図形クイズ解答用掲示板 こちらはネタバレOKです。

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数学の部屋 スウガクとくガウス ようこそ酒転童子の部屋へ FUKUCHANさんの解答集2
No.5074 Re:No.5070:訂正  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/14(Sat) 05:33  
矢張りボォーッとしてましたね。
>同時に立方体の体積も3等分されます。
ウソばっかり!⇒1:4:1
赤、青の三角錐の体積は1/6ですので、1/6:4/6:1/6。
従って、求める体積は2/3以下。

No.5073 Re:No.5071  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/13(Fri) 19:17  
インフルではないのですが、鼻風邪をひいてぼやぁっとしています。
解答はuinさんにお任せですね。

No.5072 う〜ん  投稿者:N/T 投稿日:2017/01/13(Fri) 18:12  
三角形の面積計算ですでに間違えてました…orz

> カヴァリエリの原理

情報ありがとうございます。
色々な公式の元になっている原理なのですねぇ。

No.5071 無題  投稿者:uin 投稿日:2017/01/12(Thu) 21:33  
カヴァリエリの原理
No.5070 Q1964-3  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/12(Thu) 18:20  

計算が簡単に出来ると思ったら、筆算しないと混乱しそうです。

取り敢えずの考察ですが、スタート時の正三角形(赤)と最終の正三角形(青)と添付図に示しました。

この赤面と青面により、対角線FDは3等分され、同時に立方体の体積も3等分されます。
求める立体はこれより小さいですから、体積は1/3以下!
近い打ちに筆算して数値をアップしたいとおもいます(1/6なんて単純な数値になるのか???)。

No.5069 Re:No.5068 Q1964-2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/11(Wed) 18:59  

APの長さをxとすると、その時の正三角形の一辺の長さは√(2(1-x+x^2))。
この時の面積は:(1-x+x^2)*(√3)/2(明日再確認しますが・・・)
これで積分すれば良いと思います=捻じれているのは無関係。

確か矢野健太郎氏の本で見たのですが、添付図の図形の面積は同じ。
同じ高さの線分の長さが等しければ、面積は等しいという事を誰か(?)が証明した筈です。
これは体積でも同じで、同じ高さの面積が等しければ体積も等しい!!!

この立体の高さは判りますので、後は計算だけでしょうね(面倒臭いですが)。
それにしても、この定理の名前を忘れた Orz
酒転童子さんならご存知かも...

いずれにしても整理して再度発表予定です。

尚、>体積は5/6になるのかなぁ???
全体の立方体の体積が1ですから、こんなには大きくない筈でしょう。

No.5068 Q1964-2  投稿者:N/T 投稿日:2017/01/11(Wed) 18:19  
三角の面積が
1 + x^2 -x
かな?
積分は長く使ってなかったので自信はありませんが、
体積は5/6になるのかなぁ???

No.5066 Re:No.5065 Q1964  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/05(Thu) 20:57  
なんとなく(?)積分問題っぽいのだが、視点を変えると「頓智」で解けるのかなぁ?
今年いっぱい時間が潰れそうな予感がします。

No.5065 Q1964  投稿者:N/T 投稿日:2017/01/04(Wed) 18:19  
う〜ん、中央が細めのねじれた三角柱になるのかな???
形を考えるだけでもかなりの難度かも・・・

No.5064 Re:No.5063  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/11/15(Tue) 05:13  
二等辺三角形に気が付けば(この場合凾bAE)、基本的な性質で解く事が出来る問題でした。
尚、点Eは辺AB上にAC=AEとしても説明出来ます。

>一本では少し難しい???
これは、辺ADをA側に延長するという意味で、判り難い説明だったかな?

No.5063 解けました  投稿者:N/T 投稿日:2016/11/14(Mon) 18:12  

ABとECが平行になるのですね。
三角の外側ばかりに補助線引いていたので気づきませんでした。

No.5062 Re:No.5061  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/11/13(Sun) 15:57  
補助線を見つける問題!(かな?) 一本では少し難しい???
No.5061 Q1959  投稿者:N/T 投稿日:2016/11/13(Sun) 08:04  
比率だから相似から求められると思ったのですけどねぇ…
相似形が見つけられない…orz

No.5060 なるほど  投稿者:N/T 投稿日:2016/10/20(Thu) 18:11  
三角の相似比になるのですねぇ。
スッキリしました。

No.5059 Re:No.5054:作図原理  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/10/20(Thu) 07:47  

直角三角形の相似とその相似比から原理説明は容易でした。
添付図では細かい計算は省いてありますが、ご理解いただけると思います。

図の緑円は、小生のNo.5053の緑円を参照して下さい。

No.5058 re:5056  投稿者:N/T 投稿日:2016/10/19(Wed) 18:15  
式の不明点を判り易くするために、図では接点からの垂直距離で法線の中心を
求めた式になってますが、実際に求めた法線の中心は楕円中心からの距離で
h(b/a)^2-h
です。
従って円の場合は0となり、円の中心が法線と縦中心線の交点になります。

No.5057 re:5055  投稿者:N/T 投稿日:2016/10/19(Wed) 18:08  
hは楕円の中心から指定点までの垂直高さです。
扁平率から求める方法を考えましたが、結果は謎だらけになにってしまいました。

No.5056 Re:5054  投稿者:Mac 投稿日:2016/10/19(Wed) 14:41  
a=b(円)の時はどう作図するのかな?
No.5055 Re:No.5054  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/10/19(Wed) 10:58  
h(a/b)^2 のhが良く判りませんので、説明宜しくお願いします。
h=h(a/b)^2/9(図より判断)??? それとも、h=(a/b)^2/9???

No.5054 re:5053  投稿者:N/T 投稿日:2016/10/18(Tue) 18:12  

さすが、スッキリ描けてますね。
私は試行錯誤の結果、図のようになりましたが、なんで扁平比の
二乗になるのかが判らず考えてました。

No.5053 Q1958:描き方例  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/10/18(Tue) 10:08  

@半径OAの円を描き、
A点Pを通りY軸と平行な線を引く
B@の円との交点をQとし
C接線を引いてX軸との交点Rを求める。
DRとPを通る直線が楕円(長円)の点Pに於ける接線。

これは緑円OBを使っても同様に求める事が出来ます。

これは楕円(長円)が、円OAをOB/OAの比率で縦に潰した、又は円OBをOA/OBの比率で横に引き伸ばしたものですから理屈は判り易いですね。

No.5052 Q1958  投稿者:N/T 投稿日:2016/10/15(Sat) 07:02  
実は私も接線の書き方で困りました。
結局は解らずじまいでコマンドを使ってました。

No.5051 Q1957  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/10/14(Fri) 19:14  
PQの最短長さは、長径÷短径≧√2の時:

PQmin=(√27)*a^2*b^2/√((a^2+b^2))^3
2乗も3乗も、平方根も定規とコンパスで作図可能ですので、実際の作図手順はサボります。

これは楕円(長円)上の点の座標を、(a*cosθ、b*sinθ)として計算したものですので、興味のある方は計算してみて下さい。

No.5050 re:5049  投稿者:N/T 投稿日:2016/10/13(Thu) 06:35  
しっかりと頭を使うことが衰えないための秘訣なのでしょうねぇ。
No.5049 Re:No.5048  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/10/12(Wed) 18:58  
OA=a、OB=bとし、楕円上の点の座標をP(a*cosθ、b*sinθ)として求めました。
No.5047の条件であれば、a、bから作図で最短値を求める事が出来る筈です(まだ実際には描いていません)。

No.5048 re:5047  投稿者:N/T 投稿日:2016/10/12(Wed) 17:28  
計算で求めたのですねぇ。
気力と能力が凄すぎる。

No.5047 Q1957  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/10/12(Wed) 11:32  

楕円の扁平率により答えが分かれることに気が付きました。
長径÷短径=√2の時がこの分かれ目でした。
取り敢えず長径÷短径≧√2の場合の解を(作図法でなく)近い打ちに掲載します。

扁平率が大きい時、最短長さが短径とは一致しない実例動画をアップしました。

長径=短径の場合は真円ですから、最短値が直径に等しいのは明らかですね。

No.5046 Q1957  投稿者:N/T 投稿日:2016/09/24(Sat) 08:05  
かなり難しいですねぇ。
法線の動きが複雑で軌跡が取れないし、計算はさらに複雑そうだし…
早くも行き詰りました。

No.5045 Re:No.5044  投稿者:East 投稿日:2016/09/03(Sat) 10:38  
円による反転・・・色々使えそう!
No.5044 Re:No.5043  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/09/01(Thu) 18:47  
HIROSHIさんの出題図の、円による反転です(これは過去に説明済み)。
No.5043 re:no.5042  投稿者:Mac 投稿日:2016/08/31(Wed) 14:15  
この添付図の意味が良く判らない😥
No.5042 Q1923  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/08/14(Sun) 10:55  

小生は、作図原理等は、追って整理して掲載予定(No.4884)としてましたが・・・
この時掲載した図は、作図上のミスがあったようで再現出来ていません。

添付図が定規とコンパスで描ければ完成なのですが、これも全く出来ていません(これが描ければQ1923は描けます)。
色の違う円の径がことなるのはQ1923と同じです。
青、赤、紫の円が同じように見えますが、微妙に違っています(同じとして描いても完成しません、念の為)。

>過去問と似ていますがこちらの方が簡単?
と言っていますので、描けるのはHiroshiさんだけかも知れません。

No.5041 re:5039  投稿者:N/T 投稿日:2016/08/11(Thu) 16:57  
原理は簡単ですが、答えを導き出すのはかなり難しいですねぇ。
私は各円の下半分にも線を入れて混迷の渦に飲み込まれてしまいました。

No.5040 re:5038  投稿者:N/T 投稿日:2016/08/11(Thu) 16:45  
答を見れば簡単ですねぇ…orz
ちなみに私も赤線と対角線が平行になることを証明しようとして失敗しました。

No.5039 Q1951  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/08/11(Thu) 08:47  

O1、O2が夫々の円の中心ですから、青の三角形は共に二等辺三角形であり、緑で示した底角が対頂角で等しいので相似なのがわかります。
この頂角をaとします。
@赤円に於いて、弦ADで考えるとaは中心角、bは円周角でa/2
A同様に青円でもb=a/2、従って、∠CBD=a
CDの上に立つ角O1、B、O2が等しいので、5点C、D、O1、B、O2は同一円(空色)上にあります。

cで表した角は空色円の弦BO2上の円周角。
青円で考えると、儖2CBは二等辺三角形なので、c=d、解説終わり

これは算数オリンピックからパクったものではありませんが、小学生でも解けてしまうのでしょうかね。

No.5038 Q1950:仕上げ  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/08/11(Thu) 08:04  

最もシンプルと思われる解説です。
図のピンクの三角形に注目すると、2辺(黒と緑)は等しく、間の角(赤点)が等しい。

即ち二辺挟角で合同。
従って、赤辺と青辺は等しく、xの角度は正三角形の頂角の半分30゜

最初は図の赤辺と正方形の対角線が平行!の証明を探そうとして、横道に嵌り込んでいました。

No.5037 Re:No.5034  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/08/11(Thu) 07:52  

正三角形は直観的に判るのですが、判り易い説明を考えてみました。

図の黒○印の線分の長さが等しいのは直ぐ判ります。
次いで、中の大きな三角形が正三角形で、中心線が空色の一点鎖線。
従って、青の三角形は二等辺三角形ですから、黒辺=赤辺。

従って、黄色の三角形は正三角形・・・これが判り易いかな?

No.5036 Re:No.5035  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/08/10(Wed) 22:32  
こちらは、B、C、D、O1、O2が同一円上に有る事の証明になりますね。
勿論、近い内に解説をアップする予定ですので、Eastさん、お手柔らかに。

No.5035 Q1951  投稿者:N/T 投稿日:2016/08/10(Wed) 17:37  
こちらもかなり難しいですねぇ〜
円周角を利用して解こうとしましたが、あと数歩及ばずの状態です。

No.5034 Q1950  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/08/10(Wed) 16:23  

小生も悩んでいましたが、添付図の赤が正三角形という事から図形的に解けそうです。

整理して早く解説をアップしないと、次は小生がEastさんの標的になってしまうかな?

別に、他の人の解説が先でも全く構わないのですが・・・

No.5033 Q1950  投稿者:N/T 投稿日:2016/08/07(Sun) 16:03  
三角関数使えば簡単ですけど、何とか図形的に解けないものかなぁ…
No.5032 作図原理  投稿者:East 投稿日:2016/08/07(Sun) 13:23  
自分で出題した問題からいまだに逃げている人がいる!
この人の前の発言を見ていると長期出張の可能性が高いですかね。

No.5031 作図原理  投稿者:East 投稿日:2016/08/07(Sun) 13:18  
自分で出題した問題からいまだに逃げている人がいる!
この人の前の発言を見ていると長期出張の可能性が高いですかね。

No.5030 Re:No.5029  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/07/30(Sat) 12:28  
正解です♪ APが直径の時、QR=BCで最長となります。
座標を使わずに図形的に解説するのはどんな方法が良いか、結構悩みそうです。

No.5029 re:5023  投稿者:N/T 投稿日:2016/07/30(Sat) 08:26  

A点から一番遠い点の方がQRは長くなるのですねぇ。
Aと円の中心の延長線と円の交点がPとなり、QRとBCが一致する点が最長ですね。

No.5028 Re:No.5027  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/07/29(Fri) 18:44  
もう少し長くなる点Pが存在します(掲載された図で、点Pを一寸動かしてみて下さい)。
No.5027 Q1949  投稿者:N/T 投稿日:2016/07/29(Fri) 18:13  

∠BACの二等分線と円弧BCの交点がP。
ABとACから最も離れる点がP点だと考えました。

No.5026 re;5025  投稿者:N/T 投稿日:2016/07/28(Thu) 17:57  
解説を見ると「あっそうか」となるのですが、
直径が変化するのに外接円から図形的に
解こうとしたのが失敗だったなぁ…

No.5025 Q1948:中学生向け  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/07/28(Thu) 08:23  

四角形ABCDを凾`BDと凾aCDに分けて考えます。
凾`BDの面積は図に記載した通り:(ax-x^2)/2
BDの長さをyと置くと、凾aCDの面積はy^2/4(凾aCDは直角二等辺三角形)
ピタゴラスの定理から、y^2=(a-x)^2+x^2=a^2-2ax+2x^2

従って四角形ABCDの面積は:
(2ax-2x^2+a^2-2ax+2x^2)/4=a^2/4

良く見たら、No.5023の図とa、a-xが逆でしたが同じことですよね。

No.5024 なるほど  投稿者:N/T 投稿日:2016/07/28(Thu) 06:25  
判り易い解説です。
原理は簡単なのですねぇ。


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