図形クイズ解答用掲示板 こちらはネタバレOKです。

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スウガクとくガウス FUKUCHANさんの解答集2
No.4834 re:4833  投稿者:N/T 投稿日:2016/04/13(Wed) 18:10  
解説を聞くといろいろと面白い性質が見えてきますねぇ。
No.4833 Q1911:補足説明  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/04/13(Wed) 14:12  

No.4829、4830の描き方は図の青の二等辺三角形を使っています。
HIROSHIさんは内接円を描き接点を求めていますが、この接円は底辺の中点とも接します(図の赤点)。
更に、内接円の接点は頂点からの長さが等しいと言う性質があります(図のBH=BP)。
小生の4830はこの性質を使い、接円を描かないで描いています。

また、No.4825では同様の趣旨で接点を求め、その後で比例配分で点Pを求めています(4829、4830は比例配分済みの二等辺三角形から作図)。

従って、作図原理としては三つとも全く同じと言う事が判ると思います。

No.4832 Re:No.4831  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/04/12(Tue) 19:04  
HIROSHIさんのNo.4829、小生のNo.4825、4830は全て「sin(θ/2)」を基本としているのです。
小生の描き方は、この法則を座標から導き出し、作図に応用しただけですので、発想力としては貧弱です。

No.4831 さすが  投稿者:N/T 投稿日:2016/04/12(Tue) 18:09  
二人とも発想力が凄いです。
No.4830 Re:No.4829 Q1911  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/04/12(Tue) 11:04  

HIROSHIさんの解答をヒントに別の描き方を見付けました。

@頂点DからABに垂線を下ろし、その足をHとする。
A点Bを中心に半径BHの円を描き、BDとの交点を求める。
これがNo.4829の点Pになりますね♪

No.4829 Q1911  投稿者:HIROSHI 投稿日:2016/04/12(Tue) 09:27  

皆さん流石ですね。
色々な作図方法がありますね。

FUKUCHANさんのNo.4825が一番早いです。

参考に私の作図例です。

@ 対角線BDを引きます。

A Dを中心に半径DBの緑円を描き、
  辺AB,BCとの交点をそれぞれQ,Rとし
  DとR(Q)を結びます。

B 二等辺三角形DBR(Q)の内接円を描き、
  対角線DBとの接点をPとします。(相似と内接円)

*この点Pが赤円と青円の接点です。

No.4828 Re:No.4827  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/04/11(Mon) 20:58  
流石です・・・これが一番楽♪
でもN/Tさんは何時も描き方の詳細説明が無い!=これが欠点?・・・この場合は判り易いのですがね。

No.4827 Q1911-3  投稿者:N/T 投稿日:2016/04/11(Mon) 18:36  

拡大投影なら下の3円を先に描いた方が圧倒的に楽ですね。
前回とは別の書き方です。

No.4826 No.4825:解説  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/04/10(Sun) 13:47  

作図方法で判ると思いますが、赤円の径をr、青円の径をsとすると:
r:s=(1-sin(θ/2)):sin(θ/2)となっています。
尚、θはNo.4820、4822の角度です。
添付は、GeoGebraの数式機能を使って描いたものです(No.4825のBを求めています)。

θ=60゜の時、sin(30゜)=1/2ですから、円の比は(1-1/2):1/2=1:1になりますね。

No.4825 Q1911  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/04/09(Sat) 13:53  

拡大・縮小を使わない描き方の小生例です(図で空色の線は菱形の対角線)。

@頂点から中心までの長さを辺にコピー
A辺との平行線を引く
B対角線との交点を求める・・・これで中心の青円が描けます(以下略)
図の黒点線はこれを使って三角形の内接円を描くのが、工数が少ないと思っただけです。

No.4824 Re:No.4820  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/04/09(Sat) 09:39  

小生の拡大・縮小作図例です。
@菱形の内接円を描きます(これは菱形の中心を使えば接円でなくても別に構いませんが、後で拡大・縮小し易い為)。
A円の中心Oと接点を結びます(緑線)=辺への垂線ですね。
Bこれらの線と赤円に接する青円を描きます。
以下、点Pを中心に縮小して完成です。

No.4822 Q1911-2  投稿者:N/T 投稿日:2016/04/09(Sat) 09:05  

私も拡大縮小で解きました。
直接描く方法は私じゃ無理かなぁ…
拡大前の図を添付します。

No.4821 Re:No.4820  投稿者:HIROSHI 投稿日:2016/04/08(Fri) 17:01  
ありゃりゃ・・・
拡大・縮小で描くことができるのを見落としてました。

No.4820 Q1911  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/04/08(Fri) 16:13  

色々な描き方はあるでしょうが、拡大・縮小方法が簡単ですので略します。
尚、描けない場合を添付図に記載しました。

これではヒントにならないか!

No.4819 ネタばれ  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/04/01(Fri) 18:06  
一連の問題は、コマ大からパクったものでした=バレていましたね。
No.4818 re:4817  投稿者:N/T 投稿日:2016/03/24(Thu) 18:24  
調べてみたらなかなか面白そうな番組だったのですねぇ。

No.4817 これらの問題  投稿者:七十一 投稿日:2016/03/24(Thu) 14:15  
たけしのコマ大じゃね?
No.4816 Re:No.4812  投稿者:HIROSHI 投稿日:2016/03/23(Wed) 08:29  
流石、N/Tさん♪

円周角(90°)から半径を用いた二等辺三角形で45°ですね。

これは、思い付きませんでした。

紫円の中心は先行で点を打っておけば大丈夫ですよね!

2手負けた!

No.4815 re:4808  投稿者:N/T 投稿日:2016/03/22(Tue) 19:00  
HIROSHIさん、凄いですねぇ。
私は解答図を見てようやく解き方が判りました。

No.4814 Q1906.  投稿者:N/T 投稿日:2016/03/22(Tue) 18:54  

あとの二つで悩みましたが、もしかしてこの図の感じなのかな?

No.4813 re:4810  投稿者:N/T 投稿日:2016/03/22(Tue) 18:47  
とりあえず2円4線では描けましたが、3のところで円中心を出しておくなら
もう1線必要です。

No.4812 Q1907  投稿者:N/T 投稿日:2016/03/22(Tue) 18:45  

1 A点を通る直線を引く。(緑線)
2 緑線の端点を中心としてA点を通過する円を描く。(赤円)
3 適当な位置に緑線と交差し、赤円の中心を通る円を描く。(紫円)
  円の中心を求める必要があるなら先に×印でも描いておく。
4 紫円の中心と緑線と赤円の交点を通過する線を描く。(青線)
5 緑線の端点と青線と紫円の交点を通過する線を描く。(茶線)
6 茶線と赤線の交点とを通過する線を描く。(黒線)
緑線と黒線の角度が45゜になる。

なかなか面白かったです。


No.4811 Re:No.4810 訂正です。  投稿者:HIROSHI 投稿日:2016/03/22(Tue) 11:42  
>Q1906,1907,1908の作図手順になりそうです。

訂正:Q1906,1907,1908の作図手順は4月の投稿となりそうです。

電話しながらタイプしてました。 失礼しました。

No.4810 Q1907  投稿者:HIROSHI 投稿日:2016/03/22(Tue) 11:27  
Q1906,1907,1908の作図手順になりそうです。
すみません。 お先に進めておいてくださいね。

こちらは、2円・1点・6線(6本目の半直線が45°線)
となりました。

N/Tさんはもっと少ない手数かなぁ〜!!?



No.4809 Q1906  投稿者:HIROSHI 投稿日:2016/03/22(Tue) 10:04  

こちらも作図例です。

原理は、1/2です。

証明ぬきですが・・・

No.4808 Q1908 作図例  投稿者:HIROSHI 投稿日:2016/03/22(Tue) 09:55  

時間の都合で、4ピースの切断のみを掲載しますね。

底辺を直径とする円をまず描き込んでから・・・、
あとは、図を見れば・・・

N/Tさん、頑張ってくださいね♪


No.4807 re:4805  投稿者:N/T 投稿日:2016/03/11(Fri) 18:09  
合同にばかり目が行って、図形的に描けないかと考えてました。
相似比で出せたのですねぇ。
一番簡単な図形で試してからと思い、正方形で考えてました。

No.4806 Re:No.4804  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/03/10(Thu) 18:24  

正方形から導き出す・・・No.4800のヒント動画が参考になった?
小生の導き出し方を図中に記載しました。
No.4805の前に掲載すべきだったかな?

No.4805 Re:No.4803:追記  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/03/10(Thu) 18:18  

相似比から式を解くと、BC=1としてCP=(-1±√5)/2となります。
No.4803ではCP=(-1+√5)/2で描いていますが、ではCP=(-1-√5)/2ではどうなるか?
それを描いたのが添付図です(一寸大きくなってしまいました)。
この図で対角線をBDからACに変えると・・・作図して確かめてみて下さい(但し、この場合はP'とDを結びます)。
図のP'はBCの中点Mに対して、Pの対称となっていますので判り易いでしょうね。

No.4804 re:4803  投稿者:N/T 投稿日:2016/03/10(Thu) 18:00  

あ、式の転記を間違ってました。
P点は
 2+(-3+√5)/2
ですね。

ちなみに描くときはaを基準に書いたので気づきませんでしたが、式をまとめたら
1/2 + √5/2
になるので簡単に描けますね。
見落としてました。

No.4803 Q1900:面白そうな作図法  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/03/10(Thu) 10:15  

先ずBCを底辺とし、頂角108゜の二等辺三角形EBCを定規とコンパスで描きます。
ここでEC=PCとなる点を求めて完成です。
見てお判りの通り黄金比になっています。

尚、図中に記載した式は、この比率を求める為のものです(相似比で算出)。

No.4802 Re:No.4801  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/03/09(Wed) 22:55  
先ず式が間違っています(後程作図原理等で説明)。
また、√5は定規とコンパスで作図可能ですよ!(三乗根ではありません)。

No.4801 re:4900  投稿者:N/T 投稿日:2016/03/09(Wed) 20:05  
昨日の書き込みの前に、正方形で考えていたのですが
QRのx方向の長さをa、正方形の1辺を1として考えると

(1-a)/a=1+(1-a)
1/a=3-a
a~2-3a+1=0

となり、因数分解が必要になりました。
a=(-3+√(9-4*1*1))/2=(-3+√5)/2=-0.381966
P点は
2-(-3+√5)/2

となりました。
答えは出て数値も正しいのですが、コンパス作図ではないし
全然スッキリした解答ではないのでお手上げ状態です。

No.4800 Q1900:ヒント動画  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/03/08(Tue) 21:05  

BCを固定して、頂点Aを動かしてみました。
点Pの位置は?

No.4799 Q1900  投稿者:N/T 投稿日:2016/03/08(Tue) 19:42  
軌跡では描けないですねぇ…
計算も因数分解になるし、お手上げ状態です。

No.4798 Re:No.4797  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/03/07(Mon) 10:57  
>三角関数の公式
加法定理などは図形で簡単に導き出せます。
一度「おさらい」しておくと、忘れても直ぐに「作る」事が出来ます(公式を暗記した人は、忘れるのが早いようですね)。

二次方程式の解の公式なども、平方完成(小生が昔習った時は、完全平方式と呼ばれていたような遠い記憶)から自分で導きだすと、忘れるのが大変です。

No.4797 re:4796  投稿者:N/T 投稿日:2016/03/07(Mon) 06:39  
やはり計算で出ますか。
三角関数の公式を忘れてしまってるなぁ…

No.4796 Q1898:小生解  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/03/06(Sun) 08:33  
No.4787の図を参照下さい。
∠OEF=2θとすると:
sinθ=1/4、cosθ=(√15)/4
cos2θ=cos^2θ-sin^2θ=7/8、即ち、OE:EF=7:8

No.4795 Q1898  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/03/04(Fri) 21:05  
問題文が悪かったかもしれませんね。
斜辺vs.長辺=8:7、この比率を短辺に当て嵌めると√15
これは倍角の公式で計算したもので、CAD的には斜辺を8等分すれば確認出来ます。

No.4794 出るには出たけど…  投稿者:N/T 投稿日:2016/03/04(Fri) 20:50  
1+7/8 : 7/8*√15 : √15
が実測値に一番近い値かなぁ。
図形的には全く証明できていませんが、数値の組み合わせを試行錯誤して
たどり着きました。

No.4793 re:4792  投稿者:N/T 投稿日:2016/03/04(Fri) 18:24  
何かが違っているのかなぁ…
計算で求めようともしましたが、ミスに気づかず延々と時間ばかり使ってしまいました。orz

No.4792 Re:No.4791 う〜ん  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/03/03(Thu) 19:19  
√15が出ていれば整数比は簡単に出る筈です。
ヒントは斜辺と長辺との比です。

No.4791 う〜ん  投稿者:N/T 投稿日:2016/03/03(Thu) 18:28  
Q1898でABが√15の倍数になるはずなので、描けた図形のABの寸法を√15で割って
その値で別の辺の長さを割っても平方根や整数にならない…
何か別の形が有るのかなぁ???

No.4790 Re:No.4789  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/03/02(Wed) 18:50  
>比率は整数比にはなりませんでした???
或る比率は整数比になる筈ですので、もう少し頑張って下さい。

No.4789 Q1898  投稿者:N/T 投稿日:2016/03/02(Wed) 18:26  
描くのは簡単に描けましたが、比率は整数比にはなりませんでした???
計算で求めようとしましたが、それはアッサリと挫折しました。orz

No.4788 なるほど  投稿者:N/T 投稿日:2016/03/01(Tue) 18:01  
判り易い説明でした。
スッキリしました♪

No.4787 Q1896:作図原理  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/03/01(Tue) 11:35  

接円が苦手な某N/Tさんがいますので、次のように考える事にします。
4円A、B、C、Dに接する円Pが存在するという事は、4点A、B、C、Dを通る円が有る事と同じです(4円の径が同じ)。
図の空色の線は、直角三角形OEFの各辺に平行です(幅も同じ)⇒儖FE∽僊QC
従って、∠CAB=∠R、即ち点PはBCの中点になります(言い換えると、B、P、Cは同一直線上)。

また、点Dも図の赤円上に有りますので、∠CDB=∠R。
AB=BDですから、僂AB≡僂DB ---> BPCは∠ACDの二等分線=∠Eの二等分線と平行。
∠Eの二等分線は点Cを通るので、4点B、P、C、Eは同一直線上に有る事が判ります。

また、円Dと斜辺の交点(図に書き込み忘れ)とB、Dが同一直線上に有る事も明らかです。

円Pに接している4円A、B、C、Dの径が等しい時は、このように円の中心で考えると「接円が苦手」の人にも判り易い?(解説が大分諄かったかも・・・)

No.4786 re:4785  投稿者:N/T 投稿日:2016/03/01(Tue) 06:45  
いろいろな特徴を含んでますね。
なかなか奥が深そうで面白いですねぇ。

No.4785 Q1896  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/02/29(Mon) 19:14  

作図原理を説明する前に、小生が描き方を見つけた経緯を説明します。
添付動画の通り、下の青円二つ(A、B)を固定し、これに接する赤円Pを幾つか描いてみました。

そうすると緑円Cが決定され、もう一つの橙色の円Dも決まります。

言い換えると、青円と赤円が決まれば、条件に合う直角三角形は一義的に決まることになります。

最初は座標で求めようとしたのですが、各円の関係が明確ですので、この性質を使えば描ける事が判りました。

この動画を考えたのは閃きでしたが、以降は理論的に考える事が出来ました。
それについては明日以降に(判り易い図を考えて)発表したいと思います。

動画で判る通り、点PはA、Bの垂直二等分線上に有り、円Cは点Pを通る水平の一点鎖線に対し、円Aに対称です。
また、円Bは点Pを通る垂直の一点鎖線に対して、円Aに対称で、円DはPBに対して円Aに対称になっています。
更に、直線OBの傾きが1/3であることは、酒転童子さんの作図問題にも出てくる判り易い性質ですね。

No.4784 re:4782  投稿者:N/T 投稿日:2016/02/29(Mon) 18:43  
手順の違いはあるけど、みんな同じ原理で描いたのですねぇ。
なかなか面白い問題でした。


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