緑線を引いて頂角108゜の二等辺三角形を作ると、底角が36゜で108゜から引いて72゜(�A')
�B青線を引いて四角形を作ると、赤線の長さが等しく、二つの108゜から等脚台形と判ります⇒底（？）角は72゜。
�C赤、緑、青の三角形は底角が等しいので二等辺三角形、従って頂角は36゜
二つの二等辺三角形（正三角形も二等辺三角形の一種）が底辺を共有しているので、夫々の頂角の二等分線（黒破線）は一致。
従って、x＝36゜＋(36/2)゜＝54゜が得られます。

No.4972で紹介した日経の解説は、多分CADで正確な図を描いた為に思い込みしたのかも知れません。
日経の関係者なので理数系が苦手？？？

上記の（日経のような）ミスを考慮して、添付図では「わざと」不正確な形状を作ってみました。

なるほど…
説明を見れば理解できますが、自力でこの発想は無理だなぁ。

これもQ1936と同様に正三角形を作る方式でしょうね（他にもあるでしょうが）。

図のピンクの正三角形を足してやれば、x＝150゜・・・暗算で計算出来ますね。
細かい説明は省いてありますが．．．

×Q.1938：注
○Q1939：注

算数オリンピックでは、中央の長方形をわざわざ正方形としていました。
これは一種の引っ掛けでしょうか？

スッキリしました。
反転もしてみましたが、正三角形に気づきませんでした。

これはBDをABに対して反転コピーするだけで解決する問題です。
BD'＝BD＝BCで、∠CBD'＝36+12+12＝60゜、従って�傳CD'は正三角形、言い換えるとD'を頂点とする二等辺三角形。。

�僊BCも二等辺三角形ですから、AD'⊥BC⇒x＝∠AD'B＝∠CD'B÷２
即ちx＝30゜。

日経の解説です。

＞赤の３辺を図のように反転コピーすると、左に「正三角形」が出来ます。
＞そうすると、右の五角形の内角は全て108゜＝正五角形。
＞従ってx＝108゜÷2＝54゜

どこがおかしいか判りますよね。
反転する前にy＝30゜と決め打ちです（確かに30゜ですが）。
これなら反転しなくても、四角形の内角の和＝360゜から簡単に計算出来ます。

これは或る意味整角三角形を解く常道手段が活躍しそうです（他にもあるでしょうが）。

二等辺三角形にはすぐに気づいていたのですが、そこからが・・・
何か補助線が足らないのでしょうねぇ…

凄いですね。
原理がかなり複雑そう…

No.4966の作図方法は、作図原理に捕らわれ過ぎていました。
作図としては、半径bの円を位置を変えて二つ作図するだけで描けます＝超短手数でした。
勿論、作図原理は前の説明通りで、直径aの円（前図参照）を：((2b-a)+a)/a倍したものが今回の黒円です。
ここはCADの部屋なので、出来るだけ簡単に描く必要もあるかも・・・（小生は諄い？）

後はNo.4962の作図原理だけですね（原理は一つとは限りませんので）。

まず、添付図の�僊BHをABに対して反転し＝�僊BH'、これを更にAH'に対して反転＝�僊B'H'
図中の最初に式で、赤○三つ＋青○三つは180゜ですから、A、C、H'は一直線上。
またAH'⊥BH'ですから、B、H'、B'も一直線上にあります。

ここで�僣'BCを見ると二つの三角形：�僊BH'と�僊BCに分けられ、その面積比はa：b・・・この説明は不要ですね。
また、�僊BHと�僊CHの面積比はBH：CHで、図中に記した通り、三角形を�@と�Aに分けるとBH：CHの長さの比率が判ります。
図中に簡単な式を載せましたので、細かい式の変換は各位で確認して下さい。

前の図でAB＝a、B�B＝2b-aで、これがBH：CHの長さ比になっています。
そこで黒円上に適当な点�Cを取り、直角三角形の相似から点�Fを求めました。
点�Cを黒円上で動かすと、上記の比率の点�Fの軌跡が青円になるのは明らかですから、赤円との交点が求める点となる訳です。

以上がNo.4966の作図原理です。

算数オリンピックではこの作図原理が解答になるので、原理説明が無かったり理論が貧弱だと不正解になります。
手書きの拙い図でも理論が正解なら◎、綺麗な図を描いても理論が駄目なら×になります。

正三角形を一切使わずに、�僊BCを描いてみました。

�@適当にaの長さの線分ABを描き、直径aの円を描きます。
�A点Aを中心に半径bの円を描き、
�B長さ2bの点を求めます。
�C黒円（�@）上に適当な点を取り、
�D直線�CBを引きます。
�E長さ2bの点から�Dに垂線を下ろし、その足を求めます。
�F直線�D上に�Cからcの長さの点を求めます（序でに直線ABに対称な点�F’も）。
�G三点B、�F、�F’を通る青円を描き、�Aの赤円との交点を求めると、これが�僊BCの頂点Cになります。
後は適切に作図してお終い。

作図原理は少し面倒なので、別枠で説明します。

二つの二等辺三角形に注目すれば、大人に優しい問題と判ると思います。
勿論、記載されている角度の値も必要ですが・・・

これならば「定規とコンパス作図」として全く問題有りません。
作図原理説明があれば「完璧」でした。

＞FUKUCHANさんの作図例も見たいですね。
違う描き方にトライして、作図原理と合わせて一両日中に発表します。

二等辺三角形ＤＡＢの底角をａとすると、五角形ＡＤＦＧＨの内角が判ります。
各辺の辺の長さが等しい事は前の（No.4957）説明の通りです。

この内角の値だけで正五角形と言えるのですが、これをキチンと説明してみて下さい。
全内角の和を使ってａを求めようとしても、ａは消えてしまいます。

＞CADで描いて寸法を確認するのは違反になります。

こちらについては後ほど・・・

Q1935 作図例
�@　中心点Aを決め、青線長の円と赤線長の円を描きます。

�A　図のように点Aから青線長の正三角形ABDを適当な角度で描きます。
　　（図は左辺45°）

�B　右辺の中点Mと点Bを結びQ側へ延長します。

�C　左辺と赤線長円の交点Pを中心に赤線長の円を描き、
　　�Bとの交点をQとします。

�D　点Aと点Qを結びます。（∠MAQが求める角度です）

※　後は残りの線分やAE、ACを仕上げれば完成です。

FUKUCHANさんの作図例も見たいですね。

一例で説明します。

３点Ａ、Ｂ、Ｃが与えられている時（図の青線は無くても良いのですが）：
�@Ａ、Ｂの中点Ｍを求める・・・正しい作図法
�AＡを中心に半径ＡＭの円を描く・・・正しい作図法
�Bこの円が点Ｃを通るので、ＡＢ＝２ＡＣ・・・不正な作図法
（正しい、不正、これは定規とコンパス作図での規則です）

ＣＡＤで赤円が点Ｃを通るのが判る（ＣＡＤで判定可能）⇒ＣＡＤの寸法精度の範囲内でしか検定できません。
ＡＢが地球と太陽の距離で、ＡＣがナノサイズなら現行の殆どのＣＡＤで円周上と判断するのでは？？？

飽く迄も点Ｃが赤円上にありそうだ！⇒そこから推論してみよう・・・これがＣＡＤを活用する一つの方法だと思います。

更に補足するなら、３点Ａ、Ｂ、Ｃが与えられただけで（例えばＣＡＤデータ）、ＡＢ＝２ＡＣを定規とコンパス作図で求める事は出来ません。

更に言うなら「小、中学生のCADが出来る方の事を考えて」みると、ＣＡＤ万能と誤解してしまう恐れがありますね。

ここの定規とコンパス作図は、純粋に定規とコンパス作図です。
CADで描いて寸法を確認するのは違反になります。
この方法がOKなら、一寸したCADで簡単に描けるものが殆どです（小生の3D-CADなら殆ど全て作図可能）。

Q1935は、Q1933と同じ作図原理で描けますので、貴君の方式で結構ですので是非作図してみて下さい。

＞三角形の高さ（底辺√5とした時）をどうやって求めたのか聞いているだけです。

これもおかしいですねぇ。
No.4902の図をもう一度みてください。
線分の等分で高さが分かってますよ。
(5の正方形から中心の三角形に高さが分かるように図示しています。）

＞作図して見付けた？
もちろんそうですよ。
正解図なしで定木とコンパスでの作図はかなり無理があるので、
当初から言ってるように、CADで確認しています。
私の作図法はもともとから、小、中学生のCADが出来る方の事を考えて作図例を
描いていましたよね。

GeoGebraで描いてありますが、定規とコンパスコマンドのみで作成してあります。
緑線分ADは∠CAHを三等分しています、念の為。
但し、図を見易くする為に回転させて表示しました。
これは定規とコンパスコマンドで描けますが、楽をしてGeoBebraコマンドを使いました。

描き方と作図原理については、来週にでも発表予定です（それまでには皆さんから解答が出ると思いますが）。

これも算数オリンピックを受ける子供たちには描けてしまうのでしょうね・・・

これは算数オリンピックからの問題ですが、某サイトでは興味深い説明がありました。

添付図で赤線の長さが等しいので、合同な緑の二等辺三角形を描く事が出来ます。
前のNo.4944で角度30゜と言いました（詳細説明はしてませんが）。
そうすると�僞FGは正三角形になります。
ここから急に、五角形ADFGHは各辺の長さが等しいので「正五角形」と理屈が飛んでいました。

正しい説明をしているサイトもあるかも知れませんが、上記の理屈が何故おかしいか（説明不足か）皆さんも判りますよね。
ここをキチンと説明出来れば、青線(AD)と中心線との角度が54゜と言えるのですが．．．

３：２の比率を見つけ出すのはさすがです。
なぜそうなるのかはじっくり考えてみます。

等積変換が悪いなどとは言っていませんよ。
線分の等分も定規とコンパスで使って良い手法です。
質問しているのは、5c�u、10c�u、13c�uで囲まれた三角形の高さ（底辺√5とした時）をどうやって求めたのか聞いているだけです。
３辺の長さから面積を求めたのでしょうか（ヘロンの公式を使ったのなら判りますが）？

HIROSHIさんは「青線を同じ寸法で【測る】」と言っていたので詳しい説明を求めている訳です。

＞正解の図を描き、そこから3:2を見つけ
この辺の説明も、もう少し詳しくお願いします＝作図して見付けた？

＞ABを５等分してBC'=7を作図したら、C'とCが重なった・・・これは違反作図です。

おかしいですねぇ。
5の正方形と13の正方形に挟まれた三角形を
等積変形して、5の正方形の辺と同直線上に交点をとり、
わかりやすく5の正方形を描き込んだんですが、
これが違反なら、等積変形も線分の等分も違反ということに
なりますね。

Re:4952
図でわかると思いますが、辺(11)：高さ(7.333・・・)=3:2になりますね。
正解の図を描き、そこから3:2を見つけ作図にまとめました。

私も知りたいW

「なぜ描けたのか」はみんなが知りたいところだと思います。
「こういうことを試しました」くらいでも書いておくと判り易いかも？

＞数学力ではFUKUCHANさんに敵いませんので。

そんな事は無いでしょう。
５：７の説明をするだけですよ。

＞「CADで確認した、定木とコンパスでの作図」ですよ。
しかし、貴兄のNo.4898での説明＝青線を同じ寸法で【測る】と　5:7 となります。
例えばAB=5の時、BC=7を作図するのは定規とコンパス作図のルール内ですが・・・
ABを５等分してBC'=7を作図したら、C'とCが重なった・・・これは違反作図です。
言い換えると、これは「重なったように見える」が正しい表現で、ここから推理して作図を考えるのは「有り」ですが．．．

別に黙ってる訳じゃないですけどね。

数学力ではFUKUCHANさんに敵いませんので。

それに、当初から言っているように私のは

「CADで確認した、定木とコンパスでの作図」ですよ。

作図原理は？　CA=8の時の描き方でも結構です（Q1933が描けたのですから簡単ですよね）。
Q1921の５：７の説明もまだです。
両方合わせて「何故」の説明を宜しく「伏して」お願いします。
また、黙ってしまうかな？？？

凄い！！！
描けたのですねぇ。
でも、なぜ描けるのかが私ではまだ理解できていません…

�@　中心点Aを決め、半径(11)の緑円と
　　半径(9)の黄円を描きます。

�A　半径AP(11)を引き、APを3等分し
　　下方の等分点をQとします。

�B　QからAPの垂線を図の様に緑円と黄円に延ばし、
　　その交点をそれぞれB,Cとします。

�C　点Aと点Bを結び、点Aを中心に60°回転させます。

※後は、残りの辺と線分を仕上げれば完成です。

青線分の角度が24°なので、5角形と正三角形で12°を

作図すれば・・・

まだ試していませんが・・・

土日では難しかったようですね。

Q1932：ヒント画像を添付。
これはGeoGebraで色々検討した結果見付けたもので、左上の二等辺三角形（青＆赤）の底角を使っています。
どんなに動かしても、角度30゜は一定です（これに気付けば理屈は簡単ですが）。

また、Q9133は三角形の面積比を使って「或る部分の比率」を求め、作図しました（飽く迄小生の場合）。

矢張り軌跡（図の緑破線）では難しいようです。

Q1933と共に土日「十分」楽しめるかも知れません。

今迄の作図問題とは違った観点が必要かも知れませんね。
HIROSHIさんの領域かも・・・

但し、相似・合同は物凄いヒントになります（一筋縄ではいきませんが）。

解けそうに見えてかなりの難問ですね。
相似や合同が無いし軌跡もダメ、直径が固定できないから円周角も無理…
全く糸口なしの状態です。

No.4935で等積変換した四辺形（図右）を添付図のように並べます。
そうすると、周囲は一辺が19の正方形で、面積は19^2≂361（碁盤の眼＝交点の数と同じ）。

真中のオレンジの正方形の面積は：361-60×4=121=11^2。
従って、AB=11が得られます。

ヒントを出し過ぎたかな？反省！

両方＝軌跡＆円周角ともに、それぞれ小生の好みでもあります。

引き続き算数オリンピックから問題を探す予定（大人に優しい問題を！）。

描けましたね、正解です♪

＞軌跡ではなく円周角を使いました。
軌跡と円周角一定の円弧との交点ですね（円周角も角度一定の軌跡ですが・・・）。

Ａを中心とする半径11の円と点Ｃの中点は円をＣの方向に1/2に縮小した円に
なるので(赤円)、ＡとＣを通過する内角120゜の描く円弧と交差する点（２つ）
が中点Ｍになる。
4936の応用で描けました。

ヒントのおかげで描けました。
軌跡ではなく円周角を使いました。

先ず∠AMB=45゜に注目します。
�@AからBCの延長に垂線を下ろし、その足をDとすると、�僊DMは直角『二等辺』三角形です。
�ABを通りAMに平行な線を引き、ADとの交点をEとします＝�僞DBも直角二等辺三角形。
ここで�僊BMを等積変換したのが図の右で、この時AB=EM（説明略）。

この段階でABの長さの求め方が判った人も多いと思いますが、それはQ1926：長さ−２で述べる予定です。
それ迄に「判った！」との説明が掲載されれば、小生からの解説はありませんが・・・