顰蹙と反感かなぁ〜

>　婚期を失っている

上手いなぁ〜♪

sをrで表す事が出来ました。
次にtをrで表す・・・uをrで表す・・・これは数学力と言うよりも根気ですね（文科系の能力っぽい！）。
最近の若者は「根気」を失っている？？？（そう言えば、結婚しないですねぇ＝婚期を失っている？）

私はstuの消し方が判らず挫折してしまいました。

＞式を導くのは難しそうです。
数学的に難しいかと聞かれると「う〜〜〜ん」なんです。
基本はピタゴラスの定理だけみたいなものですから、これも中学生の範囲？

今回は攻め方を変えてみました＝円の半径をrとし、夫々の寸法をrで表そうと考えました。

添付図のように、順番に下辺をs、t、uと分けます。
そうすると、青線の長さは√(1+s^2)、緑線の長さは√(1+(s+t)^2)と表す事が出来ます=ピタゴラスの定理。

ここでsをrで表すと、s=2r(1-r)/(1-2r)となりますが、なんと√(1+s^2)=(1-2r+2r^2)/(1-2r)、即ち根号が消えてしまいました。

最終的に三次方程式の解法をWikipediaで調べて・・・

A4のレポート用紙が10枚以上（グチャグチャに消した跡も）。
見直す気力がなくなり、一応纏まった結果を使って描いてみたら・・・出来た模様！という事で解答集２に掲載しました。

尚、解答集２のa=s+t+uで整理したもの（らしい？・・・見直しても自信が無い！！！）

どうやってあの式にもって行くのか・・・
少し考えただけですが、私ではrとaだけで式を導くのは難しそうです。

定規とコンパスでは作図不能ですが、JW-Winで描く事が出来ました。
勿論、与えられた任意の直角三角形で作図可能と判りました。

小生の解答集２に、動画と作図のヒント（計算式）を掲載しました。

最終的にはGeoGebraサイトに投稿する予定です（忘れなければ）。

両方共ピタゴラスの定理が基本ですから、誰かさんの言い方を真似ると中坊向き？

原理のネタすら１個も閃かない…

最近特にギブが早いですねぇ。

一応、今週中には小生の描画案を掲載予定です（描ける理屈は別途）。

修正：今週中⇒今年中・・・小生の解答例掲載だけでは面白くありませんので、誰かの掲載を待ってからとします。

どう考えても青円から描くしかないと思いますが、軌跡は使えそうにないし、
大円と赤円を上手く関連付けられないし…

ギブアップです。orz

＞円の比率は出ますが・・・
前に解説した通り、小生は非常に苦労してしまいました。
HIROSHIさんの方法を開示してくれませんか？

なるほど！
スッキリしました。

これは色々な描き方がありそうですが一例を掲載します。
No.4664でヒントを出したように、求める角度βは120゜/7。

2α+β=840゜/7=120゜で、この120゜は定規とコンパスで作図可能。

従って、添付図の方法でβが求められます（青は正三角形）。

AHを固定し、HC=aで式を立ててみました（添付図）。
別に倍角の公式を使わなくても良いのですが、こちらの方が簡便でした。

これで、b、c、dは全てaで表す事が出来ます（黒円の径rも）。
また、同様にして�僊BCの内接円の半径もaで決まります。

これで2:1の証明は出来ました（式は煩雑なので略）。

しかし、これを三角形の相似等々「図形的」に証明するのは相当大変？
昔良く発言していた「uin」さんなら簡単に出来てしまうのかも知れませんが．．．

＞赤円：黒円の正しい比率は？

これは添付動画のように、常に２：１になるようですね。
計算誤差ではなく、CAD精度の問題でも無さそう！・・・どうやって証明？
添付動画では青円三つを固定しています。
点Aの位置により点B、Cが決定しますので、そこから�僊BCの内接円の半径を計算する事になりそうです。
月曜日は碁会なので、明日中に判り易い解答を考えねば．．．

α＝360゜/7、求める角は120゜/7

＞一寸ふざけた作図問題
小生の問題文からの引用ですが、これがヒントかも．．．
土日に考えて下さい（月曜日に種明かしします）。

さすがに難問ですね。
解けるのかなぁ…

式はBH=x、AH=1とすると「見た目」シンプル：a(2-x)-ab+b(1-x)+x-x^2=1
但し、a=√(1+x^2)、b=√(2-2x+x^2)・・・これを見るとシンプルでは無い！？！？

ここで、f(x)=a(2-x)-ab+b(1-x)+x-x^2-1 と置き、f(x+1)との差を見てみました。
適当に計算しただけですが、常に f(x)>f(x+1) となりそう！
言い換えると単純減少関数ですから、解があるとしても一つだけ＝因数分解は無理と思い諦めました（結論が早い？）。
（因数分解出来れば解は一つだけ見つかるのですが・・・）

添付図は近似計算から「1:0.62348980186008」で描いてみました。
右円を中の垂線（緑）で反転コピーし、データ重複整理すると一つに纏まりますので、CAD的に同径でした。
又、交点コマンドを使うと、接点も問題なく描けました。

確認の為、GeoGebraで再計算したところ「1:0.623489801858734」となり、少し違います。
しかし、後者の値でもJW-Winでは描けてしまいました。確認してみて下さい。

尚、JW-Win的には赤の内接円の径が、黒円の２倍である事が確かめられました。

４倍精度以上のCADでは、この値では描けないのでしょうね。

追記：赤円：黒円の正しい比率は？
上記の式を追う元気が湧かないですね、三角関数から求めていく予感がしています（３倍角の公式の活用かなぁ）。
又、暫く遊べそうですが、意外と簡単だったりして．．．

酒転童子さんの方式の拡張と言い直しておきます。
円による反転等々、接円が定規とコンパスで描ける事が判れば、応用はそれなりに出来るでしょう。

＞円内部に円・点・線が配置されたりした場合
これは確か、２円と一点に変換で来た筈です。試してみて下さい。

更に、このサイトで理論的に解けていれば、CADコマンドを使っても良いと思います。
小生の掲載した方法であれば、無許可・無連絡で使用して結構です。

＞酒転童子さんの方式で・・・

？？？

円内部に円・点・線が配置されたりした場合は
酒転童子さんの方式で描けない場合が多いです。

以前に3問ほど問題としましたが、追加の作図方法が必要です。
試しに、既出3問を試してみてください。

接円に限らず描けることが判明しているものはCADコマンドで良いと思います。

前に最少手順で出題しましたが、定規とコンパスだけでは平行線を引く手間も大変です。
N/Tさん、これら（接円等）はCADコマンドで描いてもOKと考えませんか？

孫が算数で平行線の引き方を覚えたのを見た感想です（算数では二つの三角定規を使って、スライドさせながら平行線を引いていましたが、定規と・・・では違反です）。

もっとも、常識的作図で定規とコンパスだけで作図する方法が難しそうなら、問題として掲載するかも知れませんが．．．

これで解ける保証はないのですが、式を簡略化するアイデアの一つです。

酒転童子さんの直角三角形に二つの接する円作図で：
右＝∠Aの二等分線と頂点Cから1:3の線を引いて交点を求める方法
左＝�僊BCの内接円の中心OをBCで反転させ、O'と∠Cの二等分線との交点を求める方法

右の場合、点Aが動くと∠Aの二等分線の式が変化し、結構複雑になります。
左の場合では、∠Cの二等分線が一定で、且つ赤の内接円の半径は求め易い。

直角三角形の内接円の半径ｒは(AC+BC-AB)/2と計算し易く、直線AO'の傾きは（１＋ｒ）／ｒで判り易い。
（AC=1とした場合）

しかし、平方根が絡む式で、Q1861の右の内接円との比較では、平方根を消す為に2乗の操作が3回？
6次式になりそう・・・因数分解で2次式になれば良いのですが、これは現段階で予測不可能です。

まぁ、年内ボチボチ挑戦してみます。
2次式にならない場合は、例によって近似値ですね（JW-Winなら作図可能となるので・・・）。

修正：2次式にならない場合⇒式の展開に草臥れた場合

軌跡で描こうとしたら二次曲線になるし、図形的に描くのは無理っぽいですねぇ。

座標計算中ですが、相当難しい式になりそうですね。
Q1861でBC=1、BH=x（HC=1-x）と置くと、円の半径はｘで表せるのですが、AB、CAが平方根になるので、式の変形には苦労しそうです。

＞円の比率は出ますが・・・
考察途中ですが、小さい円：大きな円＝１：２になるようですね。

昨年にチャレンジした問題です。

円の比率は出ますが・・・

当時は解けませんでした。

＞アポロニウスの円がマスターできれば良いのですが、
酒転童子さんの方式で、接円は定規とコンパスで作図出来る事が判っています。
従って、接円はCADコマンドで描いても構わないと思います（小生はCADコマンドで描き、実際には色々な補助線を使ったりしていません）。

さすがです。
アポロニウスの円がマスターできれば良いのですが、
歳食うと、なかなか頭に入ってこないです。

これは結局r=(9+√17)/32を別法で求めたのですね（No.4641参照）。

＞CAD(JW-WIN)の場合、この程度の誤差なら・・・
少し心配になりましたので、時間が有るうちにUPします。

�@　円Oに垂直な直径AB,CDを引きます。

�A　半径AO,OBをそれぞれ7等分し、
　　Oから1:6の分割点より垂線を下ろします。

�B　3点AOD、BODを通る桃円をそれぞれ描き、
　　�Aの桃円との上部交点をP、Qとします。

＊点D,P,Qを通る円が求める緑円です。
　（赤円もP(Q),O,直径ABを用いれば描けます。）

残りの青円もアポロニウスの円の作図法等で描きます。

円による鏡像の動画を小生の解答集のトップに掲載しました（このサイトではサイズが・・・）。

＞どうも接円は苦手だなぁ。

接円の場合、２円の半径をa、b、接線の接点間距離をcとすると、ピタゴラスの定理から：
(a+b)^2=(a-b)^2+c^2 ---> 4ab=c^2
という比較的簡単な式が得られますので、他の図形組合せよりは楽ですね（程度の差？）。

やはり計算で求めるのでしょうかねぇ…
どうも接円は苦手だなぁ。

中央下部の黒円（半円）から描き始めてみました。

黒円の半径OR=1とし、半径（OP）＝9の円と、QP=3の円を描きます。
RからOPに垂直な線を引き、半径9の円との交点をSとします。
半径RSの青円を描き、OPの延長との交点をTとします。

TQの中点を求めればほぼ完了です（図では判り易いように平行移動し、T'Q'の中点Mを求めています）。

T'M=(5+√17)/2・・・これが出題図の緑円の直径になります。

Q1859の図から、黒円に対する鏡像（反転）を求めると、Q1855になりますので確かめてみて下さい。

閃きと計算力は並はずれて凄いのですが、何よりも計算する気力が
凄いと思う。

(16x^2-9x+1)=0では解が二つありますが、検証の結果前記の数値と決まりました。

前記の解：(9+√17)/32 はNo.4628の図中の式から導き出したものです。
f(x)=・・・をf(x)=0として変形。
即ち、x=(1+2x+√((1-2x)(1-2x^2))^2/(2x)^2とし、展開していきました。
うまい具合に途中で同じ項がドンドン消去され、16x^5-25x^4+10x^3-x^2=0とないました。

これはx^2で括れるので、16x^3-25x^2+10x-1=0を解けば良い（x=0は解では無いので・・・）。
16x^3-25x^2+10x-1=(x-1)(16x^2-9x+1)、x=1も解では無いので、結局２次方程式を解くだけ＝定規とコンパスで作図可能となりました。

式の作り方を変えた所、緑円の半径ｒは：
r=(9+√17)/32≒0.41009705080055189218191905799919
右の概算数はWindows付属の電卓で解いた値です。
No.4628の図に記載した数値と少し違いましたね（Newton近似をもう少し続けると殆ど同じになる筈です）。
別の角度から検討して良かったぁ！が実感です。

√17は定規とコンパスで作図可能ですから、Q1855の作図方法は略します。

しかし、CAD(JW-Win)の場合、この程度の誤差なら描けてしまう事も判りましたので、描けたのか描けたように見えるのかの判定は必要ですね。

＞これも簡単です。
いぇいぇ、HIROSHIさんだから言える事で、相当難問でした。

朝起きたら描けました♪
というか、座標で解いて２次式が得られましたので、定規とコンパスで作図可能と判りました。

描き方は追って掲載します（連休明け？）＝Q1855も描けることが判りました。

＞計算すると EC = 1
ケチを付ける所はここしかなく大正解です＝解説も殆ど完璧♪

無理に探す必要はないのですが．．．(^^ゞ・・・計算すると、EC=1又は6ですね（EC=6とすると、図が上下逆転するだけですが？）。

又相似を使わなくても、AC、BDの二つの弦が点Eで交わる時、直ちにBE×ED=AE×ECとしても構わないでしょう。

a×b=c^2を図で求める時、特に相似での証明をしませんので．．．

まぁ、BC=CDに気が付けば・・・と言う問題でした。

それにしても、Q1855は何時まで引っ張るのかなぁ、絶大な効果狙い？？？

α=β なので △BCE∽△AED
辺の比から
BE:CE=AE:ED
3:CE=AE:2
CE + AE = 7
計算すると EC = 1
α=β なので CはBDの二等分線上に来るためE点から半径１の円と二等分線の交点がC。
三点出れば円を描いてCEを延長。

比率を出すのに気付くまでは結構難しかったです。

なるほど♪
Mを中心として円に目が行っていたので、三角の合同からの証明は
思いつきませんでした。
さすがです。

�@直線AEと辺BCとの交点をGとします。
�AEMの延長とCDとの交点をFとします。
�B青円、赤円は夫々AB、ACを直径とする円なので、∠AEB=∠ADC=90゜
�C�傳GEと�僂DGに於いて、赤点の角は対頂角で等しいので、青点の角度も等しい。
�D�傳EMと�僂FMに於いて、BM=CM、緑点が対頂角、青点の角度が等しい。従って�傳EM≡�僂FM。
�E�僖EFは直角三角形でEM=FMなので、DM=EM・・・証明終わり。

尚、点GがMCの間にある時は、上記�AでBDとEMとの交点をFとする事になります。

別解（基本的には同じようなものですが）；
点EのMに対する対称な点をF'とします。
そうすると、□BECF'は平行四辺形⇒BE//CF'⇒CF'⊥AE、一方CD⊥AEなので、F'はCD上の点。
以下似たような証明方法になりますね。

証明は出来たようですので、後程図を整理して掲載する予定です。
一度証明出来ると、色々な方法が浮かんできます。

＞どう描いても同じになるのですねぇ…

実はこれ、新しい問題を作ろうと色々試していたところ、２点Ｄ、Ｅの垂直二等分線が一点を通る事に気が付いた問題でした。

何故？・・・これから考えます（Q1855より易しい予感）。

どう描いても同じになるのですねぇ…
でも、私じゃ証明ができない。

解説求む♪

同じ思いの人が居るので嬉しいですね♪

＞これも簡単です。
この出題者は天才ですね、私には全く解らない。
早く回答がみたいな！ワクワク。