フリーの３Dソフト「PTC Creo Element/Direct Modeling Express」で描いて測定出来ました。

描きやすくする為に、一辺の長さを１００倍しましたので、体積＝416666.666667 となりました＝5/12*(100^3)

フリーなのに結構使い易いですからＤＬして試してみては如何でしょうか。
但し、読み書き出来るファイル形式が限られています（３Ｄ−ＰＤＦ不可）。

さすが、上手くできてますねぇ。
これなら形状が判りやすいですね。

5084.pdf ロフト機能による３Ｄ化の限界か、体積は０．４２でした＝誤差範囲ですが、０．４１７を期待していました。

私の方はやはり致命的なミスが有りました。
計算し直したところ

三角形の面積
　　√3・(x^2-x+1)/2
Δxに対する三角形の厚み
　　√2 /(2・√3) dx
Δxに対する三角形の体積
　　√2・(x^2-x+1) /4 dx
∫[0→1]√2・(x^2-x+1) /4 dx
= √2・5/24

となりました。
今度は√2が不足しているかも…orz

ヒドイ間違いをしていましたね。
稜線は全て直線（線分）でなければなりませんでした（GeoGebraで描いたNo.5076が正しい形状）。
即ち、正三角形の辺の長さが√2、残りの三本の稜線の長さは１ですね。

機械系の設計では殆ど現れない形状なので、頭の中が整理されていませんでした。
有償の３Ｄ−ＣＡＤで再挑戦します。

出題図の点Pの位置を考えます。
AからBに（０→１）に変化する時、立体の高さ（正三角形に垂直方向）は０→１/√3
この高さをｈとして、正三角形の面積を変形したのが、No.5076の「V=」以下の式になりました。

私の方法だと各点の移動量をｘとしたので０→１の変化にしたのですが、
何か間違っていたのでしょうねぇ…orz

＞私は√3が残ってしまいました。
今日「晴れて？」手書きで式を作り、積分してみました。

多分、積分範囲を間違っているのではないでしょうか？
小生は簡略化し、0--->1/√3で積分した結果、√3が綺麗に消えてくれたのを確認しました。

私は√3が残ってしまいました。
やはり積分を忘れてしまっているのかなぁ…

5077.pdf
フリーソフトを使って「それらしい」形状を作ってみました。
ＰＤＦ出力が出来る「DesignSpart Mechanical(DSM)」にはロフト押し出し機能がありません。
従ってＰＴＣのフリーソフト「Creo Element Direct Modeling Express」という長ったらしい名前のソフトで作成してみました。
これをＳＴＬ形式でDSMに移しPDF化しましたので、面が三角形で構成されています。

グルグル回して「それらしい」形状を確認して下さい。
尚、どちらも体積計算が出来ませんでしたので、No.5076の検証はこれでは無理でした。

AP=xと置くと、正三角形PQRの一辺の長さ：a(x)=√2*(1-x+x^2)
その時の面積：s(x)=(a(x))^2*(√3)/4
出来上がる立体の底面を�僊CIとし、高さをhとすると：
h=0 ---> 1/√3 ⇒ x=0 ---> 1 ですから：

V=∫[0 ---> 1/√3]{(√2*(1-√3h+3h^2))^2*(√3)/4}dh=5/12

No.5070の図で、赤と青の三角錐を取り除いた体積は2/3ですから、これの5/8になったのですね。
数値的には簡素な値ですので、積分を使わなくても「頓智（？）」で解けそうな気になりました（自信はゼロ）。

一応形状的な画像を掲載しました・・・次は３Dで描いてPDFに変換してみようかな？（ロフト機能を使うしか無さそうですが）

5/12になるようですね。
キチンとした式は、今週中に掲載予定です（熱はないが何となくダルイので不安）。

矢張りボォーッとしてましたね。
＞同時に立方体の体積も３等分されます。
ウソばっかり！⇒１：４：１
赤、青の三角錐の体積は1/6ですので、1/6:4/6:1/6。
従って、求める体積は2/3以下。

インフルではないのですが、鼻風邪をひいてぼやぁっとしています。
解答はuinさんにお任せですね。

三角形の面積計算ですでに間違えてました…orz

>　カヴァリエリの原理

情報ありがとうございます。
色々な公式の元になっている原理なのですねぇ。

カヴァリエリの原理

計算が簡単に出来ると思ったら、筆算しないと混乱しそうです。

取り敢えずの考察ですが、スタート時の正三角形（赤）と最終の正三角形（青）と添付図に示しました。

この赤面と青面により、対角線FDは３等分され、同時に立方体の体積も３等分されます。
求める立体はこれより小さいですから、体積は1/3以下！
近い打ちに筆算して数値をアップしたいとおもいます（1/6なんて単純な数値になるのか？？？）。

APの長さをxとすると、その時の正三角形の一辺の長さは√(2(1-x+x^2))。
この時の面積は：(1-x+x^2)*(√3)/2（明日再確認しますが・・・）
これで積分すれば良いと思います＝捻じれているのは無関係。

確か矢野健太郎氏の本で見たのですが、添付図の図形の面積は同じ。
同じ高さの線分の長さが等しければ、面積は等しいという事を誰か（？）が証明した筈です。
これは体積でも同じで、同じ高さの面積が等しければ体積も等しい！！！

この立体の高さは判りますので、後は計算だけでしょうね（面倒臭いですが）。
それにしても、この定理の名前を忘れた Orz
酒転童子さんならご存知かも．．．

いずれにしても整理して再度発表予定です。

尚、＞体積は5/6になるのかなぁ？？？
全体の立方体の体積が１ですから、こんなには大きくない筈でしょう。

三角の面積が
1 + x^2 -x
かな？
積分は長く使ってなかったので自信はありませんが、
体積は5/6になるのかなぁ？？？

なんとなく（？）積分問題っぽいのだが、視点を変えると「頓智」で解けるのかなぁ？
今年いっぱい時間が潰れそうな予感がします。

う〜ん、中央が細めのねじれた三角柱になるのかな？？？
形を考えるだけでもかなりの難度かも・・・

二等辺三角形に気が付けば（この場合�凾bＡＥ）、基本的な性質で解く事が出来る問題でした。
尚、点Ｅは辺ＡＢ上にＡＣ＝ＡＥとしても説明出来ます。

＞一本では少し難しい？？？
これは、辺ＡＤをＡ側に延長するという意味で、判り難い説明だったかな？

ABとECが平行になるのですね。
三角の外側ばかりに補助線引いていたので気づきませんでした。

補助線を見つける問題！（かな？）　一本では少し難しい？？？

比率だから相似から求められると思ったのですけどねぇ…
相似形が見つけられない…orz

三角の相似比になるのですねぇ。
スッキリしました。

直角三角形の相似とその相似比から原理説明は容易でした。
添付図では細かい計算は省いてありますが、ご理解いただけると思います。

図の緑円は、小生のNo.5053の緑円を参照して下さい。

式の不明点を判り易くするために、図では接点からの垂直距離で法線の中心を
求めた式になってますが、実際に求めた法線の中心は楕円中心からの距離で
h(b/a)^2-h
です。
従って円の場合は０となり、円の中心が法線と縦中心線の交点になります。

hは楕円の中心から指定点までの垂直高さです。
扁平率から求める方法を考えましたが、結果は謎だらけになにってしまいました。

a=b(円)の時はどう作図するのかな？

h(a/b)^2 のhが良く判りませんので、説明宜しくお願いします。
h=h(a/b)^2/9（図より判断）？？？　それとも、h=(a/b)^2/9？？？

さすが、スッキリ描けてますね。
私は試行錯誤の結果、図のようになりましたが、なんで扁平比の
二乗になるのかが判らず考えてました。

�@半径ＯＡの円を描き、
�A点Ｐを通りＹ軸と平行な線を引く
�B�@の円との交点をＱとし
�C接線を引いてＸ軸との交点Ｒを求める。
�DＲとＰを通る直線が楕円（長円）の点Ｐに於ける接線。

これは緑円ＯＢを使っても同様に求める事が出来ます。

これは楕円（長円）が、円ＯＡをＯＢ／ＯＡの比率で縦に潰した、又は円ＯＢをＯＡ／ＯＢの比率で横に引き伸ばしたものですから理屈は判り易いですね。

実は私も接線の書き方で困りました。
結局は解らずじまいでコマンドを使ってました。

PQの最短長さは、長径÷短径≧√2の時：

PQmin＝(√27)*a^2*b^2/√((a^2+b^2))^3
２乗も３乗も、平方根も定規とコンパスで作図可能ですので、実際の作図手順はサボります。

これは楕円（長円）上の点の座標を、(a*cosθ、b*sinθ)として計算したものですので、興味のある方は計算してみて下さい。

しっかりと頭を使うことが衰えないための秘訣なのでしょうねぇ。

OA=a、OB=bとし、楕円上の点の座標をP(a*cosθ、b*sinθ）として求めました。
No.5047の条件であれば、a、bから作図で最短値を求める事が出来る筈です（まだ実際には描いていません）。

計算で求めたのですねぇ。
気力と能力が凄すぎる。

楕円の扁平率により答えが分かれることに気が付きました。
長径÷短径＝√２の時がこの分かれ目でした。
取り敢えず長径÷短径≧√２の場合の解を（作図法でなく）近い打ちに掲載します。

扁平率が大きい時、最短長さが短径とは一致しない実例動画をアップしました。

長径＝短径の場合は真円ですから、最短値が直径に等しいのは明らかですね。

かなり難しいですねぇ。
法線の動きが複雑で軌跡が取れないし、計算はさらに複雑そうだし…
早くも行き詰りました。

円による反転・・・色々使えそう！

HIROSHIさんの出題図の、円による反転です（これは過去に説明済み）。

この添付図の意味が良く判らない😥

小生は、作図原理等は、追って整理して掲載予定（No.4884）としてましたが・・・
この時掲載した図は、作図上のミスがあったようで再現出来ていません。

添付図が定規とコンパスで描ければ完成なのですが、これも全く出来ていません（これが描ければQ1923は描けます）。
色の違う円の径がことなるのはQ1923と同じです。
青、赤、紫の円が同じように見えますが、微妙に違っています（同じとして描いても完成しません、念の為）。

＞過去問と似ていますがこちらの方が簡単?
と言っていますので、描けるのはHiroshiさんだけかも知れません。

原理は簡単ですが、答えを導き出すのはかなり難しいですねぇ。
私は各円の下半分にも線を入れて混迷の渦に飲み込まれてしまいました。

答を見れば簡単ですねぇ…orz
ちなみに私も赤線と対角線が平行になることを証明しようとして失敗しました。

O1、O2が夫々の円の中心ですから、青の三角形は共に二等辺三角形であり、緑で示した底角が対頂角で等しいので相似なのがわかります。
この頂角をaとします。
�@赤円に於いて、弦ADで考えるとaは中心角、bは円周角でa/2
�A同様に青円でもb=a/2、従って、∠CBD=a
CDの上に立つ角O1、B、O2が等しいので、５点C、D、O1、B、O2は同一円（空色）上にあります。

cで表した角は空色円の弦BO2上の円周角。
青円で考えると、�儖2CBは二等辺三角形なので、c=d、解説終わり

これは算数オリンピックからパクったものではありませんが、小学生でも解けてしまうのでしょうかね。

最もシンプルと思われる解説です。
図のピンクの三角形に注目すると、２辺（黒と緑）は等しく、間の角（赤点）が等しい。

即ち二辺挟角で合同。
従って、赤辺と青辺は等しく、ｘの角度は正三角形の頂角の半分30゜

最初は図の赤辺と正方形の対角線が平行！の証明を探そうとして、横道に嵌り込んでいました。

正三角形は直観的に判るのですが、判り易い説明を考えてみました。

図の黒○印の線分の長さが等しいのは直ぐ判ります。
次いで、中の大きな三角形が正三角形で、中心線が空色の一点鎖線。
従って、青の三角形は二等辺三角形ですから、黒辺＝赤辺。

従って、黄色の三角形は正三角形・・・これが判り易いかな？

こちらは、B、C、D、O1、O2が同一円上に有る事の証明になりますね。
勿論、近い内に解説をアップする予定ですので、Eastさん、お手柔らかに。