図形クイズ解答用掲示板 こちらはネタバレOKです。

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数学の部屋 スウガクとくガウス ようこそ酒転童子の部屋へ FUKUCHANさんの解答集2
No.5112 re:5111  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/20(Tue) 06:40  
左側の補助線は気づきませんでした…orz
No.5111 Q1971  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/19(Mon) 10:29  

図形的な説明です(エレガントか否かは別として)。

凾`DPを点Pの周りに90゜回転すると、点DはBと重なり、PはP’に移ります。
角度を見ると、点P’は直線BC上にある事は明らかですが、P’は点AからAEに垂直な線を引き、直線BCとの交点にもなっています。
後者の方法でも凾`DP≡凾`BP’の証明は容易ですね(2角1辺が楽かな?)。

ここで凾`EP’に注目すると、凾`FEが二等辺三角形ですから、点FはP’Eの中点になります。
即ち、赤線+青線=緑線・・・大分説明を端折っていますが、これはいつもの(得意な)手抜きです。

少し付け加えると、a=a'(折り返し)、a=a''(回転)、a=b(錯角)・・・これ位で良いかな?

No.5110 Re:No.5109  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/18(Sun) 19:09  
おっ!出来ているようですね。
図を使った説明は、出来るだけ早くアップする予定です。

No.5109 Q1971  投稿者:七十一 投稿日:2017/06/18(Sun) 08:49  
補助線を使って直角三角形!
点Fが斜辺の中点になるのですね(作図ソフトの無い環境より)。
△AFEは意味を持ちますね。

No.5108 re:5107  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/18(Sun) 08:21  
△AFEを使うと思ったのですが、解けそうにない状態です。
別の方法となると、かなりの難問ですねぇ・・・

No.5107 Q1971  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/17(Sat) 17:07  
出来たかも・・・です。
DP=D’Pに眼を向けない方が良さそうです(色々な解き方があるので、絶対駄目ではないでしょうが...)。
二等辺三角形は使いますが、違う角度から解けたかも知れません。

しかしQ1970は、まだ糸口が掴めていません=大分時間が掛かりそう。

No.5106 Q1971  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/17(Sat) 07:46  
二等辺三角形を利用するのだろうなぁとは思うのですが、
そこから全然進まないです。

No.5105 re;5104  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/16(Fri) 06:37  
凄いなぁ。
最近は、正解が出るまで続けられる気力が続かないです。

No.5104 Q1970(比率)  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/15(Thu) 18:07  

結構簡単な式になりました(円の式からではなく、No.5120の完成図からピタゴラスの定理にて)。

b/a=√(((c/a)^2+1)/((d/c)^2+1))
c/a=2、d/c=4/3より:
b/a=√((2^2+1)/((4/3)^2+1))=√(5/(25/9))=3/√5

a〜dについては、出題図(再掲)をご覧下さい。

次は点Pの軌跡が円(弧)になる事の、図形的な説明に挑戦予定ですが、アラコキの脳には厳しいかも...

No.5103 さすがです  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/12(Mon) 05:59  
解けたと思ったのですが、甘かったか…orz
No.5102 Q1968/1970  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/11(Sun) 18:26  

前に、e:fで納得してしまったのですが、eもfも中心は点A、Bではありません。
求めているのは出題図(Q1968)のa:bですから、e:fにはなりません。

小生が計算で求めたのは「円になる」所迄でしたので、更に計算した所a:b=√5:3になりました。

それで描いたのが添付図です(Pは辺AB上にある場合、P'が辺CA上にある場合で、一寸見ずらいですがご容赦を)。

上述の√5:3は共に定規とコンパスで得られる値(比率)ですので、これを何とか図形的に求められないか挑戦してみたいと思います(無理っぽいですが)。

No.5101 Re:No.5098:修正  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/10(Sat) 21:31  
アラコキ反射機能で答えてしまいましたが(No.5099参照)、折れ線同士の比率です。
No.5098の解説は一寸違うのでは???

数式の比率は違っているようで、古惚けた脳をもう一度活性化して考え直さないと・・・(時間が掛かりそうですが、何とか答えを出してみます)

No.5100 re:5099  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/10(Sat) 08:52  
数式で解く精神力は凄いと思う。
No.5099 Re:No.5098  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/06/10(Sat) 07:27  
小生はアラコキになって、脳が確実に衰えています。
対角線の長さに頭が回らず、数式で(下図の赤円、青円)解いてしまいました。
これで、Q1970は簡単な問題になってしまいました。

因みに、筆者はAB=1、BC=tとして、Pの座標をtを媒介変数として求め、そこからPの軌跡(tに対する)を求めたのでした。
まぁ、気力だけは残っているかな?

No.5098 Q1968  投稿者:N/T 投稿日:2017/06/09(Fri) 21:25  

1:2の交点の軌跡は赤円
3:4の交点の軌跡は青円
となるので、対角線の長さをgとすると
f=2/3g
e=(4g-4g/7)/2=12/7g
となり、どちらも対角線の長さに比例するからBCの長さが変化しても f:e は同じになるから。

というので良いのかな???

No.5097 re:5096  投稿者:N/T 投稿日:2017/04/26(Wed) 19:36  
やはり、単純に面積を出す問題じゃなかったのですねぇ。
作図しようとするまで気づきませんでした。

No.5096 Re:No.5095  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/04/25(Tue) 18:59  
小生も最初は「この問題は何?!?!」と思いましたが、「マイクロソフト入社問題」がヒントになりました。
図形の基本が身についていないと言われるのかな?

No.5095 re:5094  投稿者:N/T 投稿日:2017/04/24(Mon) 19:03  
「描けない」が正解かな?
AC=100の辺を直径とする円を描いても高さは50までしかならないから、
Bの角は直角にはならないと思う。

No.5094 Re:No.5098  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/04/23(Sun) 17:56  
作図問題に変えようかな?
出題図のような直角三角形を、定規とコンパスで作図せよ。

No.5093 Q1967  投稿者:N/T 投稿日:2017/04/23(Sun) 08:38  
普通に考えれば30だけど、何か引っ掛けが有るのかな???
No.5092 Re:No.5091  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/02/26(Sun) 22:01  
流石に素早いですね♪ 色々な解き方があるでしょうが、平行線が一番判り易いかも・・・

>正12角形の一部だと気付けば解けました
これは気が付きませんでした。 改めて「流石」です。

No.5091 Q1966  投稿者:N/T 投稿日:2017/02/26(Sun) 08:20  

1 CAと平行にAB=EBとなる線を描きE点を求めれば△ABEは二等辺三角形となる。
2 ∠ABEは150゜であるから∠EABは15゜、∠BCAと∠CAEが等しくなるため
 台形ABECは対照となりCD=DA
3 後は計算すればα=105゜

正12角形の一部だと気付けば解けました。

No.5090 Re:No.5089  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/02/11(Sat) 13:58  
矢張り、正三角形を見付けるのが「王道」かも知れませんね。
もう少し難しい問題が無いか、探してみます(算数オリンピックの方が良いかな?)

No.5089 Q1965  投稿者:N/T 投稿日:2017/02/11(Sat) 07:40  
上面にも対角線を描いてから・・・
三辺が同じ大きさ正方形の対角線だから同じ長さであることを説明して
三つの辺の長さが等しい三角形は正三角形だから角度は60゜と説明する方法と、
見る角度を変えれば3つとも同じ角度になることを説明して三角形の内角の和180゜
を3で割れば60゜になると説明する方法の2つが思い浮かびました。

No.5088 re:5087  投稿者:N/T 投稿日:2017/02/07(Tue) 18:05  
滑らかな面になってますね。
フリーでもなかなかの機能を持ってますねぇ。

No.5087 Q1964:体積測定  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/02/07(Tue) 10:15  

フリーの3Dソフト「PTC Creo Element/Direct Modeling Express」で描いて測定出来ました。

描きやすくする為に、一辺の長さを100倍しましたので、体積=416666.666667 となりました=5/12*(100^3)

フリーなのに結構使い易いですからDLして試してみては如何でしょうか。
但し、読み書き出来るファイル形式が限られています(3D−PDF不可)。

No.5085 re:5084  投稿者:N/T 投稿日:2017/02/03(Fri) 18:11  
さすが、上手くできてますねぇ。
これなら形状が判りやすいですね。

No.5084 Q1964:3D-PDF(修正)  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/02/02(Thu) 19:39  

Download:5084.pdf 5084.pdf ロフト機能による3D化の限界か、体積は0.42でした=誤差範囲ですが、0.417を期待していました。

No.5083 再計算  投稿者:N/T 投稿日:2017/01/31(Tue) 18:16  
私の方はやはり致命的なミスが有りました。
計算し直したところ

三角形の面積
  √3・(x^2-x+1)/2
Δxに対する三角形の厚み
  √2 /(2・√3) dx
Δxに対する三角形の体積
  √2・(x^2-x+1) /4 dx
∫[0→1]√2・(x^2-x+1) /4 dx
= √2・5/24

となりました。
今度は√2が不足しているかも…orz

No.5082 Re:No.5077:3D-PDF  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/30(Mon) 05:23  
ヒドイ間違いをしていましたね。
稜線は全て直線(線分)でなければなりませんでした(GeoGebraで描いたNo.5076が正しい形状)。
即ち、正三角形の辺の長さが√2、残りの三本の稜線の長さは1ですね。

機械系の設計では殆ど現れない形状なので、頭の中が整理されていませんでした。
有償の3D−CADで再挑戦します。

No.5081 Re:No.5080  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/29(Sun) 19:22  
出題図の点Pの位置を考えます。
AからBに(0→1)に変化する時、立体の高さ(正三角形に垂直方向)は0→1/√3
この高さをhとして、正三角形の面積を変形したのが、No.5076の「V=」以下の式になりました。

No.5080 re:5079  投稿者:N/T 投稿日:2017/01/29(Sun) 09:32  
私の方法だと各点の移動量をxとしたので0→1の変化にしたのですが、
何か間違っていたのでしょうねぇ…orz

No.5079 Re:No.5078  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/26(Thu) 20:58  
>私は√3が残ってしまいました。
今日「晴れて?」手書きで式を作り、積分してみました。

多分、積分範囲を間違っているのではないでしょうか?
小生は簡略化し、0--->1/√3で積分した結果、√3が綺麗に消えてくれたのを確認しました。

No.5078 re:5076  投稿者:N/T 投稿日:2017/01/22(Sun) 09:09  
私は√3が残ってしまいました。
やはり積分を忘れてしまっているのかなぁ…

No.5077 Q1964:3D-PDF  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/21(Sat) 16:20  

Download:5077.pdf 5077.pdf
フリーソフトを使って「それらしい」形状を作ってみました。
PDF出力が出来る「DesignSpart Mechanical(DSM)」にはロフト押し出し機能がありません。
従ってPTCのフリーソフト「Creo Element Direct Modeling Express」という長ったらしい名前のソフトで作成してみました。
これをSTL形式でDSMに移しPDF化しましたので、面が三角形で構成されています。

グルグル回して「それらしい」形状を確認して下さい。
尚、どちらも体積計算が出来ませんでしたので、No.5076の検証はこれでは無理でした。

No.5076 Re:No.5075:続き  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/21(Sat) 09:17  

AP=xと置くと、正三角形PQRの一辺の長さ:a(x)=√2*(1-x+x^2)
その時の面積:s(x)=(a(x))^2*(√3)/4
出来上がる立体の底面を僊CIとし、高さをhとすると:
h=0 ---> 1/√3 ⇒ x=0 ---> 1 ですから:

V=∫[0 ---> 1/√3]{(√2*(1-√3h+3h^2))^2*(√3)/4}dh=5/12

No.5070の図で、赤と青の三角錐を取り除いた体積は2/3ですから、これの5/8になったのですね。
数値的には簡素な値ですので、積分を使わなくても「頓智(?)」で解けそうな気になりました(自信はゼロ)。

一応形状的な画像を掲載しました・・・次は3Dで描いてPDFに変換してみようかな?(ロフト機能を使うしか無さそうですが)

No.5075 Q1964:体積  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/17(Tue) 18:51  
5/12になるようですね。
キチンとした式は、今週中に掲載予定です(熱はないが何となくダルイので不安)。

No.5074 Re:No.5070:訂正  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/14(Sat) 05:33  
矢張りボォーッとしてましたね。
>同時に立方体の体積も3等分されます。
ウソばっかり!⇒1:4:1
赤、青の三角錐の体積は1/6ですので、1/6:4/6:1/6。
従って、求める体積は2/3以下。

No.5073 Re:No.5071  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/13(Fri) 19:17  
インフルではないのですが、鼻風邪をひいてぼやぁっとしています。
解答はuinさんにお任せですね。

No.5072 う〜ん  投稿者:N/T 投稿日:2017/01/13(Fri) 18:12  
三角形の面積計算ですでに間違えてました…orz

> カヴァリエリの原理

情報ありがとうございます。
色々な公式の元になっている原理なのですねぇ。

No.5071 無題  投稿者:uin 投稿日:2017/01/12(Thu) 21:33  
カヴァリエリの原理
No.5070 Q1964-3  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/12(Thu) 18:20  

計算が簡単に出来ると思ったら、筆算しないと混乱しそうです。

取り敢えずの考察ですが、スタート時の正三角形(赤)と最終の正三角形(青)と添付図に示しました。

この赤面と青面により、対角線FDは3等分され、同時に立方体の体積も3等分されます。
求める立体はこれより小さいですから、体積は1/3以下!
近い打ちに筆算して数値をアップしたいとおもいます(1/6なんて単純な数値になるのか???)。

No.5069 Re:No.5068 Q1964-2  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/11(Wed) 18:59  

APの長さをxとすると、その時の正三角形の一辺の長さは√(2(1-x+x^2))。
この時の面積は:(1-x+x^2)*(√3)/2(明日再確認しますが・・・)
これで積分すれば良いと思います=捻じれているのは無関係。

確か矢野健太郎氏の本で見たのですが、添付図の図形の面積は同じ。
同じ高さの線分の長さが等しければ、面積は等しいという事を誰か(?)が証明した筈です。
これは体積でも同じで、同じ高さの面積が等しければ体積も等しい!!!

この立体の高さは判りますので、後は計算だけでしょうね(面倒臭いですが)。
それにしても、この定理の名前を忘れた Orz
酒転童子さんならご存知かも...

いずれにしても整理して再度発表予定です。

尚、>体積は5/6になるのかなぁ???
全体の立方体の体積が1ですから、こんなには大きくない筈でしょう。

No.5068 Q1964-2  投稿者:N/T 投稿日:2017/01/11(Wed) 18:19  
三角の面積が
1 + x^2 -x
かな?
積分は長く使ってなかったので自信はありませんが、
体積は5/6になるのかなぁ???

No.5066 Re:No.5065 Q1964  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2017/01/05(Thu) 20:57  
なんとなく(?)積分問題っぽいのだが、視点を変えると「頓智」で解けるのかなぁ?
今年いっぱい時間が潰れそうな予感がします。

No.5065 Q1964  投稿者:N/T 投稿日:2017/01/04(Wed) 18:19  
う〜ん、中央が細めのねじれた三角柱になるのかな???
形を考えるだけでもかなりの難度かも・・・

No.5064 Re:No.5063  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/11/15(Tue) 05:13  
二等辺三角形に気が付けば(この場合凾bAE)、基本的な性質で解く事が出来る問題でした。
尚、点Eは辺AB上にAC=AEとしても説明出来ます。

>一本では少し難しい???
これは、辺ADをA側に延長するという意味で、判り難い説明だったかな?

No.5063 解けました  投稿者:N/T 投稿日:2016/11/14(Mon) 18:12  

ABとECが平行になるのですね。
三角の外側ばかりに補助線引いていたので気づきませんでした。

No.5062 Re:No.5061  投稿者:FUKUCHAN 投稿日:2016/11/13(Sun) 15:57  
補助線を見つける問題!(かな?) 一本では少し難しい???
No.5061 Q1959  投稿者:N/T 投稿日:2016/11/13(Sun) 08:04  
比率だから相似から求められると思ったのですけどねぇ…
相似形が見つけられない…orz


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