確か以前に「何手で描けるか」の出題が有ったと思う。
４手が最短だったような気が…

＞コンパス定規作図だと３辺の複写が煩雑になりそうですね。
２辺の複写だけで第三の辺は複写不要ですが、どちらをどちらに移動するか！

尤も、直線と一点が与えられている時、この点を通る平行線を定規とコンパスだけで作図せよって、結構面倒な作業が必要かも・・・
これを作図問題とする「手」も有ったかな？（勿論、三角定規の使用は禁止！）
小生の時代では、三角定規を使う方法だけしか教わらなかった「遠い」記憶が・・・

これは気が付くか否かの問題とも言えます。
ヒントは二等辺三角形！
今の小学生は学習塾でこんな訓練をしているのか？？？

計算すれば180゜にはなるけど、小学生だから三角関数無しで
解けるはずですよねぇ。
∠ADCが２α＋βになることを証明すればいいのでしょうけど、
全くネタが思いつきません。
難易度高い入試だなぁ〜。

時間が取れなくて描いてはいないのですが、

頂点移動で二等辺三角形
　↓
回転
　↓
点Pが頂点になるよう３辺を複写

で描けると思う。
ただ、コンパス定規作図だと３辺の複写が煩雑になりそうですね。

解き方を完璧に忘れてしまってることを痛感しました。

＞Q1991
＞結局、私は因数分解でコケました。orz

a^3±b^3は、a±b（複合同順）の因子を持つので、因数分解は判り易いと思ったのですが．．．

�@ 与えられた青線に平行、且つ頂点を通る線（青）を引き対辺との接点Ｄを求めます。
�A 接点Ｄのある辺の中点をＭとします（図は�@と�Aが逆でした）。
�B ＡＭ＝ＡＭ’の点を使って、ＡＭ×ＡＤ＝ＡＥ^2となる点Ｅを求めて殆ど終わり。
�C これは「snake foot（蛇足）」ですね。

Q1990
θを保ったままの底辺を基準線に平行にするのが私じゃどうしてもできませんでした。
定理類は完全に忘れている感じです。

Q1991
結局、私は因数分解でコケました。orz

�@ ∠Ｐの二辺を平行コピーし、�凾`Ｐ１Ｂ、�凾aＰ２Ｃを描きます。
�A 夫々の三角形の外接円を描きます。
�B 上記の円の交点が求める点Ｑになります（円周角）。

色々な描き方があると思いますが、∠Ｐを変えた時の点Ｑの軌跡を求めるにはこの方法が楽そう．．．
点Ｑを沢山描いて（∠Ｐを変えて）みると、点Ｑの軌跡は想定できると思います。
尤も、軌跡の動画を下のNo.5224に掲載してしまいましたが・・・
理屈と共に挑戦してみて下さい（No.5224以外にないかも含めて）。
想定出来る軌跡を描いてみたら描けた！・・・これは駄目ですよ。

＞図を見て判る通り、一般に解は二つあります。
辺ＡＣに対して対称な点の事です。

この図の問題を考えて下さい。
即ち、一直線上の点Ａ、Ｂ、Ｃ（ＡＢ＝２ＢＣ）と、∠Ｐが与えられています。
この時、∠ＡＱＢ＝∠ＢＱＣとなる点、点Ｑを定規とコンパスで作図して下さい。

図を見て判る通り、一般に解は二つあります。

�@ a^3-b^3=65>0⇒a＞b
�A a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)、a-bは整数、a^2+ab+b^2も整数
�B 65＝5*13、従って (a-b)は1、5、13、65のいずれかです。
�C これを一つずつチョックしていきます。

a-b=1の時、a=b+1⇒a^2+ab+b^2=65⇒
(b+1)^2+b(b+1)+b^2⇒3b^2+3b+1=65⇒3b(b+1)=64
64は3の倍数では無いので×

a-b=5の時、a=b+5
(b+5)^2+b(b+5)+b^2⇒3b^2+15b+25=65/5=13⇒3b(b+5)=-12
３の倍数なので、b(b+5)=-4⇒b^2+5b+4=0⇒(b+1)(b+4)=0
b=-1又はb=-4、この時、a=4、a=1（a,b=4,-1 a,b=1,-4、共にa>b）
一応検算して、4^3-(-1)^2=64+1=65、1^3-(-4)^3=1+64=65

a-b=15の時、a-b=65の時、整数解は得られません。

�凾`ＢＣの面積はｂ×ｃ×sinα、�凾`ＤＥの面積はｄ×ｄ×sinα。
sinαは同じですから、bc=d^2となるdを求めれば良い。

これを定規とコンパス作図で求めるのは有名ですから、詳細は当然省きます。

この考え方を応用すれば、Q1990は簡単な作図と思います。
Q1990は追って掲載予定ですが、判った方は解答を発表して下さい。

この作図は、任意の三角形ＡＢＣを∠Ａを変えずに、二等辺三角形ＡＤＥに等積変形せよと言う問題と、基本的に同じです。

勿論、Ａを頂点とする、ＡＤ＝ＡＥの二等辺三角形です。

先ず、過去問でQ201（相当昔）を参照して下さい。
図は∠APB＝∠BPCとなる点Pの軌跡を表しています⇒赤破線円の上を動きます。
この解を見付けた時の作図方法と、軌跡の証明（不完全かも）を追って掲載します。

正解です＝円周角の活用。
45゜の場合は∠Ａが90゜ですから、ＢＣを直径とする円を描き、円弧ＢＣの中点（図の下部）と点Ｐを結ぶ直線を引いて、この円との交点Ａを求める事も出来ます。
他にも色々な描き方がありますが、α＝βとなる点Ａの一般解（軌跡）を求めるには、もう少し違う描き方が必要です。

中心角と円周角の組み合わせで描けました。

一連の問題に関しては、三連休明けに発表予定です。

私は思いつくネタが全てダメでした。

易しい作図でした！（文章での補足説明は多少面倒ですが・・・）

a^3-b^3の因数分解は、殆ど公式です。
a^3+b^3なども、非常に解き易い形をしていますよ。
それと、説明不足の点＝左辺を因数分解＆右辺を素因数分解ですね。

a*a*a-b*b*b=65
ここから因数分解するとなると、かなりの難工程になりそうですねぇ。
というか、解き方の見当もつかないです。

もう一つのヒントは「因数分解」

全て調べるには「整数」が大ヒントです。

-1と4、1と-4の２組はすぐに思いつきましたが他にもあるのかな？

理論的に証明するのはこんな感じで良いのかなぁ。
4^3=64
5^3=125
その差は61ですから、Aが５以上ではAとBの差が１違えば65以上の差が出てしまう。
従ってAは5以下。
しかし、4では64にしかならないのでBは負の数値となる。
Aと同じ理由でBは-5以上とならなければない。
Aの可能性は1ならB^3が-64となるB=-4
Aが2ならばB^3=57となり、Aが3ならばB^3=28となるためBは整数にならない。
A=4ならばB=-1で成立する。

5196と5201で解いていますが、5212の方がシンプルですね。
5201はコンパスのみの作図ですから手数が掛かるのは仕方ないですが・・・

やはり、反応が悪くなりました。

この問題は酒転童子さんの部屋から

√（平方根）の作図で求められます。

作図例は1/3の面積の作図です。

�@半径O O'を引き、円Oと同径の緑円O'を点O'を中心に描きます。

�A半径O O'を3分割に分け、中心Oの側近をPとします。

�B線分POの垂直二等分線と緑円O'の交点をQとします。

＊半径OQが求める円です。

なお、分割(2,3,4・・・ｎ):面積(1/2,1/3,1/4・・・1/n)

となります。

・倍積も同じ作図法ですが、少々の計算と捻りが必要です。

酒転童子さんへ感謝の問題でした。では、これにて・・・

線分無しからだとかなり難しいですねぇ。
Fは中点で代用するとして、EとHは√２倍の半径を描く必要が有るなぁ・・・

出題図が不正確だったかもしれません。
＞DAとの交点をE
＞DAとの交点をH
与えられているのは４頂点で、辺を示す線分無しで作図して下さい。

解けました。
1 BAを半径とする円弧を描きDAとの交点をEとする。
2 BA上の任意の点Fを中心として半径FEの円弧を描き１の円弧との右交点をGとする。
3 DGの中点をOとして半径OGの円を描く。(中点の説明は省略)
4 BOおよびFOを半径とする円弧を描き右交点をPとする。
5 Pを中心に半径PEの円弧を描き、3との交点をQとする。
6 Aを中心に半径AQの円弧を描きDAとの交点をHとする。
7 Qを中心に半径QHの円弧を描き６との交点をRとする。
8 Qを中心に半径AQの円弧、Rを中心に半径RAの円弧を描き、交点をSとする。
ARSQが等積変換された正方形。

図に番号を記載するのを忘れていました。
描き直すのは面倒なので、Mizさん察してあげて下さい m(_._)m

これはコンパス作図の「理屈」としては単純な操作です。

円Ｏと点Ｐがある時、ＯＰ＝ＰＱ且つＯ、Ｐ、Ｑが同一直線上にある点Ｑを求めるのは、No.5204方式で簡単です。
次に、Ｑを中心に円Ｏと同一半径の青円を描けば、図の赤線との交点が求まる訳です（No.5206の「ここが難関」）。

但し、同一半径の円を描くのは、定規があっても結構面倒臭い作業になりますね。
小学生なら、コンパスで黒円の半径を読み取り、コンパスを浮かして中心をＱにして円を描けば簡単ですが、作図のルール違反になります＝測定の禁止。

又、何らかの方法で描けたとしても、理屈がシッカリしていないと×・・・小生が何度も述べていることです。

直線が引けないと図の難関ポイントが突破できない…
定規のありがたさが判る。

添付図に番号がありません。

前回同様、下記の番号は添付図を参照して下さい：
�@与えられた円（中心Ａ）と円周上の点Ｂを使って、等間隔、直線上の４点を作図します（点Ｃ、Ｄ）。

�AＡ、Ｂの中点Ｍを求めます（図のピンク線で求めますが、これは前の1/√5と同様の作図法です）。

�BＭを中心に青円を描き、Ｄを中心にした半径ＤＢの赤円との交点をＦとします。

�CＣを中心に半径ＣＦの緑円を描き、与えられて黒円との交点Ｐを求めると、ＡＰ＝１でＡＰ⊥ＤＣとなります。

ＡＢ＝１とすると、ＣＦ＝√5となっている事が判ります。
即ち、�凾`ＣＰは１：２：√5の直角三角形になっています。
必要に応じて、夫々の作図の数学的意味を考えてみて下さい（質問は受け付けますので・・・）。

台風が東経139度20分＝小生宅を西に過ぎましたので・・・

以下、番号は添付図を参照下さい：
�@与えられた黒円の円周上に点Ａを取り、適切な赤円を描き、２点Ｂ、Ｃを求める。
　赤円の半径は黒円の1/2より大きくなるようにして下さい。

�A２点Ｂ、Ｃを中心に半径ＢＡ＝ＢＣの青円を描き、交点をＤとする。

�BＤを中心に半径ＤＡの緑円を描き、最初の赤円との交点をＥ、Ｆを求める。
　赤円の半径が黒円の1/2以下の場合、この交点は得られませんのでご注意。

�C２点Ｅ、Ｆを中心に半径ＥＡ＝ＦＡの空色円を描くと、交点Ｏが与えられた黒円の中心＝完成♪

何故これで求められるか、数学的な説明は皆さんで考えてみては如何？
描いてみてＣＡＤでチェックした・・・勿論これは論外です。

さすが、描けたのですねぇ。
5198を色々考えてみたのですが、
ふと気づけば基準線が無ければ正方形の４頂点すらコンパスだけでは
私じゃ描けませんでした…orz

�@与えられた赤円の中心Ｏを求める（説明略）
�A赤円上に任意の点Ａを取り、更に同一直線上にＯＡ＝ＡＢとなる点Ｂを取る（易しいので説明略）
�BＯＢ⊥ＢＣ、ＡＢ＝ＢＣとなる点Ｃを求める（説明略）
�C半径ＣＯの青円を描き、赤円との交点Ｄ、Ｅを求める。
�DＤ、Ｅから空色の円を描き、交点Ｐを求める。
�E緑円が赤円の１／５の面積の円＝完成♪

上記�@と�Bの作図方法は追って説明予定です。

確かにコンパス作図は一般に操作が煩雑になるようです。
取り敢えず面積1/5の作図は出来ました（但し、等積変換はまだ挑戦していません）。
この作図については、台風が過ぎた頃に発表かな？

筆者が10年以上前に作成した、コンパス作図の部屋を見直してみましたが・・・

「コンパスのみ」は難易度高いですねぇ。
等積変換のところでコケました。
拡大縮小は更に難しそう…

�@適当な正方形（別に正方形でなくても可ですが、相似形を求めやすい）を描く。
�Aｎ倍した長方形を描く（ｎ個並べる）。
�Bこれを同面積変換して正方形とする。
これで辺（別に対角線でも構いませんが）の比率を使って拡大・縮小。

これをコンパスのみで挑戦してみて下さい。

1/nを目指すのではなく、n倍で描いて縮小した方が楽そうですね。

　1/5の半径だけ描きましたが、同じ原理で繰り返せば1/nの半径が描けます。
　半径が描ければ中心点に投影するだけで同心円が描けます。
　ただ、手間が凄く掛かるかも。

今回は軌跡で描いて良いのでしょうか？？？
中心点を定規とコンパスで求める事は容易＝直径を描ける＝ｎ等分可能＝易しい作図ですね。
これは、コンパスのみの作図とした方が面白い・・・挑戦してみて下さい。

No.5194の作図も、相似の三角形を使っていますが、これで作図可能＝軌跡ですね。
点ｎをｍ等分に変更すると、それに従って点Pの位置が変わります＝軌跡！！！

こちらも同じ作図法です。

�@点PからOAに平行な線分Pnを引き
　OBとの交点をnとします。

�AOnを二等分しその点をmとします。

�B2:3なのでB方向へnmの3倍長の点をRとします。

＊PとRを結びOA側へ延長した点をQとします。

QP:PR=2:3

これは、1:2より1:2:1で考えています。

�@中心Oと点Pを結びます。

�A1:2:1 →　1+2+1=4 で4分割します。

�BP点に近い分割点をQとし、QPを半径とする円を描き
　小さい方の円との交点をRとします。

＊そのままSまで延長すれば完了です。
3:1:3 →　3+1+3=7 の考えです。

△OPSが二等辺三角形と気付けば・・・

点aがRへ移動すると、点cがQに移動する。
結局軌跡しかないのかなぁ？
出題者の作図方法に期待ですね。

Pを通る任意の直線とORの交点をａとします。
Paを３等分した点をbとし、bの反対側にPbと同じ距離の点cを求めます。
cを通りORと平行な線を引けば、OQとの交点がQになります。
QとPを通る直線を描けばRも求まります。

点Pを通る適当（適切？）な線を引き、OAとの交点をQ'とする。
直線Q'P上に、Q'P:R'P＝2:3となる点R'を取る。
R'を通りOAに平行な線（図の赤線）を引き、OBとの交点を求めると、これが解＝点R

図の緑線や点C、Mは作図補助の為であり、他にも描き方あり。

これは、点Q'がOA上を動く時、2:3となる点R'の軌跡が赤線になる事を活用。
尚、小生の前の解答（No.5180）も円周角＝軌跡を使ったものであり、Q1986の諸解答も軌跡作図ですね。

ここは解答用ＢＢＳですよ。

＞軌跡以外での作図方法でお願いします。
という事は、点Ｐを通りＯＡに平行な線を引き、更に２：３の間隔の平行線・・・
これは軌跡を使った作図法なので「駄目」ということですね。

＞考えはQ1686と同じ・・・
Q1986のことですね。
この解答も軌跡を使った作図法ですよ。

軌跡以外の理論で作図は結構難しいかも．．．