∠AOBの内側に点Pがあります。

点Pから辺OA、辺OBに向けて直線を引き

その交点をそれぞれQ、Rとした時

PQ:PR=2 : 3となる

図の様な青線を引いてください。

休憩中の問題。　考えはQ1686と同じ・・・

（軌跡以外での作図方法でお願いします。

＞最大値は1:3

失礼しました。　最大値は1:6 ですね。

私の問題文(Q1986)が分かり難いですね・・・すいません。

大円の弦を小円の弦と共有する時の比率・・・
（やっぱり、説明が下手・・・）

具体的に図で説明します。

�@大円(r=10)と小円(r=8)の同心円があります。

�An:m(:n)の内、ｎを1とした場合mの最大値は 8

�B同じくm を1とした場合はnの最大値は∞

大円と小円の半径の比率が5:4 これが 5:3の円では

n:m(:n)のnを1とした時のn:mの最大値は1:3となり

作図範囲が狭くなると言うことです。

早いですね。

私の作図法とかなり近いです。

ここまで来れば、2:5:2 や 3:1:3 等も

直ぐに描けますね。

大きな黒円と、それに接する緑円が与えられている時：
黒円の同心円を描くと、どのような半径でも（図の赤、黄、空色）図のような線を引くと、弦（？）の長さ比率は一定です。

この比率は、緑円の半径と黒円の半径比率で決定します。

どのような半径比率で緑円を描けば良いか？これが答えになります。
更に、同心円（赤、黄、空色）と緑円の接点が無ければ、求めたい青線は引けません。

比率によって、どのような緑円を描けばよいか、これを考えれば答えは解ると思いますし、描けない場合も見付ける事が出来ます。

Pd=da となる点が判ればいいのですが、△OPaは直角三角形に
なることから
OPの中点bを中心とした直径OPの円周上にaは来ます。
Paの中点は円bOの半円上に有りますから、Pbを直径とする円と
小円の交点がdになります。

御無沙汰しておりました。

FUKUCHANさんの作図法は考えていませんでした。

う〜ん、鋭いですね。

あっ、この作図法もありましたね!

私は、2つ程考えていました。

N/Tさんと同じですが、回転の代わりに接線を用いました。

＊正三角形作図の後、

＊内接円を描いて、

＊点Pから内接円へ接線を引いて円周との交点をそれぞれ求めれば、

　完成です。

言葉だけの説明で申し訳ありませんが・・・

ＯＰを一辺とする正三角形を描き、もう一つの頂点をＱとします。
Ｑを中心に半径ＱＯ（＝ＱＰ）の円を描き、円Ｏとの交点を求めます＝点Ａ。
ＡとＰを結んで完成♪
尚、正三角形はもう一つ対称形が描けますが、これも正解。

閃くまでに時間が掛かりましたが、

円に内接する正三角形を描いて、
その一片の延長線が点を通るように回転させた正三角形を描く。

で描けました。

なかなか厳しい環境ですねぇ。
頑張れ〜！

う〜ん・・・
外出先です。作図データーを持って来ていません。
酒転童子さんの教えを思い出して、数点の作図問題を
upしようと思います。
ただ、仕事の関係で休日の限られた日にしか反応出来ません。
出題、返信とも反応が悪いです。（自宅にパソコン環境が不備）
でも、頑張ってみます。　なんてこったい・・・

すみません、5171はQ1984じゃなくって、5167で紹介されていた日経サイエンス
の解答でした。
何か月も経過していたので、勘違いしてました。
ちなみに、問題は「任意の４点を通過する正方形を描く」です。

GeoGebraの追記です。
geogebra.orgからは、旧版もダウンロード出来ます。
また、項目にはＡＲ（拡張現実）も記載されていますが、ＰＣ非対応？？？

まぁ、昔に戻って暫くは遊べるかも・・・

暫く使っていなかったのですが、大幅にリニューアルされていました。
前の機能と似ているもの（更新？）の他に、３Ｄ機能強化されたソフトの追加があります。
まだ使い方を十分理解できていないのですが、衰えた気力を振り絞って試してみます（まず、マニュアルダウンロードですね）。

試しに、Q1984に挑戦してみましたが、No.5171の画像とは大分違っているようです。
これは点Ｐ（対角線の交点）の軌跡から求めたものです（２点Ａ、Ｂを固定）。
点Ｐの軌跡を数値化し、計算で求める事に挑戦する気力があるか？？？

原理に気付けば簡単でしたが、歳食うとなかなか…

うーむ。投げただけで忘却の彼方に...春は忙しい上に超ブラックな幼児の園に...

一応描けたけど、解けるまでに時間が掛かったなぁ・・・

バックナンバーや記事紹介を探してたので見つかりませんでしたが、
トップページにリンクがありました。
www.nikkei-science.com/?cat=20

完全公開されてます。
全部見れますよ♬

日経サイエンスは読んでないなぁ…
WEBで見れないかと思ったけど甘かった。　orz

日経サイエンスといえばマーティン・ガードナーで育ったのですが...
最近はパズルの国のアリスというパズル連載で...
ふと見ると作図問題ですよみなさん

う〜ん、これで良いのかなぁ？
∠CAB=∠ACB=∠CBE/2 ・・・円周角と中心角
∠CPB=135゜
∠PBC=∠FBP=180-135-∠CBE/2
∠FBC=∠FBP+∠PBC = 90-∠CBE
∠FBP+∠PBC+∠CBE = 90

C'が不動である点については、∠PBA=90゜でC=C'・・・そこからPを動かす事で何とかなりそうですが．．．
単なる思い付きで終わるかも知れませんが。

これは座標で解き、その時の色々な円の交点から点Ｐを見付けただけで、図形的原理は考慮中。

その考慮途上で眼を付けている事：
添付図の緑円は45゜に関する円で、この図の点Ｐは対角線の交点になります。
対角線と点Ｂを中心とした半径５の円の交点を（仮に）Ｃとします。
このＣをもう一つの対角線（図のａ）で反転したのが点Ｃ’です。

ここで点Ｐを色々動かして、点Ｃを幾つか作図しても、点Ｃ’の位置は変わらないようです。

このＣ’がNo.5161の点Pに相当するのですが、何故でしょう・・・考慮中です。

なぜ描けるのか原理を考えてますが、風邪で熱っぽい頭ではなかなか・・・

描き方だけですが・・・

�@長さ５の線分ＡＢを描き、Ｂを中心に半径５の円（青）を描きます。
�A点ＢからＡＢに垂直な線（空色）を引き、青円との交点をＰ（赤）を求めます。
�B点Ｐを中心に半径３の円（緑）と、点Ａを中心に半径７の円（黄色）を描きます。
上記の２円の交点がＤとなります。
点Ｃの求め方は簡単ですね。

45゜は円周角から行けそう…
と思ったのですが、甘かった。orz

元々はこの四辺形の面積を求めよ。
で，しかも答えが10という...

ヨクデキタ話なので，
それなら初等幾何的な説明...
それよりも作図ができる筈だ！っていうわけです。
（今回はいつもと違って作図法を一つはご紹介できるのですが...）

簡単そうに見えて、かなり難しいですねぇ…

楕円の性質を完全に理解していないとできない作図ですねぇ。
凄いとしか言いようがありません。

手順４）以降を示した図を貼っておきます。
５角形以上は内接楕円を描く手間よりも内接条件を満たす多角形を準備する方がめんどいです。

FUKUCHANさんの方針で正解です。

「全て同じ手順で描ける」と述べたのは語弊がありました。実は内・外接楕円には属性が２種類あるのです。そして５角形以上の内外接楕円は任意の接点を取れませんので、属性にあわせた手順が必要となります。

属性１．正多角形に内・外接する円を変換した図形

多角形のもっとも離れた頂点同士を結ぶ対角線は１店で交わります。この場合、IJKLとMNOPの内接楕円は合同となり４角形の手法を使うことができます。透視図と考えればもっともなことです。奇数角形については後述します。

属性２．一般的な凸他型多角形に内・外接する楕円を変換した図形

対角線は１点で交わりません。１．と同じ手法で描くとIJKLとMNOPの内接楕円は合同にならず、どちらもABCDEFGHには内接できません。以下の手順で接点を求めます。

１） ８角形ABCDEFGHから５角形IBCKLを作る　頂点の組み合わせは任意
２） 対角線IC, BK, CL を引く
３） 頂点と対角線の交点から接点Q, R, S を得る
４） 極線QR, RSの中点と頂点B, C から楕円の中心X を得る

以下、４角形の内接楕円に準する

奇数の正多角形を変換した図形では、頂点と対辺にもっとも近い対角線の交点とを結ぶ線が１点で交わります。添付の五角形IBCKLではIS, KQ, LRに相当します。見辛いですがこの図では３線が一点で交わっていません。従いこの図形は正５角形の変換図ではありません。２．の手順を使うことになります。

８角形の例です。
赤の辺４つ、又は青の辺４つを選択して、４角形を作れば・・・

暫く覗いていなかったのですが、凄いですねぇ（まだ作図でフォローする気力が湧きませんが・・・）。

＞上記は正方形と内接円を投影したときの図形です。
小生の考え方が正しかったらしいのが嬉しいです♪

＞小生は７角形までしか試していませんが、
内接円が存在する多角形なら、任意の４辺を選択し、同じ要領で描けば良いと思います（これも作図フォローしていませんが）。

じっくり読まないと分からない。
いや読むよりは手を動かさないと！か

かなり複雑ですねぇ。
考え方はFUKUCHANさんのNo.5146と同じみたいですが、
この手順を考えるのは凄いと思う。

凸型四角形の内接楕円の作図法はたしかにネット上でも見当たりません。小生が使っているやり方を紹介します。
「平行四辺形に内接する楕円」の機能があれば描けます。

ABCD: 凸型四角形
O: 対角線の交点
U: ABとCDの交点
V: BCとDAの交点
E: UOとADの交点
F: UOとBCの交点
G: VOとCDの交点
H: FGの中点
I: EGの中点
Q: CHとIDの交点＝楕円の中心
PQ=EQ, QS//PR//ED
IQ:JQ=JQ:DQ, JQ=√(DQ*IQ) JQはIQとDQの幾何平均
JK//EQ
JL//EG
KQ:MQ=MQ:LQ, MQ=√(KQ*LQ) MQはKQとLQの幾何平均
QM=QW, MN//WX//EQ
線分AD, MN, PR, WXを辺とする平行四辺形に内接する楕円
＝四角形ABCDに内接する楕円

上記は正方形と内接円を投影したときの図形です。任意の接点を与えれば、「やつれた楕円」も描けます。
ABCDが台形の場合は、RPが底辺と一致します。凧形の場合はMWが楕円の軸と一致するので、軸長と周上点からでも作図できます。
小生は７角形までしか試していませんが、内接円が存在する多角形なら全て同じ手順で描けるはずです。しかし実用性は…？今時はプログラミングで片付けてしまうのでしょうね。

この変形をした時に、円は楕円に変形できるのだろうか？？？（タマゴ型とか・・・）

適切な復元方法がまだ浮かんでいません。
パラメトリック機能等を持ったCADなら問題無いと思いますが、安いCADでは？？？

相変わらず着眼というか発想が凄いですね。
どうやればそういう柔軟な発想が維持出来るのだろう？？？
私なんかは頭が固くなってしまって何も思いつきませんでした。

２点でなく３点透視図と考えても同じでしょうね。
また、元の図形が立方体ではなく、赤線を復元した時長方形でもＯＫと思います。

出来た訳では無く、この考え方が正しいかは別として・・・

与えられた凸四辺形（添付図赤線）が立方体の２点透視図だとしたら？
（向かい合う２辺が平行なら、１点透視図）
立方体（の一面）を復元出来れば、内接円を求めて添付の２点透視図を再現すれば出来る？？？
建築関係の設計をしている人には易しい？？？（どうやって立方体を復元？）

これはトレミーの定理でした（見た事ある訳ですね）。
三角関数を使って解けたのですが、所謂図形的に説明出来ないか悩んでいます。

直角三角形に変形できないか色々考えてみましたが、
やはり無理でした…

相似形からの引き算でしたか。
図形的には無理なのかなぁ？？？

図の青二重枠の三角形は相似で、相似比は簡単に判ります（�僊BD∽�僞BC）。
又、辺の長さの比率から、面積比を求める事が出来ます（例：�僊BD：�僊BC、�僞BC：�僞BF）。

この辺から計算で説明可能と思いますが、図形的にもっとうまい説明を見付けないと、cad/camらしくない！

もっとも、相似比や面積比での計算は面倒なので手を付けていませんが・・・

難しいですねぇ。
BEを対照軸にして黄色を反転したのが△ABCと同面積になればと思ったのですが、
いくら考えても証明が出来ない…orz

相似の活用でしたか…
これは全く思いつきませんでした。

１）No.5137参照：
�僊BCの周長をLとすると、CP=c、2*(a+b+c)=Lですから、c=CP=L/2-(a+b)=L/2-AB・・・�@

２）No.5136参照：（上記とa、b、cが混乱していますがご容赦を）
ここでは�僊BCの傍接円（添付図の緑円）で考えます。
a+b+c+d=L、b+c=a+dですから、b+c=L/2でb=AB、従ってb=AR=L/2-AB・・・�A

�@�Aより、CP=AR(=L/2-AB)となりますが、その前に、点Rが傍接円（緑）との接点となっている事の確認が必要です。

添付図のA'、C'は点Qを通りABに平行な線と辺AB、BC夫々との交点です。
明らかに�僊'BC'∽�僊BCであり、赤円Oは�僊'BC'の傍接円になっています。
題意より点Rは点Qの相似点（こんな言葉があったかな？）ですから、点Rは緑円とACとの接点！

一寸たどたどしいのですが、これが小生の解説です。
もっと判り易い説明が出来ないか？・・・これは当分手を付ける事は無さそうです。