解説を聞くといろいろと面白い性質が見えてきますねぇ。
No.4829、4830の描き方は図の青の二等辺三角形を使っています。HIROSHIさんは内接円を描き接点を求めていますが、この接円は底辺の中点とも接します(図の赤点)。更に、内接円の接点は頂点からの長さが等しいと言う性質があります(図のBH=BP)。小生の4830はこの性質を使い、接円を描かないで描いています。また、No.4825では同様の趣旨で接点を求め、その後で比例配分で点Pを求めています(4829、4830は比例配分済みの二等辺三角形から作図)。従って、作図原理としては三つとも全く同じと言う事が判ると思います。
HIROSHIさんのNo.4829、小生のNo.4825、4830は全て「sin(θ/2)」を基本としているのです。小生の描き方は、この法則を座標から導き出し、作図に応用しただけですので、発想力としては貧弱です。
二人とも発想力が凄いです。
HIROSHIさんの解答をヒントに別の描き方を見付けました。@頂点DからABに垂線を下ろし、その足をHとする。A点Bを中心に半径BHの円を描き、BDとの交点を求める。これがNo.4829の点Pになりますね♪
皆さん流石ですね。色々な作図方法がありますね。FUKUCHANさんのNo.4825が一番早いです。参考に私の作図例です。@ 対角線BDを引きます。A Dを中心に半径DBの緑円を描き、 辺AB,BCとの交点をそれぞれQ,Rとし DとR(Q)を結びます。B 二等辺三角形DBR(Q)の内接円を描き、 対角線DBとの接点をPとします。(相似と内接円)*この点Pが赤円と青円の接点です。
流石です・・・これが一番楽♪でもN/Tさんは何時も描き方の詳細説明が無い!=これが欠点?・・・この場合は判り易いのですがね。
拡大投影なら下の3円を先に描いた方が圧倒的に楽ですね。前回とは別の書き方です。
作図方法で判ると思いますが、赤円の径をr、青円の径をsとすると:r:s=(1-sin(θ/2)):sin(θ/2)となっています。尚、θはNo.4820、4822の角度です。添付は、GeoGebraの数式機能を使って描いたものです(No.4825のBを求めています)。θ=60゜の時、sin(30゜)=1/2ですから、円の比は(1-1/2):1/2=1:1になりますね。
拡大・縮小を使わない描き方の小生例です(図で空色の線は菱形の対角線)。@頂点から中心までの長さを辺にコピーA辺との平行線を引くB対角線との交点を求める・・・これで中心の青円が描けます(以下略)図の黒点線はこれを使って三角形の内接円を描くのが、工数が少ないと思っただけです。
小生の拡大・縮小作図例です。@菱形の内接円を描きます(これは菱形の中心を使えば接円でなくても別に構いませんが、後で拡大・縮小し易い為)。A円の中心Oと接点を結びます(緑線)=辺への垂線ですね。Bこれらの線と赤円に接する青円を描きます。以下、点Pを中心に縮小して完成です。
私も拡大縮小で解きました。直接描く方法は私じゃ無理かなぁ…拡大前の図を添付します。
ありゃりゃ・・・拡大・縮小で描くことができるのを見落としてました。
色々な描き方はあるでしょうが、拡大・縮小方法が簡単ですので略します。尚、描けない場合を添付図に記載しました。これではヒントにならないか!
一連の問題は、コマ大からパクったものでした=バレていましたね。
調べてみたらなかなか面白そうな番組だったのですねぇ。
たけしのコマ大じゃね?
流石、N/Tさん♪円周角(90°)から半径を用いた二等辺三角形で45°ですね。これは、思い付きませんでした。紫円の中心は先行で点を打っておけば大丈夫ですよね!2手負けた!
HIROSHIさん、凄いですねぇ。私は解答図を見てようやく解き方が判りました。
あとの二つで悩みましたが、もしかしてこの図の感じなのかな?
とりあえず2円4線では描けましたが、3のところで円中心を出しておくならもう1線必要です。
1 A点を通る直線を引く。(緑線)2 緑線の端点を中心としてA点を通過する円を描く。(赤円)3 適当な位置に緑線と交差し、赤円の中心を通る円を描く。(紫円) 円の中心を求める必要があるなら先に×印でも描いておく。4 紫円の中心と緑線と赤円の交点を通過する線を描く。(青線)5 緑線の端点と青線と紫円の交点を通過する線を描く。(茶線)6 茶線と赤線の交点とを通過する線を描く。(黒線)緑線と黒線の角度が45゜になる。なかなか面白かったです。
>Q1906,1907,1908の作図手順になりそうです。訂正:Q1906,1907,1908の作図手順は4月の投稿となりそうです。電話しながらタイプしてました。 失礼しました。
Q1906,1907,1908の作図手順になりそうです。すみません。 お先に進めておいてくださいね。こちらは、2円・1点・6線(6本目の半直線が45°線)となりました。N/Tさんはもっと少ない手数かなぁ〜!!?
こちらも作図例です。原理は、1/2です。証明ぬきですが・・・
時間の都合で、4ピースの切断のみを掲載しますね。底辺を直径とする円をまず描き込んでから・・・、あとは、図を見れば・・・N/Tさん、頑張ってくださいね♪
合同にばかり目が行って、図形的に描けないかと考えてました。相似比で出せたのですねぇ。一番簡単な図形で試してからと思い、正方形で考えてました。
正方形から導き出す・・・No.4800のヒント動画が参考になった?小生の導き出し方を図中に記載しました。No.4805の前に掲載すべきだったかな?
相似比から式を解くと、BC=1としてCP=(-1±√5)/2となります。No.4803ではCP=(-1+√5)/2で描いていますが、ではCP=(-1-√5)/2ではどうなるか?それを描いたのが添付図です(一寸大きくなってしまいました)。この図で対角線をBDからACに変えると・・・作図して確かめてみて下さい(但し、この場合はP'とDを結びます)。図のP'はBCの中点Mに対して、Pの対称となっていますので判り易いでしょうね。
あ、式の転記を間違ってました。P点は 2+(-3+√5)/2ですね。ちなみに描くときはaを基準に書いたので気づきませんでしたが、式をまとめたら1/2 + √5/2になるので簡単に描けますね。見落としてました。
先ずBCを底辺とし、頂角108゜の二等辺三角形EBCを定規とコンパスで描きます。ここでEC=PCとなる点を求めて完成です。見てお判りの通り黄金比になっています。尚、図中に記載した式は、この比率を求める為のものです(相似比で算出)。
先ず式が間違っています(後程作図原理等で説明)。また、√5は定規とコンパスで作図可能ですよ!(三乗根ではありません)。
昨日の書き込みの前に、正方形で考えていたのですがQRのx方向の長さをa、正方形の1辺を1として考えると(1-a)/a=1+(1-a)1/a=3-aa~2-3a+1=0となり、因数分解が必要になりました。a=(-3+√(9-4*1*1))/2=(-3+√5)/2=-0.381966P点は2-(-3+√5)/2となりました。答えは出て数値も正しいのですが、コンパス作図ではないし全然スッキリした解答ではないのでお手上げ状態です。
BCを固定して、頂点Aを動かしてみました。点Pの位置は?
軌跡では描けないですねぇ…計算も因数分解になるし、お手上げ状態です。
>三角関数の公式加法定理などは図形で簡単に導き出せます。一度「おさらい」しておくと、忘れても直ぐに「作る」事が出来ます(公式を暗記した人は、忘れるのが早いようですね)。二次方程式の解の公式なども、平方完成(小生が昔習った時は、完全平方式と呼ばれていたような遠い記憶)から自分で導きだすと、忘れるのが大変です。
やはり計算で出ますか。三角関数の公式を忘れてしまってるなぁ…
No.4787の図を参照下さい。∠OEF=2θとすると:sinθ=1/4、cosθ=(√15)/4cos2θ=cos^2θ-sin^2θ=7/8、即ち、OE:EF=7:8
問題文が悪かったかもしれませんね。斜辺vs.長辺=8:7、この比率を短辺に当て嵌めると√15これは倍角の公式で計算したもので、CAD的には斜辺を8等分すれば確認出来ます。
1+7/8 : 7/8*√15 : √15が実測値に一番近い値かなぁ。図形的には全く証明できていませんが、数値の組み合わせを試行錯誤してたどり着きました。
何かが違っているのかなぁ…計算で求めようともしましたが、ミスに気づかず延々と時間ばかり使ってしまいました。orz
√15が出ていれば整数比は簡単に出る筈です。ヒントは斜辺と長辺との比です。
Q1898でABが√15の倍数になるはずなので、描けた図形のABの寸法を√15で割ってその値で別の辺の長さを割っても平方根や整数にならない…何か別の形が有るのかなぁ???
>比率は整数比にはなりませんでした???或る比率は整数比になる筈ですので、もう少し頑張って下さい。
描くのは簡単に描けましたが、比率は整数比にはなりませんでした???計算で求めようとしましたが、それはアッサリと挫折しました。orz
判り易い説明でした。スッキリしました♪
接円が苦手な某N/Tさんがいますので、次のように考える事にします。4円A、B、C、Dに接する円Pが存在するという事は、4点A、B、C、Dを通る円が有る事と同じです(4円の径が同じ)。図の空色の線は、直角三角形OEFの各辺に平行です(幅も同じ)⇒儖FE∽僊QC従って、∠CAB=∠R、即ち点PはBCの中点になります(言い換えると、B、P、Cは同一直線上)。また、点Dも図の赤円上に有りますので、∠CDB=∠R。AB=BDですから、僂AB≡僂DB ---> BPCは∠ACDの二等分線=∠Eの二等分線と平行。∠Eの二等分線は点Cを通るので、4点B、P、C、Eは同一直線上に有る事が判ります。また、円Dと斜辺の交点(図に書き込み忘れ)とB、Dが同一直線上に有る事も明らかです。円Pに接している4円A、B、C、Dの径が等しい時は、このように円の中心で考えると「接円が苦手」の人にも判り易い?(解説が大分諄かったかも・・・)
いろいろな特徴を含んでますね。なかなか奥が深そうで面白いですねぇ。
作図原理を説明する前に、小生が描き方を見つけた経緯を説明します。添付動画の通り、下の青円二つ(A、B)を固定し、これに接する赤円Pを幾つか描いてみました。そうすると緑円Cが決定され、もう一つの橙色の円Dも決まります。言い換えると、青円と赤円が決まれば、条件に合う直角三角形は一義的に決まることになります。最初は座標で求めようとしたのですが、各円の関係が明確ですので、この性質を使えば描ける事が判りました。この動画を考えたのは閃きでしたが、以降は理論的に考える事が出来ました。それについては明日以降に(判り易い図を考えて)発表したいと思います。動画で判る通り、点PはA、Bの垂直二等分線上に有り、円Cは点Pを通る水平の一点鎖線に対し、円Aに対称です。また、円Bは点Pを通る垂直の一点鎖線に対して、円Aに対称で、円DはPBに対して円Aに対称になっています。更に、直線OBの傾きが1/3であることは、酒転童子さんの作図問題にも出てくる判り易い性質ですね。
手順の違いはあるけど、みんな同じ原理で描いたのですねぇ。なかなか面白い問題でした。
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